Линейные неравенства и линейное программирование

Слайд 1. Линейные неравенства и линейное программирование

Геометрия, 11 класс

Слайд 2. Что изучаем на уроке

Линейные неравенства задают ограничения на значения переменных. Геометрически каждое такое ограничение определяет полуплоскость, а система неравенств — их общую часть.

Линейное программирование помогает найти наибольшее или наименьшее значение линейной целевой функции на допустимой области.

Слайд 3. Неравенство и уравнение: сравнение

Записывает границу области:

$ax+by=c$

Ему соответствуют точки на прямой.

Задаёт одну из сторон границы:

$ax+by\le c$

Ему соответствует полуплоскость, включая или не включая границу.

Слайд 4. Как построить область решений

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить граничную прямую.

2. Выбрать пробную точку, не лежащую на границе.

3. Проверить, выполняется ли неравенство в этой точке.

4. Заштриховать подходящую полуплоскость.

5. Учесть границу: сплошная линия для знаков $\le$ и $\ge$, пунктирная — для знаков $<$ и $>$.

Слайд 5. Проверка пробной точки

Рассмотрим неравенство $2x+y\le 6$. Его граница — прямая $2x+y=6$.

Проверим точку $O(0;0)$: получаем $0\le 6$, значит, начало координат принадлежит искомой полуплоскости. Если бы неравенство в точке не выполнялось, выбирали бы противоположную сторону прямой.

Слайд 6. Система неравенств и допустимая область

Слайд 7. Линейная задача программирования

Что выбираем? Например, количество изделий двух видов: $x$ и $y$.

Какие условия должны выполняться? Например, ограничения по времени, сырью или площади.

Что оптимизируем? Линейную функцию $F=ax+by$: максимум прибыли или минимум затрат.

Слайд 8. Допустимые и недопустимые точки

Точка называется допустимой, если её координаты удовлетворяют всем ограничениям системы.

Точки внутри общей области и на разрешённых границах допустимы. Точки вне хотя бы одной полуплоскости недопустимы.

В прикладной задаче дополнительно часто учитывают условия $x\ge 0$ и $y\ge 0$.

Слайд 9. Как исследовать целевую функцию

Сформулировать целевую функцию и систему ограничений.

Изобразить допустимую область на координатной плоскости.

Определить вершины допустимой области.

Вычислить значение цели в вершинах и выбрать нужный экстремум.

Слайд 10. Почему важны вершины

Если допустимая область — выпуклый многоугольник, а целевая функция линейна, её наибольшее или наименьшее значение достигается в одной из вершин области либо на целом отрезке границы.

Поэтому не требуется проверять каждую точку: достаточно найти координаты вершин и сравнить значения целевой функции.

Слайд 11. «Геометрия превращает систему ограничений в область, а оптимизацию — в поиск лучшей точки этой области.»

— Методический вывод

Слайд 12. Пример постановки задачи

Мастерская выпускает изделия двух видов. Пусть $x$ — количество изделий первого вида, а $y$ — второго.

Ограничения по ресурсам задаются системой:

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 8\\ 3x+y\le 9\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Целевая функция имеет вид $F=5x+4y$. Требуется найти её наибольшее значение на допустимой области.

Слайд 13. Проверь себя

• Что изображает граничное уравнение линейного неравенства?

• Как выбрать сторону прямой, соответствующую неравенству?

• Что называют допустимой областью?

• Какие величины входят в линейную целевую функцию?

• Почему при поиске экстремума проверяют вершины многоугольника?

• Задание: постройте область решений системы $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 5$, $2x+y\le 6$ и найдите вершины.

Слайд 14. Типичные ошибки

• Заштрихована неверная полуплоскость: проверяйте пробную точку.

• Граница проведена пунктиром вместо сплошной линии или наоборот.

• Не учтены условия неотрицательности переменных.

• Вершины найдены графически неточно: при необходимости решайте пары граничных уравнений.

• При сравнении значений целевой функции перепутаны максимум и минимум.

Слайд 15. Итоги урока

Линейное неравенство задаёт полуплоскость.

Система неравенств задаёт допустимую область.

Линейное программирование включает переменные, ограничения и целевую функцию.

Для выпуклой многоугольной области экстремум линейной функции ищут среди вершин.

Главный инструмент решения — переход от алгебраической записи к геометрической модели.