Тригонометрические функции

Слайд 1. Область определения и множество значений тригонометрических функций

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Слайд 2. Вспомним определения

Область определения функции $y=f(x)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Обозначается $D(f)$.

Множество значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$. Обозначается $E(f)$.

Слайд 3. Функция $y=\sin x$

Синус определён для любого действительного числа $x$.

График функции — синусоида — непрерывен на всей числовой прямой.

$D(\sin )=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$.

Слайд 4. Множество значений синуса

Значения ординат точек единичной окружности ограничены.

Синус не может быть меньше $-1$ и больше $1$.

$E(\sin )=[-1;1]$.

Следствие: уравнение $\sin x=a$ имеет корни только при $|a|\le 1$.

Слайд 5. Функция $y=\cos x$

Косинус, как и синус, определён для всех действительных значений аргумента.

$D(\cos )=\mathbb{R}$.

График получается сдвигом синусоиды на $\frac{\pi }{2}$ влево.

Слайд 6. Множество значений косинуса

Абсциссы точек единичной окружности лежат в пределах от $-1$ до $1$.

$E(\cos )=[-1;1]$.

Функция является ограниченной сверху и снизу.

Слайд 7. Сравнение $y=\sin x$ и $y=\cos x$

Обе функции определены на всей числовой прямой.

Множества значений совпадают: $[-1;1]$.

Обе функции являются периодическими с периодом $2\pi$.

Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$.

Косинус — чётная функция: $\cos (-x)=\cos x$.

Разные точки пересечения с осями координат.

Слайд 8. Функции тангенса и котангенса

Слайд 9. Область определения $y=\tan x$

Так как $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, функция не определена там, где $\cos x=0$.

$D(\tan ):x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Слайд 10. Множество значений тангенса

В отличие от синуса и косинуса, значения тангенса ничем не ограничены.

При приближении аргумента к точкам разрыва значения функции стремятся к бесконечности.

$E(\tan )=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$.

Слайд 11. Особенности котангенса $y=\cot x$

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, поэтому знаменатель не может быть равен нулю.

$D(\cot ):x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Множество значений также не ограничено: $E(\cot )=\mathbb{R}$.

Функция убывает на каждом интервале своей области определения.

Слайд 12. График котангенса

График функции $y=\cot x$ (котангенсоида) состоит из бесконечного числа ветвей.

Точки разрыва: $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots$

В этих точках график имеет вертикальные асимптоты.