Простейшие показательные уравнения

Слайд 1. Простейшие показательные уравнения

Алгебра, 11 класс

Слайд 2. Что называют показательным уравнением?

Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в показатель степени.

Простейший вид: $a^x=b$, где $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$.

Основное свойство: если основания одинаковы, то показатели можно приравнять: $a^u=a^v\Rightarrow u=v$.

Слайд 3. Базовый алгоритм решения

1. Определить область допустимых значений.

2. Преобразовать обе части к одному основанию.

3. Приравнять показатели степеней.

4. Решить получившееся уравнение.

5. Выполнить проверку подстановкой.

Слайд 4. Два ключевых свойства

$a^u=a^v\Rightarrow u=v$, если $a>0$ и $a\ne 1$.

Пример: $3^{2x-1}=3^5$.

Тогда $2x-1=5$, откуда $x=3$.

$a^u=b^u\Rightarrow a=b$, если показатель фиксирован и функция однозначна на рассматриваемой области.

Пример: $x^2=4^2$.

Получаем $x=4$ или $x=-4$.

Слайд 5. Пример: сводим к одному основанию

Решим уравнение $2^{x+1}=8$.

Представим правую часть как степень двойки: $8=2^3$.

Тогда $2^{x+1}=2^3$, поэтому $x+1=3$.

Ответ: $x=2$.

Проверка: $2^{2+1}=8$ — верно.

Слайд 6. Основания взаимно обратны

Если встречаются основания $a$ и $\frac{1}{a}$, используем равенство $\frac{1}{a}=a^{-1}$.

Пример: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-2}=27$.

Преобразуем: $3^{-(x-2)}=3^3$.

Тогда $-x+2=3$, откуда $x=-1$.

Проверка: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=27$.

Слайд 7. «Сначала меняем вид уравнения, затем применяем свойство степеней»

— рабочее правило при решении показательных уравнений

Слайд 8. Типичные ошибки

Нельзя приравнивать показатели, если основания не приведены к одному допустимому основанию.

При переходе к обратному основанию показатель меняет знак: $a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$.

Для выражения $a^x$ в простейшем случае требуется $a>0$, $a\ne 1$.

Подстановка помогает обнаружить ошибку в преобразованиях и вычислениях.

Слайд 9. Задание для самостоятельной работы

Решите уравнения, записывая каждый шаг преобразования:

$5^{x-2}=125$

$4^{x+1}=\frac{1}{16}$

$9^{2x-1}=27$

После решения выполните проверку хотя бы для одного уравнения. Объясните, на каком шаге вы привели основания к общему виду.

Слайд 10. Итоги

Показательное уравнение содержит неизвестную в показателе степени.

Главный приём — привести обе части к одному основанию.

После этого показатели равных степеней можно приравнять.

При работе с обратными основаниями учитывайте знак показателя.

Всегда проверяйте полученный ответ.