Непрерывные функции

Слайд 1. Непрерывные функции

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Слайд 2. Определение непрерывности

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке совпадает с её значением: ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Это означает, что малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.

Слайд 3. Три условия непрерывности

1. Функция определена в точке $x_0$ (существует значение $f(x_0)$)

2. Существует конечный предел функции при $x\to x_0$

3. Предел функции равен значению функции в этой точке: ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Слайд 4. Точки разрыва

Существуют конечные пределы слева и справа. К ним относятся устранимые разрывы (пределы равны) и «скачки» (пределы не равны).

Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует. Часто связаны с вертикальными асимптотами.

Слайд 5. Иллюстрации разрывов I и II рода

Разрыв I рода («скачок»): левый и правый пределы существуют и конечны, но не совпадают.

Разрыв II рода: хотя бы один односторонний предел бесконечен или не существует; пример — вертикальная асимптота.

Слайд 6. Классификация разрывов

Здесь $L$ и $R$ — левосторонний и правосторонний пределы функции в точке разрыва соответственно.

Слайд 7. Визуализация разрыва I рода (скачок)

Слайд 8. Свойства непрерывных функций

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, то:

• Сумма $f+g$ непрерывна

• Произведение $f\cdot g$ непрерывно

• Частное $f/g$ непрерывно при $g(x_0)\ne 0$

• Сложная функция $f(g(x))$ также непрерывна

Слайд 9. Теорема о промежуточном значении

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и принимает на его концах значения $f(a)$ и $f(b)$, то она принимает и любое значение $c$ между ними. Это гарантирует, что график нельзя перечеркнуть горизонтальной линией, не пересекая его.

Слайд 10. Примеры непрерывных элементарных функций

Линейная функция $f(x)=kx+b$ непрерывна на всей числовой прямой.

Квадратичная функция $f(x)=x^2$ непрерывна на всей числовой прямой.

Рациональная функция $f(x)=\frac{1}{x}$ непрерывна при $x\ne 0$.

Показательная функция $f(x)=a^x$, где $a>0$, $a\ne 1$, непрерывна на всей числовой прямой.

Тригонометрические функции $\sin x$ и $\cos x$ непрерывны на всей числовой прямой.

Логарифмическая функция $f(x)={\log }_{a}x$ непрерывна при $x>0$.

Слайд 11. Итоги урока

Непрерывность в точке означает равенство предела и значения функции

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги

Разрывы бывают устранимыми, типа «скачок» и бесконечными

Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения

Слайд 12. Спасибо за внимание!