Показательная функция: график и свойства

Слайд 1. Показательная функция: график и свойства

Алгебра, 11 класс

Исследуем зависимость $y=a^x$

Слайд 2. Жизненные ситуации и математическая модель

• Ежегодное увеличение вклада в $1,1$ раза.

• Ежегодное уменьшение количества вещества в $0,8$ раза.

В обоих случаях величина изменяется не на одно и то же число, а в одно и то же количество раз.

Гипотеза: модель имеет вид $y=a^x$.

Слайд 3. Определение и область допустимых значений

Показательная функция задаётся формулой $y=a^x$.

Основание удовлетворяет условиям $a>0$, $a\ne 1$.

Аргумент $x$ принимает все действительные значения: $x\in \mathbb{R}$.

Значения функции только положительны: $y>0$.

Слайд 4. Задача: составляем таблицу значений

Для функции $y=2^x$ найдите значения при $x=-2,-1,0,1,2$.

Для функции $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ найдите значения при $x=-2,-1,0,1,2$.

Запишите полученные точки для построения графиков.

Слайд 5. Проверяем себя: таблица значений

Слайд 6. График показательной функции

Слайд 7. Свойства при основании $a>1$

• Функция $y=a^x$ возрастает на всей области определения.

• Если $x$ увеличивается, значение $y$ увеличивается.

• При $x>0$: $a^x>1$.

• При $x<0$: $0<a^x<1$.

• График проходит через точку $(0;1)$.

Слайд 8. Свойства при основании $0<a<1$

Функция $y=a^x$ убывает на всей области определения.

Если $x$ увеличивается, значение $y$ уменьшается.

При $x>0$: $0<a^x<1$.

При $x<0$: $a^x>1$.

График проходит через точку $(0;1)$.

Слайд 9. Задача: сравниваем значения

Сравните без вычислений: $2^3$ и $2^5$.

Сравните без вычислений: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ и ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$.

Сравните с единицей: $5^{-2}$ и ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$.

Слайд 10. Итоги урока

• Показательная функция имеет вид $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$.

• При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает.

• График всегда проходит через точку $(0;1)$ и лежит выше оси $Ox$.

• Показательная зависимость описывает рост и уменьшение величин в несколько раз.