Методы решения показательных уравнений

Слайд 1. Методы решения показательных уравнений

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Слайд 2. Базовое определение

Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени.

Простейший вид: $a^x=b$, где $a>0,a\ne 1$.

Если $b>0$, уравнение имеет единственный корень $x={\log }_{a}b$. Если $b\le 0$, корней нет.

Слайд 3. Основные методы решения

Приведение к одинаковому основанию (метод уравнивания показателей)

Введение новой переменной (метод замены)

Вынесение общего множителя за скобки

Деление на степень (для однородных уравнений)

Графический метод и использование свойств функций

Слайд 4. Алгоритм выбора метода

Слайд 5. Метод уравнивания показателей

Если уравнение можно привести к виду $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, то в силу монотонности функции $y=a^x$ оно равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.

$2^{x+3}=8$

$2^{x+3}=2^3$

$x+3=3$

$x=0$

Слайд 6. Метод введения новой переменной

Используется, если уравнение содержит $a^x$ и $a^{2x}$.

1. Пусть $a^x=t$, где $t>0$.

2. Решаем полученное алгебраическое уравнение относительно $t$.

3. Выполняем обратную замену $a^x=t_n$.

4. Находим значения $x$.

Слайд 7. Вынесение множителя за скобки

Применяется, когда в уравнении присутствуют степени с одинаковым основанием, но разными показателями, отличающимися на число.

Пример: $3^{x+2}-3^x=24$

$3^x(3^2-1)=24$

$3^x\cdot 8=24$

$3^x=3\Rightarrow x=1$

Слайд 8. Однородные уравнения

Слайд 9. Математика — это язык, на котором написана книга природы.

— Галилео Галилей

Слайд 10. Подведем итоги

Всегда проверяйте ОДЗ (основание $a>0,a\ne 1$)

Следите за условием $t>0$ при замене переменной

Используйте свойства степеней: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ и $(a^n{)}^m=a^{nm}$

Помните, что при $b\le 0$ уравнение $a^x=b$ не имеет корней