Степень с действительным показателем

Слайд 1. Степень с действительным показателем

Показательная функция и её свойства. Алгебра, 11 класс

Слайд 2. Повторение: рациональный показатель

Для $a>0$ и рационального числа $r=\frac{m}{n}$:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Свойства степеней:

— $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

— $a^r:a^s=a^{r-s}$

— $(a^r{)}^s=a^{rs}$

— $(ab{)}^r=a^r{b}^r$

Слайд 3. Переход к действительному показателю

Если $x$ — иррациональное число (например, $\sqrt{2}$ или $\pi$), то степень $a^x$ определяется как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — последовательность рациональных чисел, стремящаяся к $x$.

Важное условие: основание степени $a$ должно быть строго больше нуля ($a>0$). Для $a=0$ степень $0^x$ определена только при $x>0$. Выражение $0^0$ не имеет смысла.

Слайд 4. Определение показательной функции

Функция вида $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$, называется показательной.

Основные характеристики:

— Область определения: $D(f)=(-\infty ;+\infty )$

— Множество значений: $E(f)=(0;+\infty )$

— Точка пересечения с осью $Oy$: $(0;1)$ так как $a^0=1$

Слайд 5. Свойства при $a>1$

Функция строго возрастает на всей области определения. Если $x_1<x_2$, то $a^{x_1}<a^{x_2}$. Это свойство используется для решения неравенств.

При $x\to -\infty$ значения функции стремятся к $0$ (ось $Ox$ — горизонтальная асимптота). При $x\to +\infty$ функция растет быстрее любой степени $x^n$.

Слайд 6. Свойства при $0<a<1$

Функция строго убывает на всей области определения. Если $x_1<x_2$, то $a^{x_1}>a^{x_2}$. При решении неравенств знак меняется.

При $x\to +\infty$ значения функции стремятся к $0$. График прижимается к положительному лучу оси абсцисс.

Слайд 7. Сравнение значений

Чтобы сравнить значения показательных функций:

1. Приведите их к одному основанию $a$.

2. Сравните показатели $x_1$ и $x_2$.

3. Учтите характер монотонности.

Пример: сравним $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1.7}$.

Так как $2>1$ и $\sqrt{3}\approx 1.732>1.7$, то $2^{\sqrt{3}}>2^{1.7}$.

Слайд 8. Решение простейших уравнений

Уравнение вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ ($a>0,a\ne 1$)

1. Переход к эквивалентному уравнению: $f(x)=g(x)$.

2. Решение полученного уравнения.

3. Проверка (если требуется по условию задачи).

Пример: $5^{2x-1}=125\Rightarrow 5^{2x-1}=5^3\Rightarrow 2x-1=3\Rightarrow x=2$.

Слайд 9. Показательная функция в природе

Размножение бактерий в питательной среде при отсутствии ограничений.

Радиоактивный распад изотопов (закон полураспада).

Расчет сложных процентов по банковским вкладам.

Моделирование роста численности населения Земли (Мальтус).

Слайд 10. Итоги занятия

Степень с любым действительным показателем определена для $a>0$.

Функция $y=a^x$ принимает только положительные значения.

При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает.

График всегда проходит через точку $(0;1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.