Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Слайд 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Алгебра и начала анализа, 11 класс. Подготовка к заданию 12 профильного ЕГЭ

Слайд 2. Проблема оптимизации: Задача инженера

Условие: Нужно спроектировать прямоугольный загон у каменной стены.

Материал: В наличии имеется 20 метров сетки.

Вопрос: Как выбрать размеры сторон, чтобы площадь была максимальной?

Слайд 3. Актуализация знаний: Анализ графика

Задание: Укажите на предложенном графике точки экстремума.

Вопрос: В каких точках функция принимает самое большое и самое маленькое значения?

Всегда ли точка максимума является наибольшим значением на всем отрезке?

Слайд 4. Задача: Проблема поиска без графического метода

Функция: $f(x)=x^2-4x+5$

Отрезок: $[-1,1]$

Задание: Найдите наибольшее значение функции.

Зафиксируйте затруднения в расчетах:

— Как гарантировать, что мы не пропустили более «высокую» точку на границах?

— Достаточно ли найти только вершину параболы?

Слайд 5. Алгоритм нахождения значений на отрезке $[a,b]$

1. Найти производную функции $f^{\prime }(x)$.

2. Найти критические точки, решив уравнение $f^{\prime }(x)=0$.

3. Выбрать точки, которые лежат внутри отрезка $[a,b]$.

4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка: $f(a)$ и $f(b)$.

5. Выбрать среди полученных чисел наибольшее и наименьшее.

Слайд 6. Практическое задание: Применение алгоритма

Функция: $f(x)=x^3-3x^2+4$

Отрезок: $[-1,3]$

Задание: Выполните шаги алгоритма для поиска наибольшего (max) и наименьшего (min) значений функции.

Слайд 7. Проверяем себя: Поиск критических точек

Шаг 1: Находим производную

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

Шаг 2: Решаем уравнение $f^{\prime }(x)=0$

$3x(x-2)=0$ дает корни $x_1=0$ и $x_2=2$

Шаг 3: Проверка принадлежности отрезку

Точки $0$ и $2$ входят в заданный отрезок $[-1,3]$

Слайд 8. Проверяем себя: Вычисление и ответ

Шаг 4: Вычисляем значения в выбранных точках и на границах

$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+4=0$

$f(0)=0^3-3(0{)}^2+4=4$

$f(2)=2^3-3(2{)}^2+4=0$

$f(3)=3^3-3(3{)}^2+4=4$

Шаг 5: Сравнение значений

Ответ: $\max f(x)=4,\min f(x)=0$

Слайд 9. Домашнее задание

3 задачи на нахождение $\max /\min$ значений многочленов 3-й степени на различных отрезках.

2 задачи с корнями или дробями и одна текстовая задача на оптимизацию (сумма и произведение чисел).

Исследование функции с параметром $a$: определить, при каких $a$ максимум достигается на левом конце.

Слайд 10. Итоги урока и рефлексия

В чем отличие между точкой максимума и наибольшим значением функции?

Какой шаг алгоритма показался самым трудоемким?

Где в вашей будущей профессии пригодится поиск оптимальных решений?