Композиция функций

Слайд 1. Композиция функций

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Слайд 2. Определение сложной функции

Пусть заданы две функции $y=f(u)$ и $u=g(x)$. Если область определения функции $f$ содержит область значений функции $g$, то каждому $x$ из области определения $g$ соответствует единственное значение $y=f(g(x))$.

Такая функция называется композицией (или суперпозицией) функций $f$ и $g$. Записывается как $(f\circ g)(x)$.

Слайд 3. Схема отображения

Слайд 4. Порядок вычислений

1. Сначала вычисляется значение «внутренней» функции $u=g(x)$.

2. Затем полученное значение $u$ используется как аргумент для «внешней» функции $f(u)$.

3. Важно: запись $f(g(x))$ читается справа налево в плане приоритета операций.

4. Не путайте композицию с произведением функций $f(x)\cdot g(x)$.

Слайд 5. Область определения $D(f\circ g)$

Значение $x$ должно принадлежать области определения внутренней функции: $x\in D(g)$.

Значение $g(x)$ должно принадлежать области определения внешней функции: $g(x)\in D(f)$.

Слайд 6. Основные свойства

— Некоммутативность: в общем случае $f(g(x))\ne g(f(x))$. Порядок функций важен!

— Ассоциативность: $((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ h))(x)$.

— Тождественная функция: если $I(x)=x$, то $f\circ I=I\circ f=f$.

Слайд 7. Графическая интерпретация

Рассмотрим $f(x)=x^2$ и $g(x)=x+1$.

1. $(f\circ g)(x)=(x+1{)}^2$ — парабола, смещенная влево.

2. $(g\circ f)(x)=x^2+1$ — парабола, смещенная вверх.

На графике видно, что это разные функции.

Слайд 8. Пример вычисления значений

Слайд 9. Алгоритм поиска формулы

Запишите формулу внешней функции $f(u)$, используя формальную переменную $u$.

Вместо каждой переменной $u$ подставьте выражение внутренней функции $g(x)$ целиком.

Выполните алгебраические преобразования и упростите полученное выражение.

Слайд 10. Итоги занятия

Композиция функций — это «функция от функции».

Порядок $f(g(x))$ означает, что $g$ применяется первой, а $f$ второй.

В общем случае $f\circ g\ne g\circ f$.

Для нахождения $D(f\circ g)$ нужно учитывать ограничения обеих функций.

Умение работать с композицией необходимо для изучения производной сложной функции.