Степенные выражения и функции

Слайд 1. Степенные выражения и функции

Свойства степени с рациональным и действительным показателями. Свойства и графики степенной функции

Слайд 2. Что изучим

Научимся преобразовывать степени с рациональными и действительными показателями.

Выведем основные свойства степенной функции $y=x^a$.

Научимся строить и анализировать её графики.

Свяжем знак показателя, область определения и поведение функции.

Слайд 3. Рациональный и действительный показатель

Показатель имеет вид $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. При $a>0$ и $x\ge 0$: $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$.

Показатель $a$ может быть любым действительным числом. Для $x>0$ степень определяется через экспоненту: $x^a=e^{a\ln x}$.

Слайд 4. Определение степени с рациональным показателем

Для $x>0$ и рационального числа $r=\frac{m}{n}$ справедливо равенство $x^r=\sqrt[n]{x^m}$.

Например, $16^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$.

Рациональный показатель объединяет действия возведения в степень и извлечения корня.

Слайд 5. Основные свойства степеней

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ при $a>0$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ при $a>0$

$(a^m{)}^n=a^{mn}$

$(ab{)}^n=a^n{b}^n$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Слайд 6. «Сначала определите область допустимых значений, затем применяйте свойства степени»

— принцип безопасного преобразования выражений

Слайд 7. Нулевой и отрицательный показатели

Для $a\ne 0$: $a^0=1$.

Для $a\ne 0$: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ при допустимых значениях.

$27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{(\sqrt[3]{27}{)}^2}=\frac{1}{9}$.

Слайд 8. Степень с действительным показателем

При $x>0$ и любом действительном $a$ используют определение $x^a=e^{a\ln x}$.

Оно согласуется с правилами для целых и рациональных показателей.

Например, выражение $5^{\sqrt{2}}$ имеет смысл, хотя показатель $\sqrt{2}$ не является рациональным.

Слайд 9. Ограничения при преобразованиях

Для действительного показателя обычно рассматривают $x>0$.

Выражение $0^a$ требует отдельного анализа показателя.

При чётном корне подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Нельзя без проверки переносить свойства степеней на отрицательные основания и произвольные действительные показатели.

Слайд 10. Алгоритм преобразования степенного выражения

1. Найдите область допустимых значений.

2. Представьте корни как степени с дробными показателями.

3. Примените свойства степеней.

4. Приведите показатели к удобному виду.

5. Проверьте полученный результат на допустимых значениях.

Слайд 11. Три шага анализа степенной функции

Определите показатель $a$ в функции $y=x^a$.

Установите, при каких $x$ функция имеет действительные значения.

Исследуйте монотонность, симметрию и поведение около особых точек.

Слайд 12. Базовый вид степенной функции

Слайд 13. Свойства функции $y=x^a$ при $a>0$

Область определения: все действительные числа. Функция чётная, её график симметричен относительно оси $Oy$. Значения неотрицательны.

Область определения: все действительные числа. Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. Функция возрастает.

Слайд 14. Степенная функция при $a>0$

Для положительного показателя график проходит через точки $(0;0)$ и $(1;1)$, если функция определена в нуле.

При увеличении $x$ значения функции растут.

Форма графика зависит от показателя: при $0<a<1$ рост замедляется, а при $a>1$ — ускоряется.

Слайд 15. Свойства функции $y=x^a$ при $a<0$

Нулевая точка не входит в область определения.

Функция записывается как $y=\frac{1}{x^{-a}}$.

Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

При $x>0$ функция убывает.

График проходит через точку $(1;1)$.

Слайд 16. Как показатель влияет на график при $x>0$

Числовая ось показателя помогает сравнить типичные режимы: убывание, линейный рост и ускоренный рост. Это схема классификации, а не значения функции.

Слайд 17. Чётность и симметрия

Если $f(-x)=f(x)$, функция чётная, а график симметричен относительно оси $Oy$.

Если $f(-x)=-f(x)$, функция нечётная, а график симметричен относительно начала координат.

Для $y=x^a$ это особенно наглядно при целых показателях: чётный показатель даёт чётную функцию, нечётный — нечётную.

Слайд 18. Сравнение графиков при разных показателях

Слайд 19. Поведение графика в ключевых точках

Для любого действительного $a$: $1^a=1$.

При $x\to 0^{+}$ значение $x^a$ стремится к нулю.

При $x\to 0^{+}$ значение $x^a$ неограниченно возрастает.

При $a>0$ функция возрастает, а при $a<0$ стремится к нулю.

Слайд 20. Преобразования графика

График $y=(x-h{)}^a$ сдвигается вдоль оси $Ox$ на $h$.

График $y=x^a+k$ сдвигается вдоль оси $Oy$ на $k$.

Множитель перед функцией изменяет вертикальный масштаб и может отражать график.

Аргумент и значение функции нужно изменять согласованно.

Слайд 21. Разбор примера

Исследуем функцию $y=x^{-\frac{2}{3}}$.

При $x>0$ она убывает, потому что показатель отрицателен.

При $x<0$ выражение также определено, так как знаменатель показателя нечётный.

Функция чётная: $(-x{)}^{-\frac{2}{3}}=x^{-\frac{2}{3}}$.

Её график имеет две ветви и симметрию относительно оси $Oy$.

Слайд 22. Сводная характеристика степенных функций

Слайд 23. Задание для самостоятельной работы

Упростите: $\frac{x^{\frac{5}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$.

Найдите область определения функции $y=x^{-\frac{3}{5}}$.

Определите чётность функции $y=x^4$.

Сравните без калькулятора числа $2^{\frac{1}{2}}$ и $2^{\frac{1}{3}}$.

Опишите поведение $y=x^{-2}$ около нуля.

Слайд 24. Главные выводы

Степень с рациональным показателем связывает корень и возведение в степень.

Для положительного основания свойства степеней сохраняются при действительном показателе.

Вид графика $y=x^a$ определяется знаком и величиной показателя.

Всегда проверяйте область определения и симметрию.

Ключевая точка большинства степенных графиков — $(1;1)$.

Слайд 25. Спасибо за внимание!