Приращение аргумента и приращение функции

Слайд 1. Приращение аргумента и приращение функции

Алгебра, 11 класс

Слайд 2. Приращение аргумента

Пусть переменная $x$ принимает начальное значение $x_0$. Если мы изменим её до нового значения $x$, то разность между новым и старым значениями называется приращением аргумента.

Формула: $\Delta x=x-x_0$

Знак $\Delta$ (дельта) в математике традиционно обозначает изменение какой-либо величины.

Слайд 3. Приращение функции

При изменении аргумента на $\Delta x$, значение функции $f(x)$ также изменяется от $f(x_0)$ до $f(x_0+\Delta x)$.

Разность между новым и начальным значениями функции называется приращением функции:

$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

Слайд 4. Алгоритм нахождения приращения функции

1. Зафиксировать начальное значение $x_0$.

2. Вычислить значение функции в начальной точке: $f(x_0)$.

3. Придать аргументу приращение $\Delta x$ и найти новое значение $x=x_0+\Delta x$.

4. Вычислить значение функции в новой точке: $f(x_0+\Delta x)$.

5. Найти разность: $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.

Слайд 5. Сравнение характеристик

• Независимая переменная.

• Может быть выбрано произвольно.

• Определяет «шаг» по оси абсцисс.

• Геометрически — горизонтальный отрезок.

• Зависимая переменная.

• Зависит от вида функции $f(x)$ и точки $x_0$.

• Показывает реакцию функции на изменение $x$.

• Геометрически — вертикальный отрезок.

Слайд 6. Примеры приращений для разных функций

$f(x)=C$

При любом $\Delta x$:

$\Delta f=C-C=0$

Функция не меняется.

$f(x)=kx+b$

$\Delta f=k(x_0+\Delta x)+b-(k{x}_0+b)=k\cdot \Delta x$

Приращение пропорционально $\Delta x$.

$f(x)=x^2$

$\Delta f=(x_0+\Delta x{)}^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2$

Зависит и от $x_0$, и от $\Delta x$.

Слайд 7. Практические вычисления

Слайд 8. Отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x\to 0$ является фундаментальным понятием математического анализа — производной.

— Определение производной функции

Слайд 9. Физический смысл приращений

Если рассматривать движение тела, то:

• Аргумент $t$ — время.

• Приращение $\Delta t$ — промежуток времени.

• Функция $s(t)$ — путь.

• Приращение $\Delta s$ — перемещение за время $\Delta t$.

Отношение $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ определяет среднюю скорость движения тела на данном участке пути.

Слайд 10. Подведем итоги

Приращение аргумента $\Delta x=x-x_0$ — это разность значений независимой переменной.

Приращение функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — это отклик функции на изменение аргумента.

Приращения могут быть как положительными (рост), так и отрицательными (убывание).

Эти понятия необходимы для изучения скорости изменения функций и введения понятия производной.