Показательная функция и степени

Слайд 1. Показательная функция и степени

От рациональных показателей до уравнений и неравенств

Слайд 2. Степень с рациональным показателем

Мы уже умеем работать с целыми степенями. Теперь расширим это понятие на дроби. Если $a>0$, то степенью числа $a$ с рациональным показателем $r=\frac{m}{n}$ называется число:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Здесь $m$ — целое число, а $n$ — натуральное ($n>1$). Это определение позволяет нам вычислять значения вроде $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.

Слайд 3. Свойства рациональной степени

Для любых $a>0$, $b>0$ и рациональных $p,q$ выполняются правила:

• $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$

• $a^p:a^q=a^{p-q}$

• $(a^p{)}^q=a^{p\cdot q}$

• $(ab{)}^p=a^p\cdot b^p$

• $(\frac{a}{b}{)}^p=\frac{a^p}{b^p}$

Слайд 4. Практика: Преобразование выражений

Вычислим: $27^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{-1}$.

1. $27^{\frac{2}{3}}=(3^3{)}^{\frac{2}{3}}=3^{3\cdot \frac{2}{3}}=3^2=9$.

2. $9\cdot 3^{-1}=9\cdot \frac{1}{3}=3$.

Упростим: $\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{a}$.

1. Перейдем к степеням: $a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}$.

2. Сложим показатели: $a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=a^{\frac{5}{6}}$.

3. Итог: $\sqrt[6]{a^5}$.

Слайд 5. Показательная функция

Функция вида $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$, называется показательной.

Главное отличие от степенной функции ($y=x^n$): здесь переменная $x$ находится в показателе, а не в основании. График такой функции всегда проходит через точку $(0;1)$, так как $a^0=1$.

Слайд 6. Свойства функции $y=a^x$

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (любое число).

• Множество значений: $E(f)=(0;+\infty )$ (всегда положительна).

• Монотонность: возрастает при $a>1$, убывает при $0<a<1$.

• Асимптота: ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Слайд 7. Решение показательных уравнений

Приведение к одному основанию: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$. Самый частый способ.

Замена переменной: если уравнение содержит $a^x$ и $a^{2x}$, вводим $t=a^x$ ($t>0$) и решаем квадратное уравнение.

Вынесение общего множителя: удобно, когда в уравнении сумма степеней с близкими показателями.

Слайд 8. Показательные неравенства

При решении неравенств вида $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ КРИТИЧЕСКИ важно смотреть на основание $a$. Если $a>1$, функция возрастает, и знак неравенства для показателей СОХРАНЯЕТСЯ: $f(x)>g(x)$.

Если же $0<a<1$, функция убывает. В этом случае знак неравенства для показателей МЕНЯЕТСЯ на противоположный: $f(x)<g(x)$. Не забывайте об этом правиле!

Слайд 9. Применение в жизни

Размножение бактерий в питательной среде происходит в геометрической прогрессии (экспоненциально).

Закон радиоактивного распада: количество ядер уменьшается по закону $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$.

Расчет сложных процентов по вкладам или кредитам использует формулы с показательной функцией.

Моделирование роста численности населения планеты при неограниченных ресурсах.

Слайд 10. Главные выводы

Степень с дробным показателем — это другой способ записи корня.

Показательная функция $y=a^x$ всегда выше нуля.

При $a>1$ график идет вверх, при $0<a<1$ — вниз.

Главная ловушка в неравенствах — смена знака при $a<1$.

Математика — это язык, на котором говорит природа!