Степень с рациональным показателем

Слайд 1. Степень с рациональным показателем

Алгебра, 11 класс: свойства и показательная функция

Слайд 2. Определение рациональной степени

Степенью числа $a>0$ с рациональным показателем $r=\frac{m}{n}$ (где $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},n>1$) называется число $\sqrt[n]{a^m}$.

Основная формула:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Важно: основание $a$ должно быть положительным для корректности определения при любом $n$.

Слайд 3. Свойства степени

Для любых $a>0$, $b>0$ и рациональных $p,q$:

— Умножение: $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$

Пример: $2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2$

— Деление: $a^p:a^q=a^{p-q}$

Пример: $5^{\frac{3}{2}}:5^{\frac{1}{2}}=5$

— Степень степени: $(a^p{)}^q=a^{p\cdot q}$

Пример: $(3^{\frac{1}{2}}{)}^2=3$

— Произведение: $(ab{)}^p=a^p\cdot b^p$

Пример: $6^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}$

— Частное: $(\frac{a}{b}{)}^p=\frac{a^p}{b^p}$

Пример: $(\frac{4}{9}{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Слайд 4. Практические примеры вычислений

Слайд 5. Показательная функция

Функция вида $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$, называется показательной функцией.

Ключевые характеристики:

— Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (любое число).

— Множество значений: $E(f)=(0;+\infty )$ (только положительные числа).

— Функция всегда проходит через точку $(0;1)$, так как $a^0=1$.

Слайд 6. Графики функции $y=a^x$

Слайд 7. Свойства графика и функции

— Монотонность: если $a>1$, функция возрастает; если $0<a<1$, функция убывает.

— Асимптота: ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x\to -\infty$ (для $a>1$) или $x\to +\infty$ (для $0<a<1$).

— Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

— Выпуклость: график всегда направлен выпуклостью вниз.

Слайд 8. Сравнение значений

Функция сохраняет знак неравенства.

Пример:

$2^{\sqrt{3}}>2^{1,7}$, так как $\sqrt{3}\approx 1,732>1,7$.

Функция меняет знак неравенства.

Пример:

$0,5^3<0,5^2$, так как основание $0,5<1$, а показатели $3>2$.

Слайд 9. Проверь себя

Вычислите: $16^{0,75}$.

(Ответ: $\sqrt[4]{16^3}=2^3=8$)

Сравните: $(\frac{1}{3}{)}^5$ и $(\frac{1}{3}{)}^6$.

(Ответ: $(\frac{1}{3}{)}^5>(\frac{1}{3}{)}^6$)

Может ли $y=3^x$ принимать значение $-1$?

(Ответ: Нет, $E(f)=(0;+\infty )$)

Через какую точку проходят все графики $y=a^x$?

(Ответ: $(0;1)$)

Слайд 10. Итоги темы

Рациональная степень — обобщение понятия целой степени через корень.

Свойства степеней идентичны свойствам для целых показателей.

Показательная функция $y=a^x$ описывает процессы быстрого роста и распада.

Поведение функции (рост/убывание) определяется исключительно основанием $a$.