Производная функции

Слайд 1. Производная функции

Производные элементарных функций. Геометрический и физический смысл

Слайд 2. Что такое производная

Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Она показывает мгновенную скорость изменения функции.

Слайд 3. Основные правила дифференцирования

Производная постоянной: $(C{)}^{\prime }=0$

Производная суммы: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

Производная произведения: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Производная частного: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

Производная сложной функции: $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Слайд 4. Производные элементарных функций

Слайд 5. Геометрический смысл производной

Слайд 6. Два смысла производной

Производная $f^{\prime }(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если $f^{\prime }(x_0)>0$, график возрастает; если $f^{\prime }(x_0)<0$, график убывает.

Если координата тела задаётся законом $s=s(t)$, то скорость движения равна производной координаты: $v(t)=s^{\prime }(t)$. Производная скорости даёт ускорение: $a(t)=v^{\prime }(t)$.

Слайд 7. Пример физического применения

Пусть координата тела меняется по закону $s(t)=t^2+2t$, где $t$ — время. Тогда скорость равна $v(t)=s^{\prime }(t)=2t+2$. В момент $t=3$ скорость составляет $v(3)=8$ условных единиц в единицу времени. Ускорение постоянно: $a(t)=v^{\prime }(t)=2$.

Слайд 8. Как найти производную функции

Определите вид функции и область допустимых значений.

Выберите правило дифференцирования и найдите производные частей.

Упростите результат и проверьте ограничения на переменную.

Слайд 9. Проверь себя

Найдите производную функции $y=3x^4-5x^2+7$.

Найдите производную функции $y=\sin x+x^3$.

Определите, возрастает или убывает функция $y=x^2-4x$ в точке $x=1$.

Объясните, что означает значение производной, если $s(t)$ — координата движущегося тела.

Слайд 10. Итоги

Производная описывает мгновенную скорость изменения функции.

Геометрически производная — угловой коэффициент касательной.

Физически производная координаты — скорость, а производная скорости — ускорение.

Для вычислений используются таблица производных и правила дифференцирования.

Следующий шаг — исследование функции с помощью производной.