Показательные неравенства

Слайд 1. Показательные неравенства

Алгебра, 11 класс: свойства, методы решения и типичные ошибки

Слайд 2. Определение и вид

Показательным называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.

Базовый вид:

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ или $a^{f(x)}<a^{g(x)}$

Здесь $a$ — основание, причем $a>0$ и $a\ne 1$.

Слайд 3. Ключевое свойство монотонности

Функция $y=a^x$ возрастает. При переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $f(x)>g(x)$.

Функция $y=a^x$ убывает. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $f(x)<g(x)$.

Слайд 4. Графическая иллюстрация свойств

Слайд 5. Алгоритм решения

1. Привести обе части к одному основанию $a$.

2. Определить, больше или меньше единицы число $a$.

3. Составить неравенство для показателей.

4. Решить полученное неравенство (линейное, квадратное и т.д.).

Слайд 6. Метод приведения к одному основанию

Если неравенство имеет вид $a^{f(x)}>b$, и $b$ можно представить как $a^k$, то решение сводится к простейшему.

Пример: $3^{x+1}\ge 27$.

1. Заметим, что $27=3^3$.

2. $3^{x+1}\ge 3^3$.

3. Так как $3>1$, то $x+1\ge 3$.

4. Ответ: $x\ge 2$.

Слайд 7. Метод введения новой переменной

Используется, если в неравенстве есть $a^{2x}$ и $a^x$ (сводится к квадратному).

Пусть $a^x=t$. Важнейшее условие: $t>0$.

Решаем неравенство относительно $t$, учитывая область значений.

Делаем обратную замену $t=a^x$ и находим $x$.

Слайд 8. Примеры сравнения оснований

Помните: если основание — число иррациональное или дробное, сначала оцените его величину относительно единицы.

Слайд 9. «Природа говорит на языке математики, буквами которой являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры... и числа»

— Галилео Галилей

Слайд 10. Главные выводы занятия

Всегда проверяйте основание $a$: от него зависит направление знака.

Помните, что $a^x$ всегда строго больше нуля.

При замене $t=a^x$ не теряйте условие $t>0$.

Сложные основания (корни, дроби) всегда приводите к простому виду.