Показательная функция и показательные уравнения

Слайд 1. Показательная функция и показательные уравнения

Алгебра, 11 класс

Слайд 2. Что такое показательная функция

Показательной называют функцию вида $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$.

Основание $a$ фиксировано, а показатель $x$ может принимать любые действительные значения. Значение функции всегда положительно: $a^x>0$.

Слайд 3. Свойства при разных основаниях

Функция возрастает.

График проходит через точку $(0;1)$.

При увеличении $x$ значения $a^x$ растут.

Если $x_1<x_2$, то $a^{x_1}<a^{x_2}$.

Функция убывает.

График проходит через точку $(0;1)$.

При увеличении $x$ значения $a^x$ уменьшаются.

Если $x_1<x_2$, то $a^{x_1}>a^{x_2}$.

Слайд 4. Графики показательных функций

Слайд 5. Основные свойства и ориентиры

$x\in \mathbb{R}$

$y>0$

Точка $(0;1)$

Ось $Ox$, то есть $y=0$

Слайд 6. Показательные уравнения: общий алгоритм

1. Определите область допустимых значений.

2. Приведите обе части к общему основанию, если это возможно.

3. Используйте равенство показателей: $a^u=a^v\Rightarrow u=v$, если $a>0$ и $a\ne 1$.

4. Проверьте найденные корни.

Слайд 7. Пример решения уравнения

Решим уравнение $2^{x+1}=8$.

Представим $8$ как степень с основанием $2$: $8=2^3$. Тогда $2^{x+1}=2^3$, поэтому $x+1=3$ и $x=2$.

Ответ: $x=2$.

Слайд 8. Показательные неравенства

Если $a>1$, знак неравенства между показателями сохраняется: $a^u>a^v\iff u>v$.

Пример: $3^{2x-1}>3^5$ означает $2x-1>5$, откуда $x>3$.

Если $0<a<1$, знак меняется: $a^u>a^v\iff u<v$.

Пример: $(1/2{)}^x<(1/2{)}^4$ означает $x>4$.

Слайд 9. «Сначала сравни основания, затем работай с показателями»

— ключевая стратегия решения показательных неравенств

Слайд 10. Итоги и самопроверка

Показательная функция имеет вид $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne 1$.

График проходит через точку $(0;1)$ и лежит выше оси $Ox$.

При $a>1$ функция возрастает, а при $0<a<1$ — убывает.

В уравнениях удобно приводить части к общему основанию.

В неравенствах при основании от $0$ до $1$ знак меняется.

Задание: решите $5^{x-1}=25$ и ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+2}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^4$.