Локализация и уточнение корней уравнений

Слайд 1. Локализация и уточнение корней уравнений

Алгебра, 11 класс

Слайд 2. Что называют корнем уравнения?

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Для уравнения $f(x)=0$ корень — такое число $x^{\ast }$, что $f(x^{\ast })=0$. Например, число $2$ — корень уравнения $x^2-4=0$, поскольку $2^2-4=0$.

Слайд 3. Корни и решения уравнения

Уравнение может иметь:

ни одного действительного корня;

один действительный корень;

несколько действительных корней.

Корни зависят от области допустимых значений.

Найденное значение нужно проверить подстановкой.

Слайд 4. Точное и приближённое решение

Ответ записан в точной форме, например $x=\sqrt{2}$. Такой результат доступен не для каждого уравнения.

Ответ задаётся числом с выбранной точностью, например $x\approx 1,41$. Важно знать, насколько близко оно к настоящему корню.

Слайд 5. Что значит локализовать корень?

Локализовать корень — значит указать промежуток, внутри которого находится корень уравнения. Например, для $f(x)=x^2-2$ корень \sqrt{2} лежит между $1$ и $2$. Локализация помогает выбрать начальный интервал для дальнейшего уточнения.

Слайд 6. Путь от уравнения к приближённому корню

Выбрать отрезок, где ожидается корень, и проверить значения функции на его концах.

Применить численный метод, последовательно сужая интервал или строя приближения.

Оценить погрешность и убедиться, что значение функции близко к нулю.

Слайд 7. Зачем нужны численные методы?

Для многих уравнений нельзя выразить корень простой формулой. Численные методы позволяют получить его приближённое значение с заданной точностью. Их применяют к алгебраическим, тригонометрическим и другим уравнениям. Результат зависит от выбранного метода, начальных данных и критерия остановки.

Слайд 8. Как подготовить уравнение к численному решению

Перенести всё в одну сторону и записать $f(x)=0$.

Уточнить область допустимых значений.

Определить, где искать корень.

Выбрать метод и начальные данные.

Заранее установить критерий остановки.

Слайд 9. Как выбрать интервал локализации

Вычислить $f(a)$ и $f(b)$ на концах отрезка.

Если $f(a)f(b)<0$ и функция непрерывна, на отрезке есть хотя бы один корень.

Смена знака сама по себе не гарантирует, что корень единственный.

Чем уже начальный интервал, тем меньше шагов часто требуется для достижения точности.

Слайд 10. Пример локализации корня

Рассмотрим $f(x)=x^2-2$. На концах отрезка $[1;2]$ имеем $f(1)=-1$ и $f(2)=2$. Функция непрерывна, а знаки значений противоположны, поэтому на этом отрезке есть корень. Здесь он равен \sqrt{2}.

Слайд 11. Приближённый ответ — это не догадка, а результат метода и оценки ошибки.

— Главная идея численного решения

Слайд 12. Метод половинного деления: идея

Пусть на отрезке $[a;b]$ функция непрерывна и значения на концах имеют разные знаки. Находим середину $c=\frac{a+b}{2}$.

Сравниваем знаки $f(c)$ и значений на концах. Оставляем ту половину отрезка, на которой сохраняется смена знака. Повторяем процесс.

Слайд 13. Шаги метода половинного деления

Задать отрезок $[a;b]$ со сменой знака функции.

Вычислить середину $c=\frac{a+b}{2}$.

Определить, в какой половине есть смена знака.

Заменить исходный отрезок этой половиной.

Повторять до выполнения критерия точности.

Слайд 14. Первый шаг на примере

Для $f(x)=x^2-2$ на отрезке $[1;2]$ середина равна $c=1,5$. Получаем $f(1,5)=0,25>0$, а $f(1)<0$. Значит, корень сохраняется в левой половине: $[1;1,5]$.

Слайд 15. Как оценить точность деления пополам

После каждого шага длина текущего отрезка уменьшается вдвое. Если корень находится внутри отрезка $[a_n;b_n]$, то середина отрезка отличается от корня не более чем на половину его длины: $|c_n-x^{\ast }|\le \frac{b_n-a_n}{2}$. Остановиться можно, когда эта оценка не превосходит заданную погрешность.

Слайд 16. Сильные стороны и ограничения метода

При непрерывности и смене знака метод надёжен: интервал с корнем сохраняется. Алгоритм прост, а ошибку можно оценить через длину текущего отрезка.

Для старта нужен отрезок со сменой знака. Интервал сужается равномерно, поэтому до высокой точности иногда приходится выполнять много шагов.

Слайд 17. Алгоритм половинного деления

Сначала проверяем смену знака на концах. Затем вычисляем середину и выбираем половину, в которой функция меняет знак. Если достигнута требуемая точность, завершаем вычисления; иначе повторяем шаг.

Слайд 18. Метод простой итерации

Слайд 19. Идея простой итерации

Уравнение $f(x)=0$ преобразуют к виду $x=\phi (x)$. Затем выбирают начальное приближение $x_0$ и последовательно вычисляют $x_{n+1}=\phi (x_n)$. Полученные значения должны приближаться к корню.

Слайд 20. Переход от уравнения к итерациям

Начинаем с уравнения $f(x)=0$.

Записываем его в эквивалентной форме $x=\phi (x)$.

Выбираем $x_0$ в области, где ищем корень.

Вычисляем $x_1,x_2,\dots$ по правилу $x_{n+1}=\phi (x_n)$.

Слайд 21. Пример итерационной формулы

Для уравнения $x^2-2=0$ при $x>0$ можно использовать преобразование $x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$. Поэтому задают $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$. При подходящем положительном начальном значении последовательность приближается к \sqrt{2}.

Слайд 22. Когда простая итерация сходится?

Преобразование должно быть корректно на выбранной области.

Приближения должны оставаться в этой области.

Около корня важно условие $|{\phi }^{\prime }(x)|<1$.

Если на рассматриваемом интервале $|{\phi }^{\prime }(x)|\le q<1$, отображение является сжимающим.

Начальное приближение влияет на ход процесса.

Слайд 23. Почему возникает сходимость?

Корень $x^{\ast }$ в форме простой итерации является неподвижной точкой: $x^{\ast }=\phi (x^{\ast })$. Если отображение сжимает расстояния в окрестности этой точки, очередное приближение обычно оказывается ближе к ней. Условие $|{\phi }^{\prime }(x)|<1$ в этой области служит важным признаком сходимости.

Слайд 24. Половинное деление и простая итерация

Требует непрерывности и смены знака на концах отрезка. Сохраняет интервал с корнем и даёт контролируемое сужение. Скорость уменьшения длины отрезка предсказуема.

Требует преобразования $x=\phi (x)$ и удачного выбора начального значения. При сходимости приближения могут меняться быстрее, но сходимость зависит от свойств отображения.

Слайд 25. Что называют скоростью сходимости?

Скорость сходимости описывает, насколько быстро уменьшается ошибка $e_n=|x_n-x^{\ast }|$ при переходе от одной итерации к следующей. Сравнивать методы корректно, если для них заданы одинаковая задача, начальные условия и требуемая точность.

Слайд 26. Скорость двух методов: качественное сравнение

При делении пополам длина интервала на каждом шаге становится вдвое меньше.

Для простой итерации скорость зависит от функции $\phi$ и начального приближения.

Если $|{\phi }^{\prime }(x^{\ast })|<1$, ошибка обычно убывает примерно пропорционально предыдущей.

Если производная в корне равна нулю, сходимость может быть быстрее линейной.

Без проверки условий нельзя заранее считать простую итерацию более быстрой.

Слайд 27. Как сравнить методы на практике

Для одного уравнения задайте одинаковую требуемую точность. Проведите вычисления каждым методом и сравните число шагов, трудоёмкость шага и возможность оценить ошибку. Отдельно проверьте, выполнены ли условия сходимости. Одного числа итераций недостаточно для универсального вывода.

Слайд 28. Типичные ошибки при решении

Метод половинного деления нельзя начинать без проверки значений на концах.

Смена знака подтверждает наличие корня при непрерывности, но не его единственность.

Разные преобразования $x=\phi (x)$ могут давать разное поведение итераций.

Приближённый ответ полезно подставить в исходную функцию и оценить невязку.

Слайд 29. Задание для самопроверки

Для уравнения $x^2-3=0$ локализуйте положительный корень на отрезке с целыми концами.

Проверьте смену знака функции на концах.

Выполните два шага метода половинного деления.

Запишите итерационную формулу для положительного корня по образцу $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right)$.

Сравните, что можно гарантировать о ходе каждого метода.

Слайд 30. Главное о локализации и уточнении корней

Корень уравнения $f(x)=0$ — значение, при котором $f(x)=0$.

Локализация задаёт интервал, содержащий искомый корень.

Половинное деление сохраняет интервал со сменой знака и последовательно его сужает.

Простая итерация строит последовательность по формуле $x_{n+1}=\phi (x_n)$.

Сходимость и скорость итераций зависят от условий метода и начального приближения.

Приближённый результат нужно проверять и сопровождать оценкой точности.