Геометрический смысл производной

Слайд 1. Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику функции. 11 класс, Алгебра

Слайд 2. Определение касательной

Касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ — это предельное положение секущей $AM$ при приближении точки $M$ к точке $A$ по графику.

Геометрически производная $f^{\prime }(x_0)$ равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси $Ox$.

Слайд 3. Угловой коэффициент

Производная функции в точке $x_0$ имеет чёткую геометрическую интерпретацию:

$k=f^{\prime }(x_0)$ — угловой коэффициент касательной.

$k=\tan \alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной и осью $Ox$.

Если $f^{\prime }(x_0)>0$, то угол $\alpha$ острый.

Если $f^{\prime }(x_0)<0$, то угол $\alpha$ тупой.

Если $f^{\prime }(x_0)=0$, то касательная параллельна оси $Ox$.

Слайд 4. Виды углов наклона

Производная $f^{\prime }(x_0)>0$. Касательная образует острый угол с осью абсцисс. Функция «идет вверх» в окрестности точки.

Производная $f^{\prime }(x_0)<0$. Касательная образует тупой угол с осью абсцисс. Функция «падает» в окрестности точки.

Слайд 5. Уравнение касательной

Общее уравнение прямой имеет вид $y=kx+b$. Для касательной в точке $(x_0;f(x_0))$ это уравнение принимает вид:

$$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

Здесь $f(x_0)$ — значение функции в точке касания, а $f^{\prime }(x_0)$ — значение производной, определяющее наклон.

Слайд 6. Алгоритм составления уравнения

1. Обозначить абсциссу точки касания через $x_0$.

2. Вычислить значение функции в этой точке: $f(x_0)$.

3. Найти производную функции $f^{\prime }(x)$ и вычислить $f^{\prime }(x_0)$.

4. Подставить найденные значения в общую формулу касательной.

Слайд 7. Особые случаи касательных

Горизонтальная касательная ($f^{\prime }(x_0)=0$) указывает на наличие точки экстремума (максимума или минимума) или точки перегиба.

Слайд 8. Пример решения задачи

Дана функция $f(x)=x^2$. Найти уравнение касательной в точке $x_0=1$.

1. $f(1)=1^2=1$.

2. $f^{\prime }(x)=2x$.

3. $f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$.

4. $y=1+2(x-1)=2x-1$.

Слайд 9. Задание для самостоятельной работы

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)=\sin x$ в точке $x_0=0$.

Составьте уравнение касательной к функции $f(x)=x^3-3x$ в точке $x_0=2$.

Определите, в каких точках касательная к графику $f(x)=\frac{1}{x}$ параллельна прямой $y=-x+5$.

Слайд 10. Подведем итоги

Геометрический смысл производной: $f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha =k$.

Касательная — это прямая, наилучшим образом приближающая функцию в точке.

Основная формула: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.

Знание производной позволяет находить углы наклона и строить приближенные модели процессов.