Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Диаграммы Эйлера
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять объединение, пересечение и дополнение множеств, изображать результат на диаграммах Эйлера и применять эти операции в 3–4 учебных и жизненных ситуациях с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о содержании операций объединения, пересечения и дополнения множеств и научить записывать их с помощью символов.
- Научить строить диаграммы Эйлера для двух множеств и определять элементы, принадлежащие различным областям диаграммы.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать подходящую операцию, аргументировать решение и проверять его по диаграмме.
- Воспитывать внимательное отношение к математическим обозначениям, готовность к сотрудничеству и ответственному выбору стратегии решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точного описания групп объектов для анализа данных в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к способам классификации информации и поиску закономерностей.
- Принимают необходимость проверять рассуждение с помощью модели или рисунка.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Читают условие задачи, выделяют множества и отношения между ними, преобразуют текстовую информацию в математическую модель.
- Планируют решение, выбирают операцию над множествами и осуществляют самопроверку по диаграмме Эйлера.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ в паре и при обсуждении с классом.
- Используют условные обозначения и схему как средство представления информации.
Предметные
- Знать определения объединения, пересечения и дополнения множества относительно универсального множества.
- Уметь записывать операции с помощью обозначений $A \cup B$, $A \cap B$, $\overline{A}$ и описывать их словами.
- Уметь изображать объединение, пересечение и дополнение на диаграммах Эйлера.
- Уметь определять принадлежность элемента результату операции и решать простые задачи на операции над множествами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения математического языка для описания и обработки информации.
- Оценивают собственную готовность применять новые обозначения в практической ситуации.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления ответа.
- Осознают ценность точности и доказательности математического высказывания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность действий: определить множества, выбрать операцию, построить диаграмму, проверить результат.
- Сверяют решение с эталоном и находят ошибку в обозначении или закрашивании области.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и намечают способ коррекции.
Познавательные УУД
- Сравнивают смысл объединения и пересечения на конкретных примерах.
- Классифицируют элементы по принадлежности одному или двум множествам.
- Строят математическую модель ситуации в виде диаграммы Эйлера.
- Устанавливают связь между словесным описанием, символической записью и графическим изображением.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют вопросы о принадлежности элементов множествам и отвечают с обоснованием.
- Согласовывают общий вариант диаграммы и корректно указывают на неточности.
- Представляют решение классу, используя математические термины и символы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения трёх диаграмм Эйлера: объединение, пересечение, дополнение относительно универсального множества.
- Распечатать карточки с универсальным множеством и двумя множествами для работы в парах — по одной карточке на парту, всего 15 экземпляров.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и 3 запасных комплекта.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я могу определить объединение», «Я могу определить пересечение», «Я могу построить дополнение».
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: синий для множества $A$, зелёный для множества $B$, жёлтый для искомой области.
- Вывесить на доску памятку: «Объединение — хотя бы в одном множестве; пересечение — одновременно в обоих; дополнение — вне множества, но внутри универсального множества».
- Подготовить магнитные карточки с символами $\cup$, $\cap$, чертой дополнения и словами «или», «и», «не».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, доску с маркерами и таймер на 2–3 минуты.
- Подготовить лист с жизненным контекстом: предпочтения учащихся в музыке и спорте для итоговой задачи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую необходимость операций над множествами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране список: «Участники школьной команды, занимающиеся спортом, участники музыкального кружка». Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем учиться работать с группами объектов так, чтобы быстро отвечать на вопросы: кто входит хотя бы в одну группу, кто входит сразу в две, а кто не входит в выбранную группу. Такие задачи встречаются при анализе анкет, статистики и данных о пользователях." | Проверяют готовность к уроку, рассматривают список и называют примеры групп: «спортсмены», «музыканты», «участники обоих кружков». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Представьте, что в классе 10 человек выбрали футбол, 8 — баскетбол, а 3 занимаются обоими видами спорта. Как на рисунке показать только тех, кто выбрал оба вида? А как — всех, кто выбрал хотя бы один? Сегодня нам понадобится точный математический язык для таких ответов." Учитель фиксирует ключевые слова «хотя бы один», «оба», «не входит». | Предлагают способы изображения, замечают, что одних слов недостаточно для краткой записи, формулируют предположение: «Нужны круги и области внутри них». |
0 мин | Учитель сообщает: "К концу урока вы сможете переводить такие слова в символы и диаграммы Эйлера. Сначала проверим, какие знания нам уже пригодятся." | Слушают формулировку цели и записывают тему по указанию учителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же жизненная ситуация требует различать «или», «и» и «не». Сейчас вспомним, что такое множество и как обозначают принадлежность элемента."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия множества, элемента и принадлежности множеству.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске запись $A=\{2,4,6,8\}$ и спрашивает: "Что обозначает буква $A$? Как называются числа внутри фигурных скобок? Как записать, что число 4 принадлежит множеству $A$? А что число 5 не принадлежит?" | Отвечают: «$A$ — множество», «числа — элементы», записывают и произносят: $4\in A$, $5\notin A$. |
2 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточки с множествами $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$ и говорит: "За одну минуту найдите элементы, общие для двух множеств, и элементы, которые встречаются хотя бы в одном из них. Не используйте пока новые символы — объясните словами." | В парах находят общие элементы «3 и 4», перечисляют все элементы «1, 2, 3, 4, 5, 6», объясняют ход рассуждения. |
1 мин | Учитель просит поднять зелёную карточку, если ответ понятен, и жёлтую, если требуется повторение. Затем уточняет: "Как вы поняли выражение «общие элементы»?" | Показывают карточки, формулируют: «Элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем находить общие элементы и собирать все элементы из двух групп, но пока не договорились о специальных названиях и обозначениях. Это и есть наше сегодняшнее затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить потребность в новых понятиях и совместно сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три высказывания: «элементы из $A$ или $B$», «элементы из $A$ и $B$», «элементы не из $A$». Учитель спрашивает: "Можно ли одной короткой записью обозначить каждую группу? Какие слова нужно превратить в математические операции?" | Сравнивают высказывания, предполагают: «Нужны разные знаки», «для третьего случая нужно множество, относительно которого рассматриваем дополнение». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что нам нужно узнать. Затем обсудите запись с соседом и сформулируйте общий план из трёх шагов." Учитель принимает варианты и фиксирует на доске: «назвать операции — показать на диаграмме — применить к задаче». | Индивидуально формулируют вопрос, обсуждают его в парах, предлагают цели: «узнать обозначения объединения, пересечения и дополнения», «научиться заштриховывать нужную область». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: сначала откроем смысл трёх операций, затем свяжем каждую с диаграммой Эйлера и после этого проверим себя на задачах. Переходим к самому важному этапу — построению нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения операций над множествами и установить соответствие между словесной, символической и графической моделями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает два пересекающихся круга $A$ и $B$ и говорит: "Рассмотрим все точки, которые находятся хотя бы в одном из кругов. Такая область называется объединением множеств. Объединение содержит элементы, принадлежащие $A$ или $B$, включая элементы, принадлежащие обоим. Записываем: $A\cup B$. Ключевое слово — «или»." Учитель закрашивает оба круга. | Наблюдают за построением, записывают определение: «$A\cup B$ — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств $A$ или $B$», формулируют: «В объединении учитываются все элементы обоих множеств без повторений». |
3 мин | Учитель изменяет изображение: "Теперь оставим только общую часть кругов. Она называется пересечением множеств. В пересечение входят элементы, принадлежащие и $A$, и $B$ одновременно. Запись: $A\cap B$. Ключевое слово — «и»." Учитель закрашивает линзу пересечения. | В тетради записывают определение и символ $A\cap B$, отвечают: «Для множеств $A=\{1,2,3,4\}$ и $B=\{3,4,5,6\}$ пересечение равно $\{3,4\}$». |
2 мин | Учитель рисует прямоугольник универсального множества $U$ и круг $A$: "Если нас интересуют все элементы универсального множества, которые не входят в $A$, получаем дополнение множества $A$. Обозначение — $\overline{A}$. Дополнение зависит от того, какое множество выбрано универсальным." | Рассматривают прямоугольник и круг, формулируют: «Дополнение — это элементы внутри $U$, но вне $A$», записывают условие $\overline{A}=U\setminus A$. |
2 мин | Учитель проводит мини-диалог: "Какую операцию выбираем для слова «или»? Какую для слова «одновременно»? Что обязательно указать при нахождении дополнения? Почему нельзя говорить о дополнении без универсального множества?" | Отвечают: «Объединение», «пересечение», «нужно указать универсальное множество», приводят объяснение: «Без $U$ неизвестно, какие элементы считать внешними». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают памятку: $A\cup B$ — элементы из $A$ или $B$; $A\cap B$ — элементы, одновременно входящие в $A$ и $B$; $\overline{A}=U\setminus A$ — элементы универсального множества, не входящие в $A$. Рядом изображают три диаграммы и закрашивают соответствующие области.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы связали три слова с тремя операциями и тремя областями диаграммы. Теперь важно научиться не только повторять определения, но и применять их к конкретным множествам."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор операции и научиться изображать результат на диаграмме Эйлера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5,6\}$. Инструкция: "Сначала найдите словесно $A\cup B$ и $A\cap B$, затем изобразите два пересекающихся круга и заштрихуйте каждую область разным цветом." | Пары перечисляют элементы объединения и пересечения, рисуют прямоугольник $U$ и два круга, используют разные цвета. |
3 мин | Учитель предлагает задания на выбор: "Вариант 1: найдите $A\cup B$ и $A\cap B$. Вариант 2: дополнительно найдите $\overline{A}$ относительно $U$. Обсудите ответ с партнёром и подготовьте объяснение одной фразой." | Выбирают вариант, решают: $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A\cap B=\{3,4\}$, $\overline{A}=\{5,6,7,8\}$; готовят объяснение. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь карточками. Проверьте три вещи: правильно ли выбрана операция, все ли элементы перечислены, соответствует ли штриховка записи. Запишите две сильные стороны и один совет." | Проверяют карточку партнёров по трём критериям, формулируют замечания: «Верно найдена общая часть», «не забыты элементы 7 и 8 в дополнении», «нужно убрать повтор числа 3 из объединения». |
Эталон решения
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$, поскольку в объединение входят все элементы, принадлежащие хотя бы одному множеству. $A\cap B=\{3,4\}$, поскольку 3 и 4 принадлежат обоим множествам. При $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ дополнение $\overline{A}=\{5,6,7,8\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка показала, что главное затруднение возникает не в вычислении, а в выборе смысла слова. Перед самостоятельной работой ещё раз проговорите: «или» — объединение, «и» — пересечение, «не входит» — дополнение относительно $U$."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение операций и умение применять их в реальном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который позволит вам показать знания без угадывания. Базовый обязателен для всех, средний и продвинутый можно выбрать при готовности. На работу — пять минут. Записывайте не только ответ, но и название операции." | Выбирают карточку, читают критерии, задают уточняющие вопросы до начала работы. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: для $A=\{2,4,6,8\}$ и $B=\{4,8,10\}$ найти $A\cup B$ и $A\cap B$. Средний: при $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ найти $\overline{A}$ и изобразить диаграмму. Продвинутый: в классе $A$ — учащиеся, выбравшие футбол, $B$ — учащиеся, выбравшие плавание; объяснить смысл областей $A\cup B$, $A\cap B$ и $\overline{A}$ относительно всех учащихся. | Индивидуально решают задания, перечисляют элементы, строят диаграмму, подписывают смысл областей. Для продвинутого уровня формулируют ответы в контексте. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон и говорит: "Сверьте решение по шагам. За каждый верный результат поставьте плюс, ошибку подчеркните и исправьте другим цветом. Если ошибка связана с выбором операции, напишите рядом ключевое слово, которое нужно было заметить." | Сверяют ответы, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных пунктов и отмечают, что именно потребовало коррекции. |
Эталон решения
Для базового уровня: $A\cup B=\{2,4,6,8,10\}$, $A\cap B=\{4,8\}$. Для дополнения элементы выбираются из $U$, но не входят в $A$; например, если $A=\{2,4,6,8\}$ и $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, то $\overline{A}=\{1,3,5,7,9\}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, насколько уверенно вы различаете три операции. Теперь применим знания к общей ситуации и объясним результат не только символами, но и обычными словами."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, связать их с анализом данных и оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает условие: "В группе из 20 подростков 12 слушают рок, 9 — классическую музыку, а 5 слушают оба направления. Обозначим множество слушающих рок через $A$, классическую музыку — через $B$. Что означает $A\cap B$? Что означает $A\cup B$?" Учитель просит ответить без вычислений. | Отвечают: «$A\cap B$ — слушают оба направления», «$A\cup B$ — слушают хотя бы одно направление». Объясняют, почему пересечение является общей частью диаграммы. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Можно ли найти число слушающих хотя бы одно направление простым сложением 12 и 9? Почему число 5 нужно учесть отдельно?" Затем записывает формулу на доске: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$. | Рассуждают: «При сложении 12 и 9 пять человек считаются дважды». Вычисляют $12+9-5=16$ и делают вывод: «16 человек слушают хотя бы одно направление». |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете по тексту выбрать операцию и изобразить область; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если требуется разбор. Заполните лист самооценки и допишите одно правило, которое сегодня запомнили." | Показывают карточки, заполняют самооценку, записывают правило, например: «Пересечение — общая часть двух множеств», и формулируют личный вопрос при наличии затруднения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились описывать группы объектов тремя операциями и переводить текст в диаграмму. На следующем этапе зафиксируем, что именно получилось, и определим домашний маршрут для закрепления."
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и обозначить способы дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание и напоминает критерии: "Выберите уровень осознанно. В каждом задании подписывайте, где объединение, где пересечение, а где дополнение, и проверяйте диаграмму по перечислению элементов." | Записывают домашнее задание, задают вопросы по формату выполнения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно использованы обозначения $\cup$, $\cap$, $\overline{A}$, диаграммы соответствуют условиям, объяснение содержит ключевые слова «или», «и», «вне множества, но внутри $U$».
- «4» — допущена одна неточность в перечислении элементов или оформлении диаграммы, но смысл операций и основной способ решения выбраны верно.
- «3» — правильно выполнено базовое задание или две операции из трёх, однако есть ошибки в выборе области диаграммы или отсутствует указание универсального множества при дополнении.
- Ниже «3» — операции смешаны, ответы не обоснованы или диаграмма не соответствует условию; требуется индивидуальная коррекция по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обозначает $A\cup B$ и какое ключевое слово помогает его узнать? | Проверка понимания смысла объединения и связи символа со словесным условием. |
Чем пересечение отличается от объединения на диаграмме Эйлера? | Выявление точности различения общей области и всей совокупности кругов. |
Что нужно указать перед нахождением дополнения множества? | Проверка понимания зависимости дополнения от универсального множества. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую ошибку вы теперь умеете исправлять? | Осознание индивидуальных затруднений и планирование дальнейшей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за словами «или», «и» и «не» конкретные операции над множествами. Объединение включает элементы хотя бы одного множества, пересечение оставляет только общую часть, а дополнение рассматривается относительно универсального множества. Типичная ошибка — дважды включить общий элемент в объединение или забыть указать $U$ для дополнения. На следующем уроке мы продолжим работать с диаграммами и применим их к подсчёту элементов и вероятностным задачам. Если сегодня вы выбрали жёлтый или красный сигнал, начните с памятки и одной простой диаграммы — так вы уверенно восстановите алгоритм."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение объединения и пересечения двух заданных множеств, а также 2 задания на дополнение относительно указанного универсального множества; для каждого результата построить или дополнить диаграмму Эйлера. | Закрепляет определения и символические обозначения; при проверке смотреть на отсутствие повторов в объединении и правильный выбор общей области. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с жизненным контекстом об участниках кружков, спортивных секций или читательских предпочтениях: определить смысл $A\cup B$, $A\cap B$ и $\overline{A}$, затем выполнить необходимые вычисления. | Формирует умение переводить текст в математическую модель; при проверке смотреть на выбор операции по ключевым словам и наличие универсального множества. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о двух пересекающихся множествах с не менее чем 8 элементами в универсальном множестве, привести решение для трёх операций и изобразить корректную диаграмму Эйлера. | Развивает создание математической модели и проверку взаимосвязи текста, символов и рисунка; при проверке оценивать полноту условия и обоснованность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какую операцию обозначает знак $\cup$? Какую — знак $\cap$? Что означает дополнение $\overline{A}$? Почему для него обязательно нужно знать универсальное множество? Какая область диаграммы соответствует элементам, принадлежащим обоим множествам?»
