Случайные события. Вероятность случайного события
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться различать достоверные, невозможные и случайные события, вычислять вероятность равновозможного случайного события по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$ и объяснять результат на примерах из повседневной жизни.
- Сформировать представление о случайном эксперименте, исходе эксперимента и вероятности события.
- Научить определять число всех равновозможных исходов и число исходов, благоприятствующих событию.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их экспериментально, сравнивать теоретические и практические результаты.
- Воспитывать ответственное отношение к выводам по данным и понимание ограниченности случайного результата одного опыта.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к описанию случайных явлений в математике, играх, спорте и повседневной жизни.
- Понимают значение честного эксперимента и корректного толкования полученных данных.
- Осознают необходимость проверять интуитивные предположения расчётом и наблюдением.
- Проявляют готовность уважать разные гипотезы одноклассников и аргументировать собственную позицию.
Метапредметные
- Определяют событие, множество исходов и благоприятные исходы по условию задачи.
- Составляют таблицу результатов эксперимента, сравнивают относительную частоту с теоретической вероятностью.
- Работают с текстом учебника, выделяют определение, формулу и условия её применения.
- Планируют последовательность решения, выполняют самопроверку и корректируют ошибки.
- Сотрудничают в паре или группе, формулируют вывод и представляют его классу.
Предметные
- Знать определения случайного эксперимента, исхода, события, достоверного, невозможного и случайного события.
- Уметь классифицировать события по степени возможности наступления.
- Уметь находить вероятность события в опыте с равновозможными исходами по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ — число всех исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.
- Уметь определять, что вероятность события находится в пределах от 0 до 1, и интерпретировать полученное значение.
- Владеть навыком решения простых задач о бросании монеты, игральной кости и выборе объектов из набора.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую ценность вероятностных оценок при принятии решений в быту и будущей профессиональной деятельности.
- Формируют смыслообразование через ответ на вопрос о том, почему одного случайного результата недостаточно для общего вывода.
- Оценивают собственную готовность работать с неопределённостью и признавать ошибочность предположения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и планируют действия: описать исходы, выделить благоприятные, применить формулу, проверить ответ.
- Сверяют решение с условием и оценивают, лежит ли вероятность в пределах от 0 до 1.
- Обнаруживают ошибку в подсчёте исходов и исправляют её.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют затруднение в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из текста учебника, схемы, таблицы и результатов эксперимента.
- Классифицируют события на достоверные, невозможные и случайные.
- Моделируют случайный эксперимент с помощью монеты, кубика и таблицы исходов.
- Устанавливают связь между числом благоприятных исходов и вероятностью события.
- Сравнивают теоретическую вероятность и относительную частоту, формулируют вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: экспериментатор, счётчик, секретарь и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы о числе исходов и обоснованности подсчёта.
- Аргументируют решение, используя определения и формулу вероятности.
- Согласуют общий вывод и корректно реагируют на альтернативное решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник по теме урока и заранее выделить в тексте определения случайного эксперимента, события и вероятности, а также формулу $P(A)=\frac{m}{n}$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания на классификацию событий, стандартные задачи на формулу и повышенные задачи на выбор модели — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одной монете и одному игральному кубику на каждую группу из четырёх человек; проверить безопасность и исправность материалов.
- Распечатать таблицу эксперимента на каждую группу: номер опыта, результат броска, событие, число наступлений события.
- Подготовить лист самооценки и маленькие листы для приёма «Билет на выход» — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску или экран схему: «эксперимент → исходы → событие → благоприятные исходы → вероятность».
- Записать на доске обозначения $n$, $m$ и формулу $P(A)=\frac{m}{n}$, оставив место для примера.
- Подготовить маркеры, стикеры двух цветов и таймер на 2–3 минуты.
- Сформировать смешанные группы по четыре человека, предусмотрев возможность индивидуального выполнения заданий для ученика, которому трудно работать в группе.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость вероятностного описания событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две ситуации: «Завтра после уроков пойдёт дождь» и «При броске обычного кубика выпадет число от 1 до 6». Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем рассуждать о событиях, исход которых заранее неизвестен. Посмотрите на экран и определите, чем эти ситуации похожи и чем различаются. Не стремитесь сразу назвать точное число: сначала опишите, что именно может произойти." | Ученики читают ситуации, обсуждают их с соседом 30 секунд и формулируют ответы: «Результат заранее неизвестен», «У кубика есть ограниченное число исходов», «Дождь зависит от многих условий». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Запишите одно событие, которое может произойти сегодня на уроке, но не обязано произойти. Затем обсудите пример в паре. Мы проверим, соответствует ли он понятию случайного события." Учитель фиксирует на доске 2–3 примера учащихся. | Ученики записывают примеры: «Мне попадётся красная карточка», «При броске монеты выпадет орёл», «Я отвечу у доски». Объясняют, почему результат нельзя заранее гарантировать. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что случайный результат нельзя предсказать наверняка, но можно описывать возможные исходы и оценивать шансы. Теперь вспомним, какие виды событий можно различить."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о множестве исходов и подготовить основу для определения вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Перед вами три утверждения. Первое: после понедельника наступит вторник. Второе: при броске обычного кубика выпадет 8. Третье: при броске кубика выпадет чётное число. Назовите тип каждого события и объясните решение одним предложением." Учитель обозначает на доске три области: «достоверное», «невозможное», «случайное». | Ученики распределяют события: «Первое — достоверное, второе — невозможное, третье — случайное». Обосновывают ответы через возможность или невозможность наступления события. |
3 мин | Учитель предлагает работу с учебником: "Откройте учебник на теме урока. Найдите фрагмент, где описывается опыт с несколькими исходами. За одну минуту подчеркните, что называется исходом, и выпишите пример. Затем сравним формулировки." | Ученики читают нужный фрагмент учебника, выписывают определение или близкую к нему формулировку: «Исход — отдельный результат случайного опыта». Называют исходы броска монеты: «орёл, решка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем отличать обязательное, невозможное и неопределённое событие, а также перечислять исходы простого опыта. Но пока мы только называем возможности. Следующий вопрос — как измерить степень возможности события."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить алгоритм нахождения вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две карточки: на первой событие «на кубике выпадет 6», на второй — «на кубике выпадет чётное число». Учитель говорит: "Оба события возможны. Но одинаковы ли их шансы? Как доказать ответ, а не просто угадать? Какие исходы нужно пересчитать?" Учитель принимает гипотезы и не сообщает формулу заранее. | Ученики предполагают: «Выпадение чётного числа вероятнее, потому что подходят 2, 4 и 6», «Нужно посчитать все исходы и подходящие исходы». |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "Сформулируйте цель урока от своего имени. В план включите четыре шага: описать опыт, перечислить исходы, выделить благоприятные исходы, получить числовую оценку." Учитель записывает согласованную цель и план на доске. | Ученики формулируют цель: «Научиться находить вероятность события в равновозможном опыте». Записывают план действий и задают уточняющие вопросы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно перейти от слов «более вероятно» и «менее вероятно» к числу. Сейчас мы исследуем, как это сделать на реальном эксперименте и по тексту учебника."
Этап 4. Открытие нового знания. Эксперимент и работа с учебником (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу вероятности равновозможного события и установить смысл входящих в неё величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель объединяет класс в группы и раздаёт монеты и таблицы: "В каждой группе распределите роли: экспериментатор бросает монету 20 раз, счётчик отмечает результаты, секретарь заносит данные, докладчик готовит вывод. Отдельно отметьте событие A: выпадение орла. Не меняйте правила по ходу опыта и не заменяйте один результат другим." | Группы распределяют роли, выполняют 20 бросков, записывают результаты «орёл» или «решка», считают число выпадений орла и вычисляют относительную частоту по формуле $\frac{k}{20}$. |
3 мин | Учитель обращается к учебнику: "Найдите определение вероятности события в опыте с равновозможными исходами. Сопоставьте его с вашим экспериментом. Обратите внимание: общее число исходов обозначают буквой $n$, число благоприятных исходов — буквой $m$. Запишем формулу: $P(A)=\frac{m}{n}$." Учитель на примере кубика показывает: "Для события A — выпадение чётного числа — всего исходов 6, благоприятные исходы 2, 4 и 6. Поэтому $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$." | Ученики находят определение в учебнике, записывают формулу и пояснения к буквам. Для события «выпадет чётное число» называют $n=6$, $m=3$ и записывают $P(A)=\frac{1}{2}$. |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Какой будет вероятность невозможного события? Что произойдёт, если благоприятными окажутся все исходы? Почему вероятность не может быть отрицательной или больше единицы?" Учитель фиксирует на доске границы $0\leq P(A)\leq1$. | Ученики рассуждают: «У невозможного события нет благоприятных исходов, поэтому вероятность 0», «Если подходят все исходы, вероятность 1», «Число благоприятных исходов не может быть отрицательным или больше общего числа». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Вероятность события $A$ в опыте с равновозможными исходами — отношение числа $m$ благоприятных исходов к числу $n$ всех исходов: $P(A)=\frac{m}{n}$. Для любого события $0\leq P(A)\leq1$. Вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили формулу не как готовое правило, а связали её с подсчётом исходов. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления вероятности и показать его применение в естественно-научных и общественных ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В метеорологическом наблюдении из 10 дней в 6 дней фиксировался дождь. Можно ли утверждать, что вероятность дождя равна $\frac{6}{10}$? Обсудите в парах: что здесь является экспериментом, что — относительной частотой, а что — теоретической вероятностью?" Учитель подчёркивает межпредметную связь с географией и естествознанием. | Ученики обсуждают и формулируют: «Это относительная частота дождливых дней в конкретной выборке. Теоретическую вероятность дождя по десяти дням без дополнительной модели утверждать нельзя». Записывают вывод: «Наблюдаемая частота помогает оценивать вероятность, но не равна ей автоматически». |
4 мин | Учитель разбирает задачу у доски: "В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад выбирают один шар. Найдите вероятность события A: выбран белый шар. Назовите все необходимые величины и проверьте ответ." Учитель просит одного ученика комментировать каждый шаг. | Ученики называют общее число шаров $n=8$, число благоприятных исходов $m=5$, записывают $P(A)=\frac{5}{8}$. Проверяют: $0\leq\frac{5}{8}\leq1$. Объясняют, что каждый шар считается отдельным равновозможным исходом. |
Эталон решения
1. Общее число исходов: $n=5+3=8$. 2. Благоприятные исходы — выбор белого шара: $m=5$. 3. По формуле вероятности $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{5}{8}$. 4. Ответ: вероятность выбрать белый шар равна $\frac{5}{8}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились отличать теоретическую вероятность от частоты наблюдений и решили задачу по алгоритму. Сейчас каждый проверит, умеет ли он самостоятельно подсчитать исходы и благоприятные варианты."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное усвоение определений и формулы, организовать дифференциацию по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Каждый выполняет обязательное задание базового уровня. Если справились раньше, выберите стандартное или повышенное задание. В решении обязательно записывайте $n$, $m$, формулу и ответ словами. Не только число, но и объяснение показывает качество рассуждения." | Ученики выбирают карточку, подписывают уровень и записывают план решения. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: определить, какие события достоверные, невозможные и случайные: «При броске кубика выпадет число не больше 6; выпадет 9; выпадет 1». Стандартный уровень: «Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 случайно выбирают одно. Найдите вероятность события: число простое». Повышенный уровень: «В двух коробках лежат карточки. В первой 2 красные и 3 синие, во второй 4 красные и 1 синяя. Из какой коробки выгоднее случайно достать красную карточку? Обоснуйте». | Ученики индивидуально решают выбранные задания, классифицируют события, считают исходы, применяют формулу, записывают обоснование выбора коробки. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: «Для базового задания: достоверное, невозможное, случайное. Для стандартного: простые числа 2, 3, 5, поэтому $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Для повышенного: первая коробка — $\frac{2}{5}$, вторая — $\frac{4}{5}$, выгоднее вторая». Учитель предлагает выполнить самопроверку и отметить ошибки зелёным цветом. | Ученики сравнивают решения с эталоном, исправляют вычислительные и логические ошибки, ставят отметку в листе самооценки: «могу сам», «нужна подсказка», «пока затрудняюсь». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулу важно применять только после правильного подсчёта исходов. Осталось обобщить результат и зафиксировать, что каждый уже умеет делать самостоятельно."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельном листе ответьте на три вопроса: 1) Что обозначают $n$ и $m$ в формуле? 2) Какова вероятность события, которому благоприятствуют все исходы? 3) Сформулируйте одну типичную ошибку при решении задачи на вероятность." | Ученики письменно отвечают: «$n$ — число всех исходов, $m$ — число благоприятных», «вероятность равна 1», «нельзя считать благоприятные исходы без определения события». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно решить задачу на формулу, жёлтый — если нужна проверка подсчёта исходов, красный — если пока трудно объяснить смысл вероятности. Выберите домашнее задание по своему уровню, но обязательный уровень выполняют все." | Ученики поднимают стикер выбранного цвета, отмечают в листе самооценки нужный пункт и записывают домашнее задание. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выполните базовую часть обязательно. Средний и продвинутый уровни выбираются дополнительно по готовности. При решении опирайтесь на алгоритм из тетради и на определения в учебнике: сначала опишите опыт, затем найдите $n$ и $m$, после этого вычислите вероятность и запишите вывод." | Ученики фиксируют задание, задают уточняющие вопросы и формулируют для себя первый шаг решения. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, правильно различены типы событий, без ошибок найдены $n$ и $m$, формула применена корректно, ответы записаны с кратким обоснованием.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна несущественная ошибка в вычислении или оформлении, ход рассуждения и выбор исходов в основном верны.
- «3» — правильно выполнено базовое задание и хотя бы одна классификация событий, но допущены ошибки в подсчёте благоприятных исходов или применении формулы; после подсказки решение корректируется.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вероятности случайного события? | Выявление осознания определения, формулы и границ значения вероятности. |
Какие величины нужно найти перед применением формулы $P(A)=\frac{m}{n}$? | Проверка понимания алгоритма решения. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: описание события, подсчёт исходов или вычисление. |
Где в жизни или других предметах полезно сравнивать вероятность и относительную частоту? | Осмысление межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать случайные события и измерять их вероятность числом. Главное правило — сначала точно определить все исходы и благоприятные исходы, а уже потом применять формулу $P(A)=\frac{m}{n}$. Помните, что результат одного опыта может отличаться от ожидаемого, поэтому в реальных наблюдениях важны повторения и честная фиксация данных. На следующем уроке мы продолжим работать с вероятностями и рассмотрим более сложные способы подсчёта исходов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 задач на классификацию достоверных, невозможных и случайных событий и на вычисление вероятности по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$ для броска монеты, кубика или выбора предмета из набора. Подобрать задания в учебнике по теме урока. | Закрепляет определения и алгоритм; при проверке обратить внимание на правильный подсчёт всех и благоприятных исходов. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с практическим контекстом: выбор цветного предмета, прогноз по серии наблюдений и сравнение вероятностей двух вариантов. В каждой задаче записать краткое объяснение результата. | Развивает математическую и естественно-научную грамотность; проверить различение теоретической вероятности и относительной частоты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на случайное событие с не менее чем шестью равновозможными исходами, решить её и предложить однокласснику для проверки. Дополнительно объяснить, почему ответ находится в пределах от 0 до 1. | Развивает умение создавать математическую модель и аргументировать корректность решения; проверить полноту условия и обоснованность числа благоприятных исходов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют случайным событием? Что обозначают $n$ и $m$? Как найти вероятность события? Почему вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1? Чем относительная частота отличается от теоретической вероятности?»
