Отклонение от среднего. Дисперсия числового набора
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить отклонения значений числового набора от среднего арифметического и вычислять дисперсию набора из 4–6 чисел, объясняя смысл полученного результата.
- Сформировать представление об отклонении значения от среднего арифметического как разности между значением и средним.
- Освоить алгоритм вычисления дисперсии числового набора и научиться применять его к учебным и жизненным данным.
- Развивать умение сравнивать наборы по степени рассеяния, аргументировать выводы и проверять правильность вычислений.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации статистических данных и готовность сотрудничать при решении практической задачи.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к использованию статистики для анализа результатов измерений и реальных жизненных ситуаций.
- Осознают ценность точных вычислений и проверки вывода перед принятием решения.
- Развивают самостоятельность, готовность выбирать уровень задания и оценивать собственный результат.
- Понимают, что одинаковое среднее значение не всегда означает одинаковую устойчивость данных.
Метапредметные
- Читают и анализируют числовую информацию, выделяют среднее значение и отклонения от него.
- Планируют последовательность вычислений, используют математическую модель и проверяют результат.
- Сравнивают два числовых набора по дисперсии и формулируют вывод с опорой на данные.
- Аргументируют решение в паре, задают уточняющие вопросы и корректно оценивают ответ одноклассника.
- Используют таблицу как средство представления и обработки информации.
Предметные
- Знать смысл понятия «отклонение от среднего арифметического».
- Уметь находить среднее арифметическое числового набора и отклонение каждого значения от среднего.
- Уметь вычислять дисперсию как среднее арифметическое квадратов отклонений.
- Уметь сравнивать числовые наборы по величине дисперсии и объяснять, какой набор более рассеян.
- Владеть алгоритмом решения задач на дисперсию и выполнять самопроверку вычислений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения дисперсии для анализа оценок, результатов измерений и других данных.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и честности статистического вывода.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм без подсказки.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения при условии его обоснования.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, формулируют ожидаемый результат.
- Планируют вычисления по алгоритму: среднее — отклонения — квадраты — среднее квадратов.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль и находят арифметические ошибки.
- Сопоставляют результат с эталоном, объясняют расхождения и исправляют решение.
- Выбирают базовый или повышенный уровень самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки дисперсии и отличают её от среднего арифметического.
- Строят таблицу вычислений и преобразуют условие задачи в математическую модель.
- Устанавливают связь между отклонением, квадратом отклонения и степенью рассеяния данных.
- Сравнивают наборы, анализируют структуру ошибок и формулируют вывод.
- Применяют математические действия в реальном контексте результатов измерений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопросы по алгоритму и объясняют ход решения последовательными шагами.
- Аргументируют вывод о большей или меньшей рассеянности набора.
- Используют доброжелательную взаимопроверку по критериям.
- Согласуют общий ответ при наличии разных промежуточных вычислений.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя наборами результатов: 6, 8, 10, 12, 14 и 2, 8, 10, 12, 18, имеющими одинаковое среднее.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать таблицу для вычислений с графами «значение», «отклонение», «квадрат отклонения» — по одной на каждого ученика.
- Подготовить отдельные карточки с формулировками «среднее», «отклонение», «квадрат отклонения», «дисперсия» — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Вывесить на доске памятку: $D=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n}$.
- Подготовить маркеры, стикеры зелёного и жёлтого цвета для приёма «Светофор».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для показа числовых наборов и эталона решения.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для парной и индивидуальной работы.
- Разместить на доске критерии самопроверки: среднее найдено верно; отклонения сложены корректно; квадраты не имеют отрицательного знака; результат разделён на число значений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость нового показателя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы будем не просто считать, а выяснять, насколько данные отличаются от своего среднего значения. Это умение используется при анализе оценок, результатов экспериментов и спортивных показателей." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему после её объявления. |
2 мин | Учитель показывает на доске два набора результатов: 6, 8, 10, 12, 14 и 2, 8, 10, 12, 18. Спрашивает: "У какого набора результаты расположены более равномерно? Можно ли ответить на этот вопрос, зная только среднее? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь формулировкой." | Сравнивают числа индивидуально, обсуждают в парах и формулируют предположение: "У первого набора значения ближе к центру, а во втором есть сильные отклонения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного среднего арифметического недостаточно для описания набора. Теперь выясним, как измерить разброс чисел вокруг среднего."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия числового набора, среднего арифметического и действий со степенями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним опорные знания. Что называют средним арифметическим нескольких чисел? Как найти среднее для набора 6, 8, 10, 12, 14? Запишите вычисление в тетради и назовите результат." | Записывают $\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10$ и отвечают: "Среднее равно 10". |
2 мин | Учитель записывает на доске выражения $6-10$, $8-10$, $12-10$ и спрашивает: "Что показывает каждое выражение? Почему некоторые результаты отрицательные? Что произойдёт, если сложить все отклонения?" | Вычисляют отклонения $-4$, $-2$, $2$; объясняют: "Отклонение показывает, насколько число выше или ниже среднего"; делают вывод, что сумма отклонений равна нулю. |
1 мин | Учитель предлагает устно вычислить квадраты чисел $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ и напоминает: "При возведении в квадрат знак исчезает. Это важно, потому что нам нужно оценить общий разброс, а не взаимное уничтожение отклонений." | Называют квадраты: 16, 4, 0, 4, 16; фиксируют связь между отрицательным отклонением и положительным квадратом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить среднее и отклонения, но сумма отклонений не показывает разброс. Следующий шаг — превратить отклонения в неотрицательные величины."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к необходимости усреднить квадраты отклонений и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Представьте, что два специалиста анализируют результаты измерений. Первый говорит: среднее равно 10, значит, всё в порядке. Второй хочет понять, насколько сильно отдельные значения удаляются от 10. Как сохранить информацию о расстоянии каждого числа от среднего? Предложите способ." | Предлагают варианты: "Взять модули отклонений", "возвести отклонения в квадрат", "сложить полученные значения"; сравнивают предложения. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске слово «дисперсия» и говорит: "В математике для этой цели используют дисперсию — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. Сформулируйте цель урока по плану: узнать определение, вывести алгоритм, применить его и сравнить наборы." | Формулируют цель: "Научиться вычислять дисперсию и использовать её для сравнения разброса данных"; записывают тему и цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы должны не запомнить отдельную формулу, а понять, какие действия она объединяет. Переходим к открытию алгоритма на конкретном наборе."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм вычисления дисперсии через совместный разбор набора данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Рассмотрим набор 6, 8, 10, 12, 14. Сначала найдём среднее: $\bar{x}=10$. Теперь составим таблицу. В первой строке будут значения, во второй — отклонения от среднего, в третьей — квадраты отклонений. Работайте вместе со мной и проговаривайте каждое действие." Учитель заполняет на доске первые два столбца таблицы. | Заполняют таблицу: значения 6, 8, 10, 12, 14; отклонения $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$; проговаривают: "Из каждого значения вычитаем среднее". |
3 мин | Учитель продолжает: "Возведём каждое отклонение в квадрат. Получаем 16, 4, 0, 4, 16. Сложим квадраты: $16+4+0+4+16=40$. Поскольку в наборе пять значений, разделим сумму на 5. Так мы получим дисперсию: $D=40:5=8$." | Вычисляют квадраты отклонений, проверяют сумму 40 и записывают $D=8$. |
2 мин | Учитель открывает памятку и формулирует: "Дисперсия числового набора — это среднее арифметическое квадратов отклонений его значений от среднего арифметического. Алгоритм состоит из четырёх шагов: найти среднее; найти отклонения; возвести их в квадрат; найти среднее квадратов." | Записывают определение и алгоритм в тетрадь, задают вопросы о делении на число значений. |
2 мин | Учитель возвращается к двум наборам и говорит: "У обоих наборов среднее равно 10. Для первого мы получили дисперсию 8. Проверьте для второго набора: отклонения равны $-8$, $-2$, $0$, $2$, $8$, квадраты — 64, 4, 0, 4, 64. Какова дисперсия?" | Вычисляют $D=\frac{64+4+0+4+64}{5}=\frac{136}{5}=27{,}2$ и формулируют вывод: "Второй набор более рассеян, потому что его дисперсия больше". |
Запись в тетрадях
Дисперсия числового набора — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего арифметического. Алгоритм: 1) найти среднее значение; 2) найти отклонение каждого числа от среднего; 3) возвести отклонения в квадрат; 4) найти среднее квадратов отклонений. Формула: $D=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть понятие, смысл и алгоритм. Мы увидели, что большая дисперсия означает больший разброс относительно среднего. Проверим алгоритм на коротких заданиях и научимся проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе с обязательным проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с набором 4, 6, 8, 10 и говорит: "Один ученик будет вычислителем, второй — проверяющим. Через три минуты поменяйтесь ролями. Заполняйте все графы таблицы: значение, отклонение, квадрат отклонения." | Распределяют роли, записывают набор и планируют вычисления. |
4 мин | Учитель напоминает: "Не перескакивайте через шаги. Проверяющий сначала смотрит среднее, затем каждое отклонение и только потом итоговое деление. Если нашли ошибку, не стирайте сразу — объясните, на каком шаге она возникла." | Находят среднее $7$, отклонения $-3$, $-1$, $1$, $3$, квадраты 9, 1, 1, 9, дисперсию $D=5$; взаимно проверяют записи. |
2 мин | Учитель показывает эталон и спрашивает: "Почему дисперсия не может быть отрицательной? Что означает нулевая дисперсия?" | Сверяют решение и отвечают: "Квадраты отклонений неотрицательны"; "нулевая дисперсия означает, что все значения одинаковы и совпадают со средним". |
Эталон решения
Для набора 4, 6, 8, 10: $\bar{x}=\frac{4+6+8+10}{4}=7$. Отклонения: $-3$, $-1$, $1$, $3$. Квадраты отклонений: 9, 1, 1, 9. Дисперсия: $D=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили, что алгоритм работает, если не пропускать промежуточные шаги. Теперь каждый самостоятельно решит задачу и выберет уровень сложности, а затем сравнит свой результат с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если хотите проверить себя на сравнении двух наборов. Перед началом прочитайте критерии: должны быть показаны среднее, отклонения, квадраты и итоговая дисперсия." | Выбирают карточку, подписывают уровень и самостоятельно записывают план решения. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: найти дисперсию набора 3, 5, 7, 9. Повышающий уровень: сравнить по дисперсии наборы 5, 6, 7, 8, 9 и 3, 5, 7, 9, 11. Дополнительный уровень: составить набор из пяти чисел со средним 10 и дисперсией 8. | Решают индивидуально. Для базового уровня получают $\bar{x}=6$, отклонения $-3$, $-1$, $1$, $3$, дисперсию 5. Для повышенного уровня находят дисперсии 2 и 8 и делают вывод о большем разбросе второго набора. |
3 мин | Учитель демонстрирует эталон на доске и говорит: "Проверьте не только ответ, но и структуру решения. Поставьте плюс возле каждого правильно выполненного шага. Если есть ошибка, выделите её жёлтым и исправьте рядом. После этого покажите карточку: зелёная — всё понятно, жёлтая — нужна консультация." | Сверяют решение по шагам, исправляют ошибки, показывают карточку самооценки и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Для набора 3, 5, 7, 9: $\bar{x}=6$; отклонения $-3$, $-1$, $1$, $3$; квадраты 9, 1, 1, 9; $D=\frac{20}{4}=5$. Для набора 5, 6, 7, 8, 9: $\bar{x}=7$, квадраты отклонений 4, 1, 0, 1, 4, поэтому $D=2$. Для набора 3, 5, 7, 9, 11: $\bar{x}=7$, квадраты отклонений 16, 4, 0, 4, 16, поэтому $D=8$. Второй набор имеет большую дисперсию и больший разброс.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас уже умеет находить дисперсию по алгоритму. Осталось связать вычисления с практическим смыслом и проверить, можете ли вы объяснить результат не только числом, но и словами."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: интерпретировать результат, оценить достижение цели и зафиксировать дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "Два спортсмена пять раз измеряли время выполнения упражнения. У первого результаты 10, 10, 10, 10, 10 секунд, у второго — 6, 8, 10, 12, 14 секунд. Среднее одинаково. У кого результат стабильнее? Объясните ответ через дисперсию, не ограничиваясь словом «лучше»." | Вычисляют или используют известные значения: у первого $D=0$, у второго $D=8$; формулируют: "У первого спортсмена результаты стабильнее, потому что дисперсия равна нулю". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка — я могу самостоятельно найти дисперсию; жёлтая — могу по алгоритму, но путаюсь в одном шаге; красная — мне нужна помощь. Запишите на стикере один шаг, который теперь умеете выполнять, и один вопрос, который остался." | Поднимают карточку, заполняют стикер: например, "умею находить отклонения" или "не уверен, почему делим на число значений". |
2 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание по выбранному уровню. Перед выходом ответьте устно на контрольные вопросы: что такое отклонение, зачем возводить его в квадрат, что показывает большая дисперсия?" | Записывают домашнее задание и отвечают: "Отклонение — разность значения и среднего"; "квадрат убирает отрицательный знак"; "большая дисперсия означает больший разброс". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от вопроса о равномерности данных до точного показателя разброса. На следующем уроке продолжим анализировать статистические характеристики и будем внимательнее интерпретировать числовые результаты."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдено среднее, без ошибок записаны все отклонения и их квадраты, правильно вычислена дисперсия; решение оформлено последовательно, вывод о разбросе аргументирован.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна арифметическая или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание способа решения; вывод сформулирован с небольшой неточностью.
- «3» — найдено среднее и выполнена часть вычислений, но допущены две ошибки в отклонениях, квадратах или делении; ученик исправляет решение после подсказки.
- Ниже «3» — не выделены основные этапы алгоритма или отсутствует понимание связи между отклонением и дисперсией; требуется индивидуальная отработка на простом наборе из четырёх чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое отклонение значения от среднего и как его найти? | Проверка понимания основного определения и направления вычитания. |
Какие четыре шага нужно выполнить для вычисления дисперсии? | Выявление освоения алгоритма и последовательности действий. |
Почему при вычислении дисперсии отклонения возводят в квадрат? | Проверка понимания роли квадрата и устранения взаимного уничтожения знаков. |
Как по дисперсии сравнить два числовых набора? | Проверка умения интерпретировать результат и формулировать статистический вывод. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за средним арифметическим ещё одну важную характеристику данных — их разброс. Мы находили отклонения, возводили их в квадрат и вычисляли среднее этих квадратов, то есть дисперсию. Помните о типичной ошибке: нельзя складывать исходные отклонения вместо квадратов, потому что их сумма может оказаться равной нулю. Если среднее у двух наборов одинаковое, сравните дисперсии и только затем делайте вывод о стабильности данных. На следующем уроке мы продолжим исследовать статистические показатели и научимся точнее описывать числовые наборы."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление среднего, отклонений и дисперсии числовых наборов из 4–5 целых чисел; оформить промежуточную таблицу. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность среднего, знаков отклонений, квадратов и деления на число значений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение двух числовых наборов с одинаковым средним, определить дисперсию каждого и сформулировать вывод о степени разброса. | Формирует умение интерпретировать дисперсию, а не только получать числовой ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два набора из пяти чисел со средним 10: один с дисперсией 2, другой с дисперсией 8; проверить вычисления полной таблицей и объяснить различие наборов. | Развивает исследовательское и творческое мышление, умение конструировать данные по заданным условиям. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти отклонение числа от среднего?», «Почему дисперсия не бывает отрицательной?», «Что означает дисперсия, равная нулю?», «Какой набор более рассеян: с дисперсией 3 или с дисперсией 12?»
