Понятие описательной статистики. Среднее арифметическое и его свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить среднее арифметическое набора чисел, объяснять его смысл в реальной ситуации, применять его свойства и оценивать корректность полученного результата.
- Сформировать представление об описательной статистике как способе сбора, представления и краткого описания данных.
- Научиться вычислять среднее арифметическое набора чисел и использовать свойства среднего при решении практических задач.
- Развивать умение сравнивать наборы данных, формулировать выводы и аргументировать выбор способа решения.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации числовой информации и уважение к разным стратегиям решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что статистические данные требуют внимательного и честного толкования.
- Проявляют интерес к применению математики для анализа знакомых жизненных ситуаций.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень и способ выполнения задания.
- Понимают значение точных вычислений для принятия обоснованных решений.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы, упорядочивают числовые данные и формулируют вывод по результатам вычислений.
- Планируют последовательность действий при нахождении среднего арифметического и проверяют результат оценкой его разумности.
- Сотрудничают в парах и группах, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный ответ.
- Используют математическую модель для описания реальной ситуации и осознают ограничения среднего показателя.
Предметные
- Знать определение описательной статистики и среднего арифметического.
- Уметь находить среднее арифметическое нескольких чисел по формуле $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
- Уметь применять свойства среднего арифметического: оно лежит между наименьшим и наибольшим значениями, а сумма отклонений от среднего равна нулю.
- Уметь интерпретировать среднее арифметическое в практической задаче и выявлять случаи, когда один показатель недостаточно описывает данные.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую ценность статистики при анализе оценок, расходов, результатов измерений и спортивных показателей.
- Формируют ответственное отношение к выводам, сделанным на основе чисел.
- Оценивают собственную готовность применять формулу среднего арифметического.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока и план её достижения.
- Контролируют порядок вычислений, выполняют самопроверку по эталону.
- Сравнивают полученный результат с исходными данными и исправляют ошибки.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки среднего арифметического.
- Анализируют числовые наборы, таблицы и практические данные.
- Устанавливают связь между суммой, количеством чисел и средним значением.
- Строят простую математическую модель ситуации и проверяют её на разумность.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и согласуют общую формулировку вывода.
- Объясняют ход вычислений, используя математические термины.
- Задают вопросы к рассуждению одноклассника и корректно предлагают исправления.
- Представляют результаты групповой творческой работы классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или плакат с двумя наборами данных: «количество минут экранного времени за пять дней» и «результаты пяти измерений температуры».
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить листы для творческого задания по одному на группу из 3–4 человек.
- Вывести на доску памятку: «1. Сложить все значения. 2. Посчитать количество значений. 3. Разделить сумму на количество. 4. Проверить результат».
- Подготовить цветные стикеры или карточки для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Распечатать эталон самостоятельной работы для самопроверки — по одному на ученика или вывести его на экран после выполнения.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и групповой работы.
- Организовать рабочие места для групп, обеспечить тетради, линейки и калькуляторы только для проверки, если это допускается правилами класса.
- Подготовить на доске незаполненную схему: «данные — сумма — количество — среднее — вывод».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость краткого описания набора данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, ручки и внимательность к числам. Проверьте, всё ли готово для работы. На доске записаны пять значений: 4, 5, 5, 8, 8. Пока не вычисляйте, просто рассмотрите их." | Проверяют готовность, переписывают или рассматривают набор чисел, называют отдельные значения. |
2 мин | Учитель показывает на экране две строки данных: «Время ожидания автобуса: 2, 3, 4, 5, 6 минут» и «Время ожидания: 1, 1, 1, 1, 16 минут». Учитель задаёт проблемный вопрос: "Можно ли одним числом кратко описать каждый набор? Будет ли такое число полезным? Как вы думаете, одинаково ли оно передаст впечатление о двух ситуациях?" | Высказывают предположения: «Нужно найти обычное значение», «Одно число может скрыть большой разброс», «Во втором наборе есть очень большое значение». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что набор чисел бывает трудно описать одним взглядом. Сегодня узнаем, как находить среднее арифметическое и что оно может, а чего не может сообщить о данных."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать действия сложения и деления, необходимые для открытия нового способа описания данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, как найти среднее значение двух чисел в обычной жизненной ситуации. Например, за два дня вы прочитали 20 и 30 страниц. Сколько страниц в среднем вы читали за день? Сначала подумайте сами, затем обсудите ответ с соседом." | 30 секунд решают индивидуально, около минуты обсуждают в парах, формулируют: «Нужно сложить 20 и 30 и разделить на 2; получится 25 страниц». |
3 мин | Учитель фиксирует на доске запись $\frac{20+30}{2}=25$ и задаёт вопросы: "Почему делим именно на 2? Что изменится, если дней будет пять? Как связаны сумма всех значений и количество наблюдений?" Учитель принимает несколько ответов и записывает схему «сумма данных : количество данных». | Отвечают: «Делим на количество дней», «При пяти днях делим на 5», «Сначала складываем все значения, затем делим на число значений». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем находить среднее значение в простой ситуации. Теперь дадим этому действию точное математическое название, запишем формулу и проверим свойства среднего."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к данным об ожидании автобуса: "Перед вами два набора результатов. Представьте, что вы составляете сообщение для пассажиров. Какое число можно указать, чтобы кратко описать время ожидания? Достаточно ли просто сложить значения? Почему обязательно нужно учитывать количество наблюдений?" | В парах обсуждают, предлагают: «Нужно найти среднее арифметическое», «Одной суммы недостаточно, потому что наборы могут иметь разное количество значений». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель урока одним предложением. Затем объединитесь в пары и выберите наиболее точную формулировку. Какие действия нам нужно выполнить, чтобы достичь цели?" Учитель фиксирует на доске план: «понять определение — вывести формулу — изучить свойства — применить к данным — оценить вывод». | Записывают индивидуальную цель, согласуют её в парах, предлагают формулировку: «Научиться находить среднее арифметическое и объяснять смысл результата». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто выучим формулу, а научимся использовать её для описания данных и проверять, насколько вывод надёжен. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформулировать определение среднего арифметического и исследовать его основные свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: «Среднее арифметическое нескольких чисел — частное от деления суммы этих чисел на их количество». Затем обращается к классу: "Если данные обозначить $x_1,x_2,\ldots,x_n$, как запишем формулу? Обратите внимание: в знаменателе стоит не последнее число, а количество всех чисел." | Записывают определение и формулу $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$, объясняют роль числителя и знаменателя. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Найдём среднее арифметическое чисел 6, 8, 9, 7. Сначала найдём сумму: $6+8+9+7=30$. Затем определим количество чисел: их 4. Среднее равно $30:4=7,5$. Почему ответ не обязан быть одним из исходных чисел?" | Записывают решение, отвечают: «Среднее может не совпадать ни с одним исходным значением, потому что это результат деления суммы на количество». |
3 мин | Учитель организует мини-исследование: "Сравните среднее значение с наименьшим и наибольшим числами. Может ли среднее быть меньше всех чисел или больше всех? Проверьте на примере 2, 5, 8. Далее найдите отклонения чисел от среднего и сложите их." Учитель подводит к свойствам. | Вычисляют среднее: $5$, сравнивают с 2 и 8, получают отклонения $-3$, $0$, $3$ и формулируют: «Среднее находится между крайними значениями», «Сумма отклонений от среднего равна нулю». |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Среднее арифметическое — сумма всех чисел, делённая на их количество. Свойства: среднее не меньше наименьшего и не больше наибольшего значения; сумма отклонений всех чисел от среднего равна нулю». Формула: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли формулу и два свойства среднего арифметического. Теперь проверим новое правило на конкретных данных и научимся объяснять не только вычисление, но и смысл ответа."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления среднего арифметического и научиться интерпретировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданием: "За пять дней ученик выполнял домашнюю работу соответственно 20, 25, 15, 30 и 10 минут. Найдите среднее время работы и сформулируйте вывод полным предложением. Работайте в парах: один выполняет вычисления, второй проверяет количество слагаемых." | В парах вычисляют $\frac{20+25+15+30+10}{5}=20$, записывают вывод: «В среднем ученик тратил на домашнюю работу 20 минут в день». |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Поменяйтесь тетрадями с соседней парой. Проверьте три позиции: все ли значения использованы, верно ли указано их количество, соответствует ли вывод единицам измерения." | Проверяют решения по трём критериям, отмечают найденные достоинства и одну возможную неточность. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на понимание: "Если один день ученик работал 60 минут, обязательно ли в остальные дни он тоже работал около 20 минут? Что среднее не показывает?" | Формулируют: «Среднее показывает общий уровень, но не показывает разброс и отдельные необычные значения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает, но статистика требует осторожного вывода. Среднее сжимает несколько значений в одно, поэтому важно помнить об исходных данных и возможном разбросе."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формулы, свойств и интерпретации среднего на заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточках три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем можно выбрать базовое или повышенное продолжение. Выбор уровня — это не сравнение людей, а способ показать собственный результат. Работайте самостоятельно и записывайте вычисления." | Выбирают карточку или уровень, записывают номер варианта и приступают к работе. |
4 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт направляющие вопросы. Минимум: «Найдите среднее чисел 4, 6, 8, 10». Базовый уровень: «Средние расходы семьи на поездки за четыре недели составили 1200, 800, 1600 и 400 рублей. Найдите средний расход и объясните результат». Повышенный уровень: «Составьте два набора из пяти чисел с одинаковым средним 6, но разным разбросом. Объясните, какой набор устойчивее». | Решают выбранные задания; в повышенном варианте, например, составляют наборы 4, 5, 6, 7, 8 и 0, 2, 6, 10, 12, вычисляют среднее и сравнивают разброс. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «В первом задании сумма равна 28, количество чисел — 4, среднее равно 7. Во втором сумма расходов 4000 рублей, среднее 1000 рублей. В третьем оба набора имеют среднее 6, но второй набор отличается большим разбросом». Учитель предлагает самопроверку и приём «Светофор». | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, показывают зелёную, жёлтую или красную карточку в зависимости от степени понимания. |
Эталон решения
Для набора 4, 6, 8, 10: 1) сумма чисел $4+6+8+10=28$; 2) количество чисел $n=4$; 3) среднее арифметическое $\bar{x}=28:4=7$; 4) проверка: $4<7<10$. Для расходов: $1200+800+1600+400=4000$ рублей, $n=4$, поэтому $\bar{x}=4000:4=1000$ рублей. В творческом варианте проверяется равенство средних и сравнивается расстояние чисел от среднего.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя на разных уровнях сложности. Важно не только получить число, но и убедиться, что оно находится между крайними значениями и правильно описывает ситуацию. Осталось применить знания творчески."
Этап 7. Творческое задание «Статистический редактор» (7 мин)
Цель этапа: применить среднее арифметическое для создания и критической оценки небольшого набора данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объединяет класс в группы по 3–4 человека и предлагает выбор контекста: «Создайте набор данных для школьной газеты: либо время выполнения задания, либо количество прочитанных страниц, либо число шагов за день. В наборе должно быть пять значений, среднее должно быть целым числом». | Выбирают контекст, распределяют роли: вычислитель, проверяющий, оформитель и докладчик. |
4 мин | Учитель формулирует инструкцию: "Запишите пять реалистичных значений, вычислите среднее, придумайте заголовок и одно предложение-вывод. Добавьте предупреждение: что среднее может скрывать? Если успеете, измените одно значение и предскажите, как изменится среднее." | Составляют, например, данные о времени выполнения задания 10, 15, 20, 25, 30 минут; находят среднее 20, оформляют заголовок и вывод, обсуждают влияние замены одного значения. |
2 мин | Учитель организует короткие выступления: "Каждая группа представит только набор данных, среднее и один важный комментарий. Остальные слушают и задают один уточняющий вопрос: «Что не показывает ваше среднее?»" | Докладчики представляют результаты; слушатели задают вопросы и отвечают: «Среднее не показывает, насколько значения различаются». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы выступили не только решателями, но и авторами статистического сообщения. Именно так статистика используется в исследованиях: данные нужно вычислить, понятно представить и честно прокомментировать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать достигнутый результат, выявить затруднения и принять домашнее задание с учётом выбранного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "Закончите в тетради три фразы: «Среднее арифметическое находят так...», «Проверить ответ можно так...», «Сегодня мне ещё нужно потренироваться в...». Затем поднимите карточку цвета, который показывает вашу готовность." | Записывают три фразы, выбирают цвет самооценки, называют одно открытие и одно затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. Перед выходом ответьте на два контрольных вопроса: почему сумму нельзя назвать средним? Может ли среднее быть больше максимального значения?" | Отвечают: «Сумма зависит от количества наблюдений», «Нет, среднее находится между минимумом и максимумом», фиксируют выбранный уровень задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено обязательное задание и выбранное задание повышенного или творческого уровня; формула записана корректно, вычисления показаны, вывод соответствует данным, выполнена проверка разумности результата.
- «4» — обязательное задание выполнено верно, в повышенном или творческом задании допущена одна вычислительная или формулировочная неточность, не повлиявшая на основной способ решения.
- «3» — правильно определена необходимость сложить значения и разделить сумму на их количество, но допущена ошибка в вычислениях или интерпретации результата; требуется исправление по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое среднее арифметическое и какие действия входят в алгоритм его нахождения? | Проверка осознания определения и последовательности действий. |
Как ты проверишь, что найденное среднее разумно? | Выявление понимания свойства расположения среднего между крайними значениями. |
Что среднее арифметическое показывает, а что может скрыть? | Формирование критического отношения к статистическому выводу. |
На каком этапе работы тебе понадобилась помощь и какая именно? | Выявление индивидуальных затруднений для последующей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились превращать набор чисел в понятный статистический вывод. Мы узнали, что среднее арифметическое получают делением суммы всех значений на их количество, и научились проверять результат по крайним значениям. Помните: одно среднее не всегда показывает весь разброс данных, поэтому его нужно интерпретировать внимательно. На следующем уроке мы продолжим описывать данные и рассмотрим другие способы их представления."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение среднего арифметического наборов из 4–6 чисел; в каждой задаче записать сумму, количество значений, вычисление и краткий вывод. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на полноту записи, правильность делителя и соответствие вывода условию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи о среднем времени, расходах или результатах измерений и выполнить проверку: среднее должно лежать между минимальным и максимальным значениями. | Формирует умение применять формулу в реальном контексте и оценивать разумность результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два набора по 5 чисел с одинаковым средним, но разным разбросом; вычислить среднее каждого набора и письменно объяснить, почему одного среднего недостаточно для полного описания данных. | Развивает исследовательское и творческое мышление, умение сравнивать статистические наборы и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Почему при нахождении среднего арифметического делят именно на количество чисел?», «Может ли среднее арифметическое набора 3, 5, 7 быть равно 10?», «Как изменится среднее, если к каждому числу набора прибавить 2?»
