Наибольшее и наименьшее значения. Размах
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наибольшее и наименьшее значения ряда данных, вычислять его размах и применять эти характеристики для сравнения реальных наборов данных.
- Познакомить учащихся с понятиями наибольшего и наименьшего значений, размаха ряда данных и алгоритмом их нахождения.
- Сформировать умение упорядочивать ряд чисел, выделять крайние значения и вычислять разность между ними.
- Развивать математическую грамотность, умение анализировать данные, объяснять ход рассуждений и проверять результат.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации статистической информации и уважение к аргументированному мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение статистических характеристик для принятия решений в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют интерес к исследованию данных, связанных со спортом, погодой, транспортом и личным временем.
- Понимают необходимость точного вычисления и корректного толкования результатов.
- Уважительно относятся к различным стратегиям решения и аргументированным ответам одноклассников.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из числового ряда и представлять её в упорядоченном виде.
- Планируют последовательность действий при нахождении размаха и осуществляют самопроверку.
- Сравнивают наборы данных по размаху и формулируют вывод о степени изменчивости показателя.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор способа решения.
- Используют электронную таблицу или калькулятор для проверки вычислений при наличии оборудования.
Предметные
- Знают определения наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
- Знают формулу размаха ряда данных: $R=x_{max}-x_{min}$.
- Умеют находить наибольшее и наименьшее значения неупорядоченного ряда чисел.
- Умеют вычислять размах и записывать ответ с правильными единицами измерения.
- Умеют сравнивать два ряда данных по размаху и объяснять смысл полученного результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения статистических характеристик через анализ знакомых жизненных ситуаций.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая уровень дополнительного задания.
- Оценивают значение точности и честности при работе со статистической информацией.
- Формируют ответственное отношение к собственному результату и готовность исправлять ошибки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм нахождения размаха по числовому ряду.
- Контролируют порядок действий и сверяют вычисления с эталоном.
- Находят и исправляют ошибки в решении.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют максимальное и минимальное значения в неупорядоченном ряду.
- Сравнивают числовые наборы и устанавливают различия в их изменчивости.
- Строят математическую модель ситуации с помощью формулы размаха.
- Анализируют ошибочные решения и объясняют причину ошибки.
- Переводят статистический результат в словесный вывод.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают способ решения в паре и формулируют общий ответ.
- Задают вопросы о порядке вычислений и корректности единиц измерения.
- Аргументируют, почему выбранное значение является наибольшим или наименьшим.
- Слушают ответ одноклассника и корректно предлагают уточнение.
- Распределяют роли при выполнении группового задания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя рядами данных о времени выполнения задания: 12, 15, 14, 18, 11 и 7, 13, 15, 22, 8 минут.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки с ошибочными решениями — по одной на парту.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нахожу максимум», «нахожу минимум», «вычисляю размах», «объясняю результат».
- Вывесить на доске алгоритм: 1) найти $x_{max}$; 2) найти $x_{min}$; 3) вычислить $R=x_{max}-x_{min}$; 4) записать единицы измерения; 5) сформулировать вывод.
- Подготовить стикеры двух цветов для приёма «Светофор» и «Билет на выход».
- Подготовить ноутбук и проектор либо интерактивную доску; при возможности открыть электронную таблицу для проверки вычислений.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Раздать на каждую парту линейку или небольшой числовой ряд на полоске бумаги для визуального сравнения размаха.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость сравнения числовых данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске два ряда времени выполнения одного задания: 12, 15, 14, 18, 11 и 7, 13, 15, 22, 8 минут. «Здравствуйте, ребята. Представьте, что это результаты двух тренировочных групп. Среднее время мы пока не рассматриваем. Как быстро понять, в какой группе результаты сильнее различаются?» | Рассматривают два ряда, называют первое наблюдение: «Во втором ряду есть и 7, и 22, поэтому значения, вероятно, разбросаны сильнее». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Нам нужен один показатель, который покажет расстояние между самым маленьким и самым большим результатом. Как его найти? Можно ли обойтись только подсчётом количества чисел?» Учитель фиксирует гипотезы на доске. | Предлагают способы: «Найти самое большое и самое маленькое число и сравнить их»; формулируют затруднение: «Мы ещё не знаем, как называется и вычисляется такой показатель». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного взгляда на ряд иногда недостаточно. Сегодня мы узнаем, как с помощью двух крайних значений измерить разброс данных и сравнить наборы чисел». Правило будет открыто в ходе работы.
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать сравнение чисел, порядок действий и работу с величинами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с рядом $16, 9, 21, 13, 9, 18$. «Подумайте самостоятельно: какое число здесь самое большое, какое самое маленькое? Объясните, как вы проверили себя». | Находят и подчёркивают 21, обводят 9, записывают: «Наибольшее значение — 21, наименьшее — 9». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала сравните числа самостоятельно, затем за минуту обсудите с соседом два способа проверки: просмотр ряда и упорядочивание». | Сравнивают способы, упорядочивают ряд: $9,9,13,16,18,21$, сообщают: «Крайние числа упорядоченного ряда дают минимум и максимум». |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: «Если данные измерены в сантиметрах, в каких единицах будут записаны крайние значения? Что произойдёт с единицей при вычитании?» | Отвечают: «Наибольшее и наименьшее значения будут в сантиметрах, разность также будет в сантиметрах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как находить крайние значения и учитывать единицы измерения. Теперь выясним, как превратить эту разность в статистическую характеристику». Сформулируем цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и спланировать открытие нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к двум рядам на доске. «Предположите, какое действие нужно выполнить с найденными крайними значениями, чтобы получить расстояние между ними. Почему нельзя вычитать большее из меньшего?» Учитель принимает гипотезы без немедленной оценки. | Формулируют предположение: «Нужно из наибольшего значения вычесть наименьшее, чтобы получить положительное расстояние». |
2 мин | Учитель записывает план урока: «1. Найти максимум и минимум. 2. Вычесть минимум из максимума. 3. Объяснить смысл результата. 4. Проверить способ на новых данных». Просит сформулировать цель своими словами. | Записывают или проговаривают цель: «Научиться находить размах ряда данных и использовать его для сравнения наборов чисел». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План у нас есть: от поиска крайних значений — к вычислению и интерпретации размаха. Сейчас проверим гипотезу на конкретном примере и выведем правило».<
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: открыть определение размаха и алгоритм его вычисления через анализ числового ряда.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает ряд времени первой группы: 12, 15, 14, 18, 11. «Найдите наибольшее и наименьшее значения. Теперь вычислите расстояние между ними. Запишите действие и объясните, что означает результат». | Находят $x_{max}=18$, $x_{min}=11$, вычисляют $18-11=7$. Формулируют: «Результаты отличаются от самого маленького до самого большого на 7 минут». |
3 мин | Учитель вводит термин: «Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных называют размахом. Запишем формулу: $R=x_{max}-x_{min}$. Важно: сначала найти оба крайних значения, затем выполнить вычитание». Учитель выделяет единицу измерения. | Записывают определение и формулу: $R=x_{max}-x_{min}$. Подписывают: «Размах равен 7 минут». |
3 мин | Учитель предлагает второй ряд: 7, 13, 15, 22, 8. «Работая в парах, найдите размах и сравните его с размахом первой группы. Сформулируйте вывод для руководителя тренировок». | Находят $x_{max}=22$, $x_{min}=7$, $R=22-7=15$ минут. Формулируют вывод: «Во второй группе разброс результатов больше на 8 минут, поэтому результаты менее однородны». |
Запись в тетрадях
Размах ряда данных — разность между его наибольшим и наименьшим значениями. $R=x_{max}-x_{min}$. Алгоритм: найти наибольшее значение; найти наименьшее значение; вычесть минимум из максимума; записать единицу измерения и сделать вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли новый показатель: размах показывает, насколько далеко друг от друга находятся крайние значения ряда. Теперь потренируемся применять алгоритм и проговаривать каждое действие».<
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения размаха с проговариванием действий и обнаружением типичной ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с рядом температур за пять дней: $-3, 2, 0, -5, 4$. «Работаем в парах. Один ученик называет максимум и минимум, второй записывает вычисление, затем поменяйтесь ролями. Обязательно укажите единицу измерения». | Находят $x_{max}=4$ градусов, $x_{min}=-5$ градусов, вычисляют $R=4-(-5)=9$ градусов. Проговаривают: «Размах температуры равен 9 °C». |
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: «Для ряда 6, 10, 8, 15 ученик записал $R=6-15=-9$. Найдите ошибку и исправьте решение». | Отмечают ошибку в порядке вычитания, исправляют: $x_{max}=15$, $x_{min}=6$, $R=15-6=9$. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку приёмом «Светофор»: «Зелёная карточка — алгоритм понятен, жёлтая — нужна одна подсказка, красная — пока трудно. После сигнала назовите шаг, который вызывает вопрос». | Поднимают карточку, называют затруднение: «Не уверен, как работать с отрицательными числами» или «Путаю максимум и минимум». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы потренировались находить размах и увидели главную ошибку — вычитание минимума из максимума в неправильном порядке. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки пары».<
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и умение интерпретировать полученный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать повышенный или дополнительный уровень. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и крайние значения». | Выбирают карточку, записывают фамилию и приступают к решению. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: «Для ряда 14, 9, 17, 12, 9 найдите максимум, минимум и размах». Повышенный: «Сравните размах рядов 5, 8, 6, 10 и 3, 7, 12, 4. Какой ряд более изменчив?» Дополнительный: «Придумайте ряд из пяти целых чисел с размахом 12 и объясните выбор». | Решают выбранные задания, оформляют вычисления и словесный вывод. Для базового задания получают $R=17-9=8$. Для повышенного находят размахи $5$ и $9$, делают вывод о большей изменчивости второго ряда. |
3 мин | Учитель демонстрирует эталон на доске и просит выполнить самопроверку цветной ручкой. «Поставьте плюс у верного шага, знак вопроса у места сомнения. Ошибку не стирайте полностью — исправьте и подпишите её причину». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки. |
Эталон решения
Для ряда $14, 9, 17, 12, 9$: 1) $x_{max}=17$; 2) $x_{min}=9$; 3) $R=x_{max}-x_{min}=17-9=8$. Ответ: размах ряда равен 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, умеете ли вы действовать по алгоритму без внешней помощи. Осталось связать вычисленный показатель с реальной интерпретацией данных и проверить достижение цели».<
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить понятие размаха в жизненной ситуации и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает мини-кейс: «Два курьера доставляли заказы за 24, 27, 25, 26 минут и за 18, 31, 24, 29 минут. У какого курьера время доставки стабильнее? Не ограничивайтесь вычислением — объясните смысл». | Вычисляют размахи: $3$ и $13$ минут. Формулируют: «У первого курьера время стабильнее, потому что размах меньше». |
2 мин | Учитель организует приём «Билет на выход»: «На стикере ответьте на три вопроса: что такое размах; как его найти; что означает маленький размах?» | Записывают: «Размах — разность максимума и минимума; нужно вычесть минимум из максимума; маленький размах означает небольшую изменчивость данных». |
2 мин | Учитель просит заполнить лист самооценки и возвращается к проблемному вопросу начала урока: «Как теперь одним числом сравнить разброс двух групп?» | Оценивают себя, отвечают: «Найти размах каждой группы и сравнить полученные значения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы прошли путь от наблюдения за числовыми рядами до осмысленного статистического вывода. Вы умеете находить крайние значения, вычислять размах и объяснять, что он показывает».<
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, правильно найдены максимум и минимум, размах вычислен без ошибок, единицы измерения указаны, вывод о сравнении рядов сформулирован самостоятельно.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом соблюдён, смысл размаха объяснён.
- «3» — правильно выполнено базовое задание или два его основных шага, но допущены ошибки в вычислении размаха, знаках или словесной интерпретации; требуется исправление по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое размах ряда данных и какой формулой он вычисляется? | Проверка осознания определения и формулы. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным? | Выявление точек затруднения в последовательности действий. |
Что означает маленький размах при сравнении двух наборов данных? | Проверка понимания статистического смысла результата. |
Какое задание вы выбрали бы для дополнительной тренировки? Почему? | Определение уровня готовности и развитие учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились измерять разброс данных с помощью размаха. Запомните главный порядок: сначала находим максимум и минимум, затем вычитаем из большего значения меньшее. Особенно внимательно работайте с отрицательными числами и не забывайте единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим анализировать числовые данные и будем учиться описывать их более полно».<
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений и размаха неупорядоченных рядов из 5–7 чисел, включая один ряд с отрицательными числами. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на правильное определение крайних значений, порядок вычитания и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение двух рядов данных по размаху в контексте температуры, времени или результатов соревнований; для каждой задачи записать словесный вывод. | Формирует умение интерпретировать статистическую характеристику, а не только выполнять вычисление. |
Продвинутый (дополнительный) | Собрать 8–10 реальных числовых данных, например о времени выполнения домашнего задания, вычислить максимум, минимум и размах, представить ряд в упорядоченном виде и написать краткий вывод. | Развивает исследовательские навыки, математическую и цифровую грамотность; при проверке смотреть на достоверность данных, оформление и обоснованность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти размах ряда? Почему размах не может быть отрицательным? Что означает большой размах? Как изменится размах, если к каждому числу ряда прибавить 5?»
