Среднее арифметическое, медиана, наименьшее и наибольшее значения. Размах
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить среднее арифметическое, медиану, наименьшее и наибольшее значения числового ряда, а также размах ряда и применять эти характеристики для сравнения реальных наборов данных.
- Сформировать умение упорядочивать числовой ряд и выбирать способ вычисления его основных характеристик.
- Развивать навыки анализа данных, математической речи, проверки вычислений и аргументированного сравнения наборов чисел.
- Формировать умение работать в паре, распределять действия, обсуждать разные способы решения и корректно оценивать результат.
- Показать практическое значение статистических характеристик при анализе результатов измерений, спортивных показателей и других данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной обработки данных для принятия обоснованных решений в учебных и жизненных ситуациях.
- Проявляют интерес к исследованию числовой информации и готовность самостоятельно выбирать способ работы.
- Понимают ценность сотрудничества, взаимопомощи и уважительного обсуждения математических решений.
- Формируют ответственное отношение к достоверности вычислений и представлению результатов.
Метапредметные
- Извлекают информацию из числового ряда, упорядочивают данные и представляют ход рассуждения в виде алгоритма.
- Сравнивают наборы данных по нескольким характеристикам и объясняют, почему одна характеристика не всегда описывает ряд полностью.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по эталону и исправляют обнаруженные ошибки.
- Формулируют выводы на основе вычислений и аргументируют их в парном обсуждении.
Предметные
- Знать определения среднего арифметического, медианы, наименьшего и наибольшего значений, размаха числового ряда.
- Уметь находить среднее арифметическое ряда как частное от деления суммы его чисел на количество чисел.
- Уметь находить медиану упорядоченного ряда с нечётным и чётным количеством членов.
- Уметь определять наименьшее и наибольшее значения и вычислять размах по формуле $R=x_{\max}-x_{\min}$.
- Уметь применять статистические характеристики для описания и сравнения наборов данных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение практической задачи и оценивают собственную готовность работать с данными.
- Осознают смысл изучаемых характеристик через связь с результатами измерений и повседневными ситуациями.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа проверки результата.
- Соблюдают корректность при обсуждении ответа одноклассника.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: описать числовой ряд с помощью нескольких характеристик.
- Планируют последовательность действий: упорядочить данные, найти крайние значения, определить медиану, вычислить среднее и размах.
- Сверяют решение с алгоритмом и эталоном, находят и исправляют вычислительные ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого действия с помощью листа самооценки и «светофора».
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки статистических характеристик и устанавливают различия между ними.
- Сравнивают два числовых ряда, анализируя не только среднее значение, но и разброс данных.
- Моделируют алгоритм нахождения медианы для нечётного и чётного числа членов ряда.
- Проверяют правдоподобие результата, используя оценку диапазона исходных чисел.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяя роли вычислителя и контролёра.
- Формулируют вопросы по условию и объясняют партнёру последовательность решения.
- Аргументированно отстаивают ответ и корректно принимают замечания.
- Участвуют в коллективном обсуждении, используют математические термины в устной речи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя наборами данных: 6, 7, 7, 8, 12 и 4, 5, 8, 9, 14.
- Распечатать карточки с числовыми рядами трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя пунктами: «нахожу среднее», «нахожу медиану», «нахожу размах», «сравниваю ряды».
- Распечатать эталон решения самостоятельной работы — по одному экземпляру на парту или вывести его на экран.
- Подготовить цветные карточки «зелёный — понял», «жёлтый — нужна проверка», «красный — нужна помощь» — по одной тройке на каждого ученика.
- На доске заранее разместить памятку: «Медиана: упорядочить ряд; при нечётном числе членов выбрать центральный; при чётном найти среднее двух центральных».
- Подготовить маркеры, стикеры, таймер и проектор либо интерактивную доску.
- Разделить задания самостоятельной работы на обязательный, повышающий и дополнительный уровни.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую необходимость нескольких характеристик числового ряда.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетради, ручки и готовность к работе. Сегодня мы будем не просто считать, а учиться кратко описывать большие наборы чисел. Это умение используют аналитики, врачи, инженеры, спортсмены и программисты." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
3 мин | Учитель показывает на доске два ряда: 6, 7, 7, 8, 12 и 4, 5, 8, 9, 14. "Представьте, что это результаты двух тренировок. Как быстро понять, где результат типичный, какие значения являются крайними и насколько результаты различаются? Подумайте 30 секунд, обсудите в паре и предложите один показатель." Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально формулируют идеи, обсуждают их в парах, предлагают: «можно найти среднее», «нужно посмотреть центральное число», «важны самый маленький и самый большой результаты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы назвали несколько способов описать ряд. Сегодня мы узнаем точные названия этих характеристик и научимся вычислять их так, чтобы сравнение было обоснованным."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать действия сложения, деления и упорядочивания чисел, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Вычислите сумму чисел 4, 6, 8 и разделите её на количество слагаемых. Что показывает полученный результат? Затем расположите числа 9, 3, 7, 5, 1 по возрастанию. Почему порядок важен для поиска центрального числа?" | Выполняют вычисление: $(4+6+8):3=6$; отвечают: «это среднее арифметическое». Упорядочивают ряд: 1, 3, 5, 7, 9; называют центральное число 5. |
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает вашу уверенность. Затем решите: назовите наименьшее и наибольшее числа в ряду 11, 4, 8, 6 и найдите их разность. Объясните, какое действие вы выполнили." | Показывают карточку уверенности, называют 4 и 11, вычисляют $11-4=7$, формулируют: «разность наибольшего и наименьшего показывает ширину разброса». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили среднее арифметическое, упорядочивание и разность чисел. Теперь выясним, как объединить эти действия в систему характеристик одного числового ряда."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает ряд 2, 3, 3, 4, 18 и спрашивает: "Среднее арифметическое равно 6. Как вы думаете, можно ли сказать, что большинство результатов близко к 6? Что изменится, если одно число 18 заменить числом 5?" | Сравнивают данные и предполагают: «среднее зависит от очень большого значения», «одного среднего недостаточно для описания ряда». |
2 мин | Учитель обращается к классу: "Какие вопросы нам нужно решить? Запишите их в виде плана. Нам предстоит выяснить, как находить центральное значение, крайние значения и величину разброса." | Формулируют цель: «научиться находить среднее, медиану, минимум, максимум и размах». Записывают план: упорядочить ряд; найти характеристики; сравнить ряды; проверить себя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: один показатель может скрыть важные особенности данных. Давайте откроем алгоритмы, которые дадут более полное описание ряда."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия среднего арифметического, медианы, наименьшего и наибольшего значений, размаха.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает ряд 6, 7, 7, 8, 12: "Сложим все значения и разделим сумму на их количество. Получим среднее арифметическое: $(6+7+7+8+12):5=8$. Это не обязательно один из исходных результатов, но оно характеризует ряд в целом." | Выполняют вычисление в тетрадях, записывают определение: «среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество». |
3 мин | Учитель выделяет центральное число: "Ряд уже упорядочен. В нём пять чисел, поэтому медианой будет третье, центральное число: 7. Если членов ряда чётное число, например 4, 6, 8, 10, медиана равна среднему двух центральных: $(6+8):2=7$." | Находят медиану рядов 6, 7, 7, 8, 12 и 4, 6, 8, 10; формулируют: «перед поиском медианы ряд обязательно упорядочивают». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие значения ограничивают ряд 6, 7, 7, 8, 12? Разность между наибольшим и наименьшим значениями называется размахом. Для нашего ряда $R=12-6=6$." | Называют наименьшее значение 6, наибольшее 12, вычисляют размах 6 и записывают формулу $R=x_{\max}-x_{\min}$. |
2 мин | Учитель организует «Сократовский диалог»: "Можно ли искать медиану до упорядочивания? Что произойдёт с размахом, если добавить число, большее текущего максимума? Может ли среднее выйти за пределы отрезка от минимума до максимума?" | Отвечают: «медиану нельзя искать до упорядочивания»; «размах увеличится»; «среднее не может быть меньше минимума или больше максимума». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Среднее арифметическое: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$. Медиана — центральное значение упорядоченного ряда; при чётном числе членов — среднее двух центральных. $x_{\min}$ — наименьшее значение, $x_{\max}$ — наибольшее значение. Размах: $R=x_{\max}-x_{\min}$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть четыре инструмента описания ряда. Следующий шаг — применить их к конкретным данным и проговорить каждое действие, чтобы не перепутать медиану со средним."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы в парной работе с обязательным проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку: «Время в минутах, затраченное пятью учениками на выполнение задания: 12, 9, 15, 10, 9. Найдите среднее арифметическое, медиану, минимум, максимум и размах». "В паре один ученик вычисляет, второй контролирует порядок действий. Затем поменяйтесь ролями." | Упорядочивают ряд 9, 9, 10, 12, 15; находят среднее $(12+9+15+10+9):5=11$, медиану 10, минимум 9, максимум 15, размах $15-9=6$. |
3 мин | Учитель просит две пары представить решение: "Объясните не только ответ, но и почему медианой стало именно это число. Какая характеристика описывает типичный центральный результат, а какая — разброс?" | Представляют решение, отвечают: «медиана равна 10, потому что после упорядочивания это центральное число»; «размах показывает разницу между крайними результатами». |
2 мин | Учитель предлагает проверку «Две звезды и пожелание»: "Проверьте запись партнёра по трём критериям: ряд упорядочен, формула среднего записана верно, размах найден как максимум минус минимум. Назовите две сильные стороны и один совет." | Сверяют решения, записывают две положительные отметки и один совет, исправляют найденные неточности. |
Эталон решения
1) Упорядочить ряд: 9, 9, 10, 12, 15. 2) Среднее арифметическое: $\bar{x}=\frac{12+9+15+10+9}{5}=\frac{55}{5}=11$. 3) Медиана — центральный третий член: $10$. 4) $x_{\min}=9$, $x_{\max}=15$. 5) Размах: $R=15-9=6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили полный алгоритм и проверили друг друга. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли находить характеристики ряда без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и научить выбирать уровень задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательный уровень. Если он получился уверенно, переходите к повышающему, а затем к дополнительному. Сначала внимательно перепишите ряд, затем упорядочьте его и только после этого находите характеристики." | Выбирают уровень, подписывают карточку, читают условие и планируют порядок действий. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Обязательный уровень: для ряда 5, 8, 6, 11, 5 найти четыре характеристики. Повышающий: сравнить ряды 3, 4, 4, 5, 9 и 5, 5, 5, 5, 5. Дополнительный: составить ряд из пяти целых чисел с медианой 7 и размахом 8. | Индивидуально решают задания. Для обязательного уровня получают упорядоченный ряд 5, 5, 6, 8, 11; среднее 7, медиану 6, размах 6. Для сравнения замечают, что средние могут совпасть, а размах различаться. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только конечные числа, но и порядок действий. Ошибка в упорядочивании обычно приводит к неверной медиане. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который потребовал проверки, красным — место затруднения." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают цветом затруднение и заполняют лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали уверенными. Осталось связать характеристики в единый способ анализа и сделать вывод, почему нельзя ограничиваться одним числом."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы описания числового ряда, осмыслить результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к двум рядам из начала урока: "Сравните их по среднему, медиане и размаху. Какой ряд более однороден? Какой показатель помогает увидеть разброс?" | Вычисляют или используют результаты: для первого ряда среднее 8, медиана 7, размах 6; для второго среднее 8, медиана 8, размах 10. Формулируют: «средние одинаковы, но второй ряд имеет больший разброс». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На стикере ответьте на два вопроса: какое действие обязательно перед поиском медианы и как вычисляется размах? Допишите, какой навык сегодня стал увереннее." | Пишут: «сначала упорядочить ряд»; «размах равен максимуму минус минимум»; формулируют личный результат. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает урок: "Выберите уровень с учётом своей самостоятельности. Проверьте, чтобы в каждом решении были упорядоченный ряд, формула или пояснение и итоговый вывод." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают стикер-билет. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и хотя бы одно повышающее, правильно найдены среднее арифметическое, медиана, минимум, максимум и размах, ход решения записан последовательно.
- «4» — обязательные задания выполнены в основном верно, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм поиска медианы и размаха понятен.
- «3» — правильно определены хотя бы три характеристики или выполнен базовый ряд с отдельными исправимыми ошибками; требуется дополнительная тренировка упорядочивания и вычисления среднего.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем повторяет алгоритм по памятке и выполняет аналогичный ряд с меньшим количеством чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о медиане и чем она отличается от среднего арифметического? | Выявление осознанности различий между центральной характеристикой и средним значением. |
Какое действие в алгоритме оказалось самым важным или сложным? | Выявление точек затруднения: упорядочивание, вычисление суммы или выбор центрального элемента. |
Как по числовому ряду найти размах и что он показывает? | Проверка понимания смысла разности между наибольшим и наименьшим значениями. |
Какой уровень самостоятельной работы вы выбрали и почему? | Оценка самоопределения, рефлексивности и готовности к дальнейшему усложнению заданий. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать числовой ряд сразу с нескольких сторон: находить среднее арифметическое, центральное значение — медиану, крайние значения и размах. Помните, что самая частая ошибка — искать медиану в неупорядоченном ряду или путать её со средним арифметическим. Один показатель не всегда раскрывает всю картину, поэтому важно сравнивать характеристики вместе. На следующем уроке мы продолжим работать с данными и научимся представлять их более наглядно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 числовых ряда по 5–7 чисел: для каждого упорядочить данные, найти среднее арифметическое, медиану, наименьшее и наибольшее значения, вычислить размах. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на порядок чисел, правильность деления суммы на количество членов и формулу размаха. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на сравнение двух наборов данных из реального контекста, например результатов тренировок или времени выполнения заданий; сравнить средние, медианы и размахи и написать вывод из 2–3 предложений. | Формирует умение интерпретировать статистические характеристики и объяснять, почему одинаковое среднее не означает одинаковый разброс. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два ряда из пяти или семи целых чисел с одинаковым средним и разными размахами; найти все характеристики и объяснить, как удалось получить такой результат. | Развивает исследовательское и творческое мышление, умение конструировать данные и аргументировать вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как подготовить ряд к поиску медианы? Как найти медиану при чётном количестве членов? Чем размах отличается от среднего арифметического? Может ли среднее арифметическое быть меньше наименьшего значения ряда?»
