Описательная статистика: размах, наибольшее и наименьшее значения, квартили
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наименьшее и наибольшее значения, размах и квартили упорядоченного набора данных, а также объяснять смысл полученных характеристик на примере реальной статистической информации.
- Научиться упорядочивать числовой ряд и определять его минимальное, максимальное значения и размах по формуле $R=x_{max}-x_{min}$.
- Освоить алгоритм нахождения медианы, нижнего и верхнего квартилей для наборов данных с чётным и нечётным числом элементов.
- Развивать умение сравнивать наборы данных, аргументировать выводы и проверять корректность вычислений в паре.
- Формировать ответственное отношение к использованию статистики при анализе данных о спорте, погоде и повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению статистики для анализа реальных данных о погоде, спорте и здоровье.
- Осознают значение точных вычислений и проверки данных для принятия обоснованных решений.
- Уважительно относятся к мнению партнёра и принимают ответственность за общий результат парной работы.
- Оценивают собственную готовность применять статистические характеристики вне урока.
Метапредметные
- Преобразуют неупорядоченный набор чисел в упорядоченный ряд и выделяют существенную информацию.
- Планируют последовательность действий при нахождении размаха и квартилей.
- Сравнивают два набора данных и формулируют вывод на основе вычисленных характеристик.
- Используют математическую речь для объяснения результата и проводят взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знать определения наименьшего и наибольшего значений, размаха, медианы, нижнего и верхнего квартилей.
- Уметь находить $x_{min}$, $x_{max}$ и размах $R$ в упорядоченном числовом ряду.
- Уметь делить упорядоченный ряд на нижнюю и верхнюю половины и находить квартили этих половин.
- Уметь интерпретировать размах и квартили при сравнении реальных наборов данных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный интерес к анализу данных и выбору способа работы.
- Осознают практическую ценность статистических показателей для оценки информации.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня тренировочного задания.
- Оценивают вклад партнёра и собственную ответственность в совместной работе.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с набором данных и составляют алгоритм её достижения.
- Контролируют порядок расположения чисел и правильность вычисления размаха.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Извлекают данные из таблицы и преобразуют их в упорядоченный ряд.
- Устанавливают связь между положением числа в ряду и его статистическим смыслом.
- Сравнивают наборы данных по размаху и квартилям.
- Строят простую схему расположения минимума, квартилей, медианы и максимума.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают способ решения в паре и формулируют общий ответ.
- Задают уточняющие вопросы о правилах нахождения квартилей.
- Аргументируют выбор числа, являющегося квартилем.
- Проводят корректную взаимопроверку по предложенным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с наборами данных о температуре воздуха, времени выполнения задания и результатах спортивных измерений.
- Вывести на доску или экран памятку: упорядочить ряд; найти минимум и максимум; вычислить размах; разделить ряд на половины; найти квартили.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы: базового, повышающего и дополнительного.
- Распечатать лист самооценки по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры для выделения минимума, максимумов, медианы и квартилей.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, доску и маркеры.
- Разместить на доске проблемный набор: 12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 30, 31.
- Подготовить межпредметный пример с дневными температурами за неделю и вопросом о стабильности погоды.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость описательных статистических характеристик.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и линейка. Сегодня мы будем не просто считать числа, а учиться быстро описывать целый набор данных несколькими понятными характеристиками." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
3 мин | Учитель показывает на экране результаты семи измерений температуры: 12, 15, 15, 18, 20, 21, 24. Затем спрашивает: "Какая температура была самой низкой? Самой высокой? Насколько отличаются крайние значения? Можно ли по этим данным понять, была ли погода стабильной?" Учитель фиксирует ответы и сообщает: "Сегодня мы найдём инструменты, которые позволяют отвечать на такие вопросы." | Называют минимальное значение 12, максимальное 24, предполагают разность 12 градусов и формулируют: "По одной разности можно оценить разброс температуры". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один список чисел может рассказать о погоде больше, если правильно его обработать. Сначала вспомним, как работать с упорядоченными рядами, а затем откроем новые характеристики."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: актуализировать умения сравнивать числа, упорядочивать ряд и находить медиану.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала самостоятельно расположите числа 18, 7, 12, 25, 12, 9 по возрастанию. Затем сравните запись с соседом и объясните, почему одинаковые числа нельзя удалять." | Записывают ряд $7, 9, 12, 12, 18, 25$, обсуждают в парах, объясняют сохранение двух значений 12. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как называется число, стоящее в центре упорядоченного ряда? Что делаем, если в центре находятся два числа?" На доске фиксирует правило нахождения медианы. | Отвечают: "Медиана"; для чётного числа элементов называют среднее арифметическое двух центральных чисел. |
2 мин | Учитель предлагает быстро определить минимум, максимум и медиану ряда $4, 6, 8, 10, 12$ и просит пары обменяться тетрадями для проверки. | Находят $x_{min}=4$, $x_{max}=12$, медиану 8, сверяют решение и называют обнаруженные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем упорядочивать данные и находить центральное значение. Теперь выясним, как описать не только центр ряда, но и его крайние значения и внутренние границы."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить недостаточность одного среднего или медианного значения и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два набора времени выполнения задания в секундах: А: 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15; Б: 5, 8, 12, 12, 13, 17, 20. Учитель спрашивает: "У обоих рядов медиана равна 12. Можно ли утверждать, что результаты одинаково стабильны? Какие ещё вопросы нужно задать?" | Сравнивают наборы в парах и отвечают: "Нет, во втором ряду значения сильнее разбросаны; нужно сравнить крайние значения и положение четвертей ряда". |
2 мин | Учитель организует приём "Снежный ком": "Сначала каждый запишите один вопрос, затем объединитесь в пары и выберите наиболее важный. Какие новые характеристики помогут описать разброс и положение данных?" Учитель обобщает ответы. | Формулируют вопросы: "Как найти расстояние между минимумом и максимумом? Как разделить ряд на четыре части?" Записывают цель: научиться находить размах и квартили. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: медианы недостаточно, чтобы описать весь ряд. Сначала найдём размах, затем научимся определять границы четвертей набора данных."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения размаха и квартилей на конкретном упорядоченном ряду.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает ряд времени: $10, 11, 12, 12, 13, 14, 15$. "Первое действие — упорядочить данные. Назовите наименьшее и наибольшее значения. Как найти расстояние между ними?" Учитель вводит формулу $R=x_{max}-x_{min}$ и объясняет смысл размаха. | Называют $x_{min}=10$, $x_{max}=15$, вычисляют $R=15-10=5$ и записывают формулу. |
4 мин | Учитель говорит: "Разделим ряд на две половины, не включая медиану. Нижняя половина — 10, 11, 12; верхняя — 13, 14, 15. Медианы этих половин называют квартилями: медиана нижней половины — первый квартиль $Q_1$, медиана верхней — третий квартиль $Q_3$. Второй квартиль совпадает с общей медианой." Учитель выделяет числа разными цветами. | Выделяют $Q_1=11$, медиану $Q_2=12$, $Q_3=14$, записывают схему: минимум — $Q_1$ — $Q_2$ — $Q_3$ — максимум. |
3 мин | Учитель разбирает ряд с чётным числом элементов: $4, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 20$. "Здесь медиана равна среднему арифметическому 9 и 12. Для квартилей берём нижнюю половину 4, 6, 7, 9 и верхнюю половину 12, 15, 18, 20. Выполните вычисления вместе со мной." | Вычисляют $Q_2=(9+12):2=10{,}5$, $Q_1=(6+7):2=6{,}5$, $Q_3=(15+18):2=16{,}5$. Формулируют алгоритм. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: "Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями: $R=x_{max}-x_{min}$. Квартили делят упорядоченный ряд на четыре части: $Q_1$ — медиана нижней половины, $Q_2$ — медиана всего ряда, $Q_3$ — медиана верхней половины. Алгоритм: упорядочить ряд; найти минимум, максимум и медиану; разделить ряд на половины; найти медианы половин."
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть полный набор характеристик: крайние значения, размах и три квартиля. Проверим алгоритм на новых данных, сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к данным из естественно-научного контекста и объяснить полученный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Дневная температура в течение недели была такой: 16, 12, 18, 15, 20, 14, 17 градусов. Упорядочьте ряд и найдите минимум, максимум, размах и квартили." На доске отображает критерии: порядок ряда, вычисления, пояснение. | Упорядочивают данные: $12, 14, 15, 16, 17, 18, 20$. Распределяют роли: один выполняет вычисления, другой контролирует порядок и запись. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы парам: "Какова медиана? Какие числа войдут в нижнюю и верхнюю половины? Почему медиана не входит в половины при нечётном числе элементов?" Поддерживает пары уточняющими вопросами. | Находят $x_{min}=12$, $x_{max}=20$, $R=8$, $Q_1=14$, $Q_2=16$, $Q_3=18$. Объясняют: "Медиана уже разделяет ряд на две части и не включается в них". |
3 мин | Учитель просит две пары представить решение. Затем говорит: "Сделайте межпредметный вывод: что означает размах 8 градусов для наблюдений за погодой?" Исправляет неточности и подчёркивает связь статистики с естествознанием. | Представляют решение, формулируют вывод: "За неделю разница между самой низкой и самой высокой температурой составила 8 градусов; половина наблюдений лежит между 14 и 18 градусами". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили статистические характеристики к данным о погоде и смогли перевести вычисления в содержательный вывод. Теперь каждый проверит, насколько уверенно выполняет алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбор карточки. Базовый уровень: для ряда $3, 5, 6, 8, 10, 12, 14$ найти минимум, максимум, размах и квартили. Повышающий уровень: для ряда $2, 4, 4, 7, 9, 11, 13, 16$ найти все характеристики и сравнить размах с предыдущим рядом. Дополнительный уровень: объяснить, почему одинаковая медиана не гарантирует одинаковый разброс. | Индивидуально выбирают уровень, записывают решение с промежуточными шагами, подчёркивают итоговые значения. |
3 мин | Учитель выводит эталон: для базового ряда $x_{min}=3$, $x_{max}=14$, $R=11$, $Q_1=5$, $Q_2=8$, $Q_3=12$. "Проверьте не только ответ, но и порядок действий. Отметьте зелёным правильные шаги, жёлтым — шаги, требующие исправления." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, заполняют мини-лист: "Я умею упорядочивать ряд; находить размах; находить квартили; объяснять смысл". |
Эталон решения
Для ряда $3, 5, 6, 8, 10, 12, 14$: $x_{min}=3$, $x_{max}=14$, $R=14-3=11$. Медиана $Q_2=8$. Нижняя половина $3,5,6$, поэтому $Q_1=5$. Верхняя половина $10,12,14$, поэтому $Q_3=12$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал привычным, а какой требует внимания. Наиболее частая ошибка — находить квартили в неупорядоченном ряду или включать медиану в обе половины. В конце урока сформулируем общий вывод и проверим понимание ключевых понятий."
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, выявить затруднения и определить дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Билет на выход": "На отдельной полоске бумаги запишите: 1) формулу размаха; 2) что означает $Q_1$; 3) одну типичную ошибку при нахождении квартилей. Затем поставьте знак рядом с утверждением: зелёный — могу объяснить другому, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Записывают ответы: $R=x_{max}-x_{min}$; "$Q_1$ — медиана нижней половины"; называют ошибку неупорядоченного ряда. Выбирают цвет самооценки. |
2 мин | Учитель говорит: "Сегодня мы научились описывать набор данных пятью опорными точками: минимумом, первым квартилем, медианой, третьим квартилем и максимумом. Подумайте, где в жизни можно использовать такой способ описания данных." Учитель принимает 2–3 ответа и сообщает домашнее задание. | Отвечают: "При анализе температуры, результатов соревнований, цен, времени поездки". Записывают домашнее задание и контрольные вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно упорядочен ряд, найдены минимум, максимум, размах и все квартили, вычисления записаны последовательно, содержательный вывод сформулирован без ошибок.
- "4" — алгоритм применён верно, но допущена одна неточность в вычислении или формулировке вывода, не повлиявшая на основную логику решения.
- "3" — найдены минимум, максимум и размах, но есть две ошибки в нахождении медианы или квартилей либо отсутствует пояснение смысла результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о размахе и квартилях? | Выявление осознания основных понятий и их различий. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения при нахождении медианы половин. |
Как вы проверяли, что ряд разделён на правильные половины? | Проверка сформированности регулятивного и познавательного действия. |
Где можно использовать размах и квартили вне урока? | Оценка переноса знания в реальный и межпредметный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать набор данных не длинным перечнем чисел, а системой важных характеристик. Мы находили минимум, максимум, размах и квартили и объясняли, что они означают в данных о погоде и результатах измерений. Помните: прежде чем искать квартиль, ряд нужно обязательно упорядочить. На следующем уроке мы продолжим анализировать статистические данные и научимся представлять их с помощью наглядных способов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на упорядочивание числового ряда и нахождение наименьшего, наибольшего значений, размаха и медианы; в двух задачах найти $Q_1$ и $Q_3$. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на порядок ряда и правильное разделение на половины. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сравнение двух наборов данных по размаху и квартилям; для каждой пары наборов написать вывод о разбросе и центральной части данных. | Формирует умение интерпретировать статистические характеристики, а не только вычислять их. |
Продвинутый (дополнительный) | Собрать 9–11 числовых данных из реальной ситуации, например о времени дороги или дневной температуре, упорядочить ряд, найти пять характеристик и написать вывод объёмом 3–4 предложения. | Развивает исследовательские навыки и перенос математического способа анализа в жизненный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как вычисляется размах? Что называют первым квартилем? Почему исходный ряд необходимо упорядочить? Чем размах отличается от медианы?"
