Числовой набор. Среднее арифметическое
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить среднее арифметическое числового набора из 3–6 чисел, объяснять смысл полученного значения и применять алгоритм в практической задаче.
- Сформировать понятие числового набора и среднего арифметического, установить связь между суммой чисел, их количеством и средним значением.
- Научиться применять формулу среднего арифметического, выполнять вычисления и проверять разумность полученного результата.
- Развивать умение анализировать условие задачи, объяснять ход решения, сравнивать результаты и аргументированно формулировать вывод.
- Воспитывать ответственное отношение к точности вычислений, уважение к мнению одноклассников и готовность использовать математические данные в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность среднего арифметического при анализе оценок, температур, результатов измерений и других данных.
- Проявляют интерес к самостоятельному поиску способа решения учебной проблемы.
- Понимают значение точности вычислений и проверки результата в повседневной и будущей профессиональной деятельности.
- Принимают возможность существования разных способов объяснения одного математического результата.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия задачи, выделяют числовые данные и определяют их количество.
- Планируют последовательность вычислений по алгоритму нахождения среднего арифметического.
- Сравнивают полученный результат с исходными числами и выявляют возможные ошибки.
- Формулируют выводы в устной и письменной форме, участвуют в обсуждении и аргументируют собственную позицию.
Предметные
- Знать определения числового набора и среднего арифметического.
- Уметь находить сумму чисел числового набора и определять количество его элементов.
- Уметь вычислять среднее арифметическое по формуле $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.
- Уметь решать практические задачи на среднее арифметическое и записывать ответ с единицами измерения.
- Понимать, что среднее арифметическое числового набора не меньше наименьшего и не больше наибольшего числа набора.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения среднего арифметического через его применение к реальным данным.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору уровня задания.
- Оценивают собственную уверенность в выполнении вычислений и честно фиксируют затруднения.
- Соблюдают уважительный стиль общения при сравнении решений одноклассников.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: научиться находить и интерпретировать среднее арифметическое.
- Планируют решение задачи по шагам: определить данные, сложить их, посчитать количество, разделить сумму на количество.
- Осуществляют самопроверку по эталону и проверяют расположение ответа относительно крайних значений набора.
- Вносят коррективы в решение после обнаружения арифметической или логической ошибки.
Познавательные УУД
- Классифицируют данные как элементы одного числового набора.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью числового выражения и формулы.
- Устанавливают связь между средним арифметическим, суммой и количеством чисел.
- Анализируют разумность ответа и делают вывод о его соответствии исходным данным.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о способе вычисления среднего значения.
- Объясняют решение партнёру, используя математические термины.
- Сравнивают решения в паре и корректно указывают на возможную ошибку.
- Участвуют в обсуждении, распределяют роли и приходят к общему выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с данными о пяти дневных температурах: 12, 14, 13, 16, 15 °C.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить мини-доски или листы для быстрых ответов по одному на пару.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я могу определить числовой набор», «Я могу найти среднее арифметическое», «Я могу объяснить смысл ответа».
- Вывесить на доске памятку: «1. Найди сумму чисел. 2. Посчитай количество чисел. 3. Раздели сумму на количество».
- Подготовить таблицу для групповой работы с данными о времени выполнения задания четырьмя учениками: 6, 8, 7, 9 минут.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры и таймер на 2–4 минуты.
- Разложить на партах карточки с ошибочными решениями для приёма «Найди ошибку».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость среднего арифметического.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к ученикам: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для быстрых ответов должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а попробуем разобраться, как одним числом описать целый набор данных." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и оставляют свободное место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране пять температур за рабочую неделю: 12, 14, 13, 16, 15 °C. Затем говорит: "Представьте, что вам нужно коротко сообщить родителям, какой была температура на этой неделе. Можно перечислить все пять значений, а можно найти одно число, которое даст общее представление. Какое число вы бы предложили? Почему?" Учитель фиксирует разные предположения, не объявляя правильный способ. | Рассматривают данные, предлагают варианты: "13 градусов", "14 градусов", "Нужно сложить все температуры и разделить", объясняют, почему одно число удобнее для краткого описания набора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что несколько чисел иногда хочется заменить одним обобщённым показателем. Сейчас выясним, как получить такое число математически и почему оно действительно характеризует весь набор."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать действия сложения, деления и определения количества элементов набора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вычислите в тетради сумму чисел 12, 14, 13, 16, 15. Сначала работайте самостоятельно 30 секунд, затем сравните вычисления с соседом. Обсудите, как можно быстро проверить сумму." | Самостоятельно находят сумму, затем сравнивают записи в парах и формулируют ответ: "Сумма равна 70". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Сколько чисел в данном наборе? Как определить количество элементов, если числа записаны в строку? Что означает деление суммы на 5 в нашей ситуации?" Учитель записывает на доске выражение $70:5$. | Отвечают: "В наборе пять чисел"; "Нужно пересчитать все значения"; "Деление суммы на пять показывает среднее значение на один день". |
1 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Назовите число, которое точно будет меньше среднего значения, и число, которое точно будет больше него. Почему среднее не может быть меньше 12 или больше 16?" | Называют 12 как наименьшее и 16 как наибольшее значения, предполагают: "Среднее должно находиться между крайними числами". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили, как находить сумму и количество элементов, а также заметили важное свойство будущего среднего значения. Теперь определим, как называется этот показатель и как записывается общий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два решения: «12+14+13+16+15=70» и «70:5=14». Затем спрашивает: "Мы получили число 14, но пока не знаем, как правильно его назвать и по какому правилу действовать в любой похожей задаче. Какой вопрос возникает? Что нам нужно узнать сегодня?" | Формулируют проблему: "Как назвать число 14? Как находить такое число для любого набора? Что оно означает?" |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель одним предложением. Затем обсудите её в паре и предложите классу наиболее точный вариант. Цель должна начинаться со слов «научиться…»." | Сначала записывают индивидуальную цель, затем обсуждают её в парах и предлагают: "Научиться находить среднее арифметическое числового набора и объяснять смысл ответа". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: нам предстоит открыть понятие среднего арифметического, вывести алгоритм и проверить его на практических данных. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать понятия числового набора и среднего арифметического, вывести формулу и алгоритм вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Любая совокупность чисел, рассматриваемых вместе, называется числовым набором. Например, 12, 14, 13, 16, 15 — это числовой набор из пяти чисел. Каждое число является элементом набора. Если сложить все элементы набора и разделить сумму на их количество, получим среднее арифметическое." Учитель подчёркивает на доске сумму и число элементов. | Записывают определение числового набора и выделяют пять его элементов. Отвечают: "В данном наборе пять элементов". |
3 мин | Учитель записывает формулу и комментирует: "Если набор состоит из чисел $x_1,x_2,...,x_n$, то среднее арифметическое обозначают $\bar{x}$ и находят так: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$. Обратите внимание: сначала складываем все числа, а затем делим на количество чисел, а не на последнее число." | Переписывают формулу, проговаривают алгоритм по шагам: "Найти сумму, определить количество, разделить сумму на количество". |
3 мин | Учитель возвращается к температуре: "Применим правило. Сумма температур равна 70, количество значений равно 5. Поэтому $\bar{x}=70:5=14$ °C. Что означает число 14? Это не значит, что каждый день температура была ровно 14 градусов. Это обобщённая характеристика всей недели." | Выполняют запись решения и формулируют вывод: "Средняя температура за пять дней составила 14 °C"; замечают, что фактические температуры различались. |
Запись в тетрадях
Числовой набор — совокупность чисел, рассматриваемых вместе. Среднее арифметическое числового набора равно сумме всех его элементов, делённой на количество элементов: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$. Алгоритм: 1) найти сумму чисел; 2) определить количество чисел; 3) разделить сумму на количество.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы дали название набору чисел, вывели формулу и увидели, что среднее арифметическое описывает данные одним числом. Теперь проверим алгоритм на простых примерах и научимся проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления среднего арифметического с проговариванием действий и проверкой результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Найдите среднее арифметическое чисел 6, 8, 7, 9. Запишите решение и объясните, что означает ответ, если это время выполнения задания в минутах». Учитель напоминает: "Не называйте только результат. Проговорите сумму, количество и смысл ответа." | В парах находят $6+8+7+9=30$, определяют количество элементов $n=4$, вычисляют $30:4=7,5$. Формулируют: "Среднее время выполнения задания — 7,5 минуты". |
2 мин | Учитель приглашает одну пару представить решение, а остальных просит выполнить взаимопроверку по трём критериям: сумма, количество элементов, смысл ответа. Учитель спрашивает: "Почему ответ 7,5 допустим, хотя такого точного времени могло не быть ни у одного ученика?" | Сверяют решения, показывают карточки «верно» или «есть вопрос». Объясняют: "Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним элементом, потому что это обобщённое значение". |
2 мин | Учитель предлагает устно сравнить два набора: A: 4, 4, 4 и B: 2, 4, 6. Вопрос: "Средние арифметические одинаковы или различаются? Что это показывает?" | Вычисляют оба средних: $12:3=4$ и $12:3=4$. Делают вывод: "Разные наборы могут иметь одно и то же среднее арифметическое". |
Эталон решения
Для набора 6, 8, 7, 9: 1) сумма элементов $6+8+7+9=30$; 2) количество элементов $n=4$; 3) среднее арифметическое $\bar{x}=30:4=7,5$; 4) проверка: $6<7,5<9$, значит, результат расположен между наименьшим и наибольшим значениями.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает и для целых, и для дробных ответов. Мы также увидели, что среднее не обязано совпадать с конкретным элементом набора. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и умение анализировать разумность результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите карточку базового, повышающего или дополнительного уровня. Базовый уровень обязателен для всех; повышающий и дополнительный можно выбрать, если готовы к более сложной задаче. Перед началом запишите три шага алгоритма." | Выбирают уровень, записывают алгоритм и знакомятся с критериями проверки. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: «Найдите среднее арифметическое чисел 5, 7, 6, 10». Повышающий уровень: «За четыре дня ученик прочитал 18, 22, 15 и 25 страниц. Сколько страниц в среднем он читал за день?» Дополнительный уровень: «Среднее арифметическое пяти чисел равно 12. Четыре числа равны 8, 11, 14 и 15. Найдите пятое число». Учитель напоминает: "Записывайте не только ответ, но и вычисления и вывод." | Индивидуально решают выбранное задание. Базовый ответ: $28:4=7$. Повышающий ответ: $80:4=20$ страниц. Дополнительный ответ: сумма пяти чисел $12\cdot5=60$, неизвестное число $60-(8+11+14+15)=12$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску и говорит: "Проверьте три позиции: правильно ли найдена сумма, правильно ли определено количество элементов, находится ли ответ между крайними значениями, если это применимо. Ошибку исправляйте другой ручкой и подпишите, на каком шаге она возникла." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки, исправляют вычисления и заполняют краткую самооценку: «выполняю самостоятельно», «нужна подсказка», «пока затрудняюсь». |
Эталон решения
Базовый уровень: $5+7+6+10=28$, $n=4$, $\bar{x}=28:4=7$. Повышающий уровень: $18+22+15+25=80$, $n=4$, $\bar{x}=80:4=20$ страниц. Дополнительный уровень: сумма всех пяти чисел равна $12\cdot5=60$; сумма известных чисел $8+11+14+15=48$; неизвестное число $60-48=12$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство из вас уже может самостоятельно найти среднее арифметическое и проверить ответ. Осталось включить новое понятие в систему знаний и ещё раз связать вычисление с реальной ситуацией."
Этап 7. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: применить понятие среднего арифметического к жизненной задаче и сформулировать свойства результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В течение пяти дней приложение фиксировало количество шагов: 7000, 9000, 8000, 6000 и 10000. Найдите среднее количество шагов за день. Объясните, можно ли утверждать, что каждый день человек проходил именно столько шагов." Учитель просит сначала оценить ответ без вычислений. | Оценивают результат: он должен быть между 6000 и 10000. Вычисляют сумму $40000$, делят на 5 и получают $8000$ шагов. Формулируют: "В среднем человек проходил 8000 шагов в день; это не означает, что каждый день результат был таким". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие три проверки помогут не ошибиться? Назовите их в правильном порядке." Учитель фиксирует ответы в виде мини-кластера. | Называют проверки: "Сумма составлена без пропусков; количество элементов посчитано верно; результат находится между минимумом и максимумом". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы не только научились делить сумму на количество, но и поняли смысл результата. Теперь зафиксируем, что получилось, что требует тренировки и какой вопрос заберём с собой."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результаты урока, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист «Билет на выход» и говорит: "Ответьте кратко на два вопроса: 1) Как найти среднее арифметическое числового набора? 2) Найдите среднее чисел 3, 5, 4 и объясните смысл ответа. Затем отметьте цветом, насколько уверенно вы умеете выполнять алгоритм." | Записывают алгоритм, вычисляют $12:3=4$, формулируют: "Среднее арифметическое равно 4". Отмечают зелёный, жёлтый или красный уровень уверенности. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Базовый обязателен, остальные задания выполняются по желанию. При решении обязательно записывайте сумму, количество элементов и вывод." | Фиксируют выбранный уровень домашнего задания и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решены задания выбранного уровня, записаны сумма и количество элементов, вычисления выполнены без ошибок, сформулирован смысл практического ответа и проведена проверка его разумности.
- «4» — правильно решены основные задания, но допущена одна вычислительная неточность или неполный вывод; алгоритм в целом применён верно.
- «3» — найдено среднее арифметическое хотя бы в базовой задаче, но допущены ошибки в сумме, количестве элементов или оформлении вывода; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют числовым набором и как найти его среднее арифметическое? | Проверка осознания основного определения и алгоритма. |
На каком шаге решения задачи на среднее арифметическое вы можете ошибиться? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Почему среднее арифметическое может не совпадать ни с одним числом набора? | Проверка понимания смысла обобщённого показателя. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Формирование навыка самооценки и ответственности за учебный выбор. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать числовой набор одним обобщённым показателем — средним арифметическим. Запомните главное: сначала складываем все элементы, затем делим сумму на их количество. Частая ошибка — делить на последнее записанное число или забывать, сколько элементов было в наборе. Проверяйте результат: среднее арифметическое обычно находится между наименьшим и наибольшим значениями. На следующем уроке мы продолжим работать с числовыми наборами и узнаем, как другие характеристики помогают сравнивать данные."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение среднего арифметического наборов из 4–6 целых чисел. В каждой задаче записать сумму, количество элементов и ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильный подсчёт количества чисел и арифметические вычисления. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи о среднем количестве шагов, температуре, времени или результатах измерений. Для каждой задачи сформулировать вывод с единицами измерения. | Формирует умение применять среднее арифметическое в жизненном контексте и интерпретировать результат. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный числовой набор из 5–6 данных, подобрать к нему реальную ситуацию, вычислить среднее арифметическое и объяснить, почему результат находится между крайними значениями. | Развивает создание математической модели, аргументацию и осмысленное использование статистического показателя. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что является числовым набором? Как обозначают среднее арифметическое? На что делят сумму элементов? Может ли среднее арифметическое быть больше наибольшего числа набора?»
