Отрицание и условные утверждения
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить отрицание простого и условного утверждения, различать условие и следствие, а также проверять истинность условного утверждения на конкретных примерах с результатом не менее 4 верных ответов из 5.
- Научиться правильно формулировать отрицание утверждений со словами «все», «некоторые», «неверно, что».
- Установить структуру условного утверждения «если ..., то ...», выделять в нём условие и следствие.
- Применять таблицу истинности и контрпример для проверки утверждений.
- Развивать умение аргументировать ответ, работать с электронными заданиями и самостоятельно проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной формулировки утверждений в математике, повседневном общении и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность проверять собственное мнение аргументом или контрпримером, а не только интуицией.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и уважение к различным способам рассуждения.
- Оценивают собственную уверенность при работе с логическими высказываниями и выбирают посильный уровень задания.
Метапредметные
- Выделяют главное в условии, преобразуют словесное высказывание в логическую схему и читают её обратно.
- Сравнивают утверждение и его отрицание, находят противоречие и строят контрпример.
- Планируют решение короткого задания, используют электронный ресурс для самопроверки и исправляют ошибку.
- Формулируют выводы в паре, аргументируют позицию и задают уточняющие вопросы.
- Используют цифровые инструменты для выполнения интерактивного упражнения и фиксации результата.
Предметные
- Знать смысл операции отрицания утверждения и правила отрицания высказываний со словами «все» и «некоторые».
- Уметь выделять условие и следствие в утверждении вида «если ..., то ...».
- Уметь определять истинность условного утверждения на простых примерах и находить контрпример.
- Уметь формулировать отрицание условного утверждения в корректной словесной форме.
- Владеть приёмом проверки утверждения по конкретным значениям и таблице истинности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться отличать логически точное отрицание от бытового несогласия.
- Осознают необходимость точности и доказательности математической речи.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня электронного задания.
- Оценивают, какие действия помогают им не путать условие и следствие.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу после анализа проблемного примера и формулируют план её решения.
- Сверяют ответ с правилом, электронным эталоном и контрпримером.
- Находят ошибку в собственном рассуждении и корректируют формулировку.
- Оценивают достижение цели по количеству верно выполненных заданий.
- Распределяют время между индивидуальной и парной работой.
Познавательные УУД
- Классифицируют утверждения по типу: простое, отрицательное, условное.
- Строят логическую модель условного утверждения: «условие → следствие».
- Устанавливают, что для опровержения утверждения достаточно одного контрпримера.
- Преобразуют естественно-языковую формулировку в краткую схему и обратно.
- Используют таблицу истинности для анализа связи двух простых высказываний.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему предложенная формулировка является или не является отрицанием.
- Распределяют роли при выполнении задания на интерактивной доске.
- Задают вопросы «Что является условием?» и «Какой контрпример опровергает утверждение?».
- Аргументируют ответ полным предложением, не ограничиваясь словами «да» или «нет».
- Корректно принимают замечания и договариваются о едином варианте ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с примерами: «Все квадраты имеют четыре стороны», «Некоторые числа делятся на 3», «Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10».
- Создать или открыть в ЭОР интерактивное упражнение на установление соответствий: утверждение — отрицание; условие — следствие.
- Подготовить электронный тест из пяти заданий с автоматической проверкой и итоговым процентом выполнения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить цветные карточки «истинно», «ложно», «нужен контрпример» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: «Отрицание “все” — “существует хотя бы один, который не”; отрицание “некоторые” — “ни один”; условие — после “если”, следствие — после “то”».
- Подготовить рабочий лист с полями: «утверждение», «отрицание», «условие», «следствие», «контрпример».
- Проверить проектор, ноутбук, доступ к ЭОР и возможность выполнить задания с телефонами или планшетами; при отсутствии устройств подготовить экранный режим.
- Разделить задания на обязательный базовый и повышенный уровень, чтобы ученик мог выбрать сложность после выполнения минимума.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую проблему точности математического высказывания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два сообщения: «Все птицы умеют летать» и «Некоторые птицы не умеют летать». Учитель говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не с длинными вычислениями, а с точностью мысли. Посмотрите на экран и решите, могут ли оба высказывания быть истинными одновременно. Не спешите соглашаться: нам понадобится конкретный пример." | Читают два высказывания, индивидуально определяют их связь и предполагают: «Они не могут быть истинными одновременно» или «Достаточно найти птицу, которая не летает». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте молча 30 секунд, затем обсудите с соседом и подготовьте одно объяснение. Важно не только назвать ответ, но и объяснить, какое слово изменяет смысл высказывания." После обсуждения принимает 2–3 ответа и фиксирует на доске слова «все», «некоторые», «не». | Формулируют объяснение в парах, приводят примеры: «пингвин», «страус», «курица». Называют слова, которые меняют смысл утверждения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно маленькое слово может изменить истинность всего высказывания. Сейчас выясним, как строить такое изменение по правилу, а не угадывать его по смыслу."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: вспомнить понятия утверждения и истинности, обнаружить типичные ошибки в отрицании.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран четыре фразы: «7 — простое число», «Закройте тетрадь», «Некоторые числа отрицательны», «Какой сегодня день?». Учитель говорит: "Какие из фраз являются утверждениями? Можно ли для каждой из них однозначно установить, истинна она или ложна? Обсудите ответ с соседом." | Выделяют утверждения: «7 — простое число» и «Некоторые числа отрицательны». Объясняют: «У утверждения можно установить истинность или ложность; вопрос и просьба утверждениями не являются». |
2 мин | Учитель предлагает карточки «истинно» и «ложно»: "Покажите карточку и обязательно назовите основание. Первое: “10 делится на 3”. Второе: “Квадрат имеет четыре стороны”. Третье: “Существует число, которое больше 100 и меньше 101”." | Поднимают карточки и объясняют: «Ложно», «истинно», «ложно в целых числах». Уточняют, что область рассматриваемых объектов важна для рассуждения. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную пару: «Все ученики выполнили задание» — «Все ученики не выполнили задание». Реплика: "Почему второе предложение не является точным отрицанием первого? Что может произойти, если часть учеников выполнила задание, а часть нет?" | Находят ошибку: «Отрицание не означает, что все сделали наоборот». Формулируют: «Достаточно, чтобы хотя бы один ученик не выполнил задание». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что утверждение имеет истинность, и увидели главную трудность: отрицание “все” нельзя строить заменой на “все не”. Теперь поставим цель — вывести точные правила и применить их к условным высказываниям."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске утверждение: «Если число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0». Затем спрашивает: "Как отрицать всё условное утверждение? Достаточно ли сказать: “Если число не делится на 10, то оно не оканчивается цифрой 0”? Проверьте на числе 12." | Проверяют пример и отвечают: «12 не делится на 10 и не оканчивается на 0, значит, пример не показывает ошибку». Предполагают, что отрицание условного утверждения требует отдельного правила. |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать план: "Что нам нужно узнать, чтобы решить проблему? Выберите из предложенных пунктов два или три: научиться отрицать утверждения; выделять условие и следствие; находить контрпример; решать уравнения." | Выбирают первые три пункта, записывают цель урока: «Научиться отрицать утверждения и проверять условные высказывания с помощью контрпримера». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов: сначала выведем правила отрицания, затем разберём конструкцию “если — то”, а после этого проверим себя на практических заданиях и в ЭОР."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести правила отрицания и смысл условного утверждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт рабочий лист и говорит: "Работаем в парах. Заполните две строки: утверждение “Все натуральные числа больше 0” и утверждение “Некоторые числа делятся на 5”. Сначала запишите отрицание так, чтобы оно было истинным, затем проверьте его на конкретных числах. Не переписывайте правило вслепую — выведите его из примеров." Учитель показывает на экране числа 0, 3, 10, 12, 25. | В парах записывают: «Существует натуральное число, которое не больше 0» либо уточняют область чисел; «Ни одно число не делится на 5» как отрицание второго утверждения. Проверяют формулировки на числах 10 и 25, исправляют ошибку: «Некоторые» отрицается словами «ни один» или «ни одного». |
3 мин | Учитель обобщает ответы на доске: "Запишите памятку. Отрицание “все объекты обладают свойством” — “существует хотя бы один объект, который этим свойством не обладает”. Отрицание “существует хотя бы один объект со свойством” — “ни один объект свойством не обладает”." Учитель просит привести по одному собственному примеру. | Записывают правило, предлагают примеры: «Все деревья имеют листья» — «Существует дерево без листьев»; «Некоторые числа нечётные» — «Ни одно число не является нечётным». Обсуждают, корректна ли область объектов. |
3 мин | Учитель демонстрирует схему условного высказывания: «Если A, то B». Реплика: "В условном утверждении часть после слова “если” называется условием, а часть после “то” — следствием. Проверяем утверждение не перебором всех предложений, а ищем случай A истинно, а B ложно. Только такая пара опровергает условное утверждение. Рассмотрим: “Если число делится на 4, то оно чётное”. Найдите условие, следствие и попробуйте опровергнуть." | Выделяют условие «число делится на 4» и следствие «число чётное». Проверяют числа 4, 8, 12 и формулируют: «Контрпример найти нельзя, утверждение истинно в рассматриваемой области». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Отрицание утверждения “Все A обладают свойством B”: “Существует хотя бы один A, который не обладает свойством B”. Отрицание утверждения “Некоторые A обладают свойством B”: “Ни один A не обладает свойством B”. В утверждении “Если A, то B” A — условие, B — следствие. Для опровержения достаточно случая A истинно, B ложно».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два правила отрицания и критерий контрпримера. Теперь проверим, умеем ли применять их не только к готовым примерам, но и к утверждениям из электронного задания."
Этап 5. Первичное закрепление в ЭОР (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание отрицаний, условия, следствия и контрпримеров с немедленной обратной связью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель открывает на экране ЭОР с упражнением на соответствия и говорит: "В первом задании соедините исходное утверждение с его отрицанием. Внимательно смотрите на слова “все”, “некоторые”, “ни один”. После отправки ответа прочитайте пояснение к каждой ошибке." | На устройствах или в тетрадях выполняют соответствия: «Все числа положительны» — «Существует число, которое не является положительным»; «Некоторые треугольники равносторонние» — «Ни один треугольник не является равносторонним». |
3 мин | Учитель запускает второе упражнение: "Теперь для каждого условного утверждения перетащите карточки “условие” и “следствие”. Для утверждения “Если фигура является квадратом, то у неё четыре равные стороны” назовите обе части до отправки ответа." | Выделяют условие «фигура является квадратом», следствие «у неё четыре равные стороны». Получают автоматическую проверку, обсуждают в парах расхождения. |
2 мин | Учитель предлагает мини-проверку: "Выберите контрпример к утверждению “Если число делится на 3, то оно делится на 6”: 9, 12 или 18. Объясните выбор полным предложением." | Выбирают 9 и формулируют: «Число 9 делится на 3, но не делится на 6; поэтому оно является контрпримером». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Электронная проверка показала, где правило уже работает уверенно, а где мы пока ориентируемся на звучание фразы. Перейдём к самостоятельной работе: там каждый проверит себя без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение правил и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт базовые карточки: "Выполните четыре задания самостоятельно. 1) Запишите отрицание: “Все простые числа нечётные”. 2) Запишите отрицание: “Некоторые треугольники прямоугольные”. 3) В утверждении “Если число оканчивается на 5, то оно делится на 5” выделите условие и следствие. 4) Найдите контрпример к утверждению “Если число делится на 2, то оно делится на 4”. После обязательных заданий желающие берут карточку повышенного уровня." | Индивидуально записывают ответы. Для задания 1 формулируют: «Существует простое число, которое не является нечётным»; для задания 2: «Ни один треугольник не является прямоугольным»; в задании 3 выделяют условие и следствие; в задании 4 выбирают 6 или 10 и объясняют выбор. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только итог, но и форму ответа. В отрицании “все” должны появиться слова “существует хотя бы один”, а в контрпримере первое условие должно выполняться, второе — нарушаться." | Сверяют решения с эталоном, подчёркивают место ошибки и исправляют его другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если верно выполнили 4 задания, жёлтую — если нужна коррекция одного ответа, красную — если правило пока не применяете самостоятельно. Красная карточка — это не оценка личности, а сигнал для следующего шага." | Показывают карточку, фиксируют результат в листе самооценки: «Я умею отрицать утверждение», «Я умею находить условие и следствие», «Я умею строить контрпример». |
Эталон решения
1) «Все простые числа нечётные» — отрицание: «Существует простое число, которое не является нечётным». Пример такого числа: $2$. 2) «Некоторые треугольники прямоугольные» — отрицание: «Ни один треугольник не является прямоугольным». 3) В утверждении «Если число оканчивается на 5, то оно делится на 5» условие: «число оканчивается на 5», следствие: «число делится на 5». 4) Для утверждения «Если число делится на 2, то оно делится на 4» контрпример $6$: $6$ делится на $2$, но $6$ не делится на $4$. Следовательно, условное утверждение ложно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы проверили индивидуальное умение: отрицание строится по смыслу квантора, а контрпример должен одновременно выполнить условие и нарушить следствие. Осталось связать новое правило с уже известными способами рассуждения и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Рефлексия, обобщение и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы рассуждения, оценить достижение цели и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному примеру и говорит: "Вернёмся к вопросу урока. Как отрицать утверждение “Если число делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0”? Сформулируйте ответ осторожно: нужно сказать, что существует число, которое удовлетворяет условию, но не удовлетворяет следствию." | Формулируют: «Отрицание — существует число, которое делится на 10, но не оканчивается цифрой 0». Затем замечают, что такое число невозможно, поэтому исходное утверждение истинно в натуральных числах. |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте на два вопроса: что является контрпримером к утверждению “Если число делится на 5, то оно чётное”? Как отрицать фразу “Некоторые числа отрицательны”?" | Записывают контрпример $5$: оно делится на 5, но нечётно; отрицание: «Ни одно число не является отрицательным» — как логическая форма указанного утверждения в заданной области. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Если обязательный выполнен без ошибок, можно добавить средний или продвинутый. Важно записывать не только ответ, но и короткое обоснование: правило или контрпример." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, отмечают в дневнике необходимость принести рабочий лист или выполнить электронную форму. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 4 обязательных задания самостоятельной работы, корректно записаны оба отрицания, выделены условие и следствие, контрпример сопровождается объяснением.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна неточность в формулировке отрицания или объяснении контрпримера, исправленная после самопроверки.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, ученик различает условие и следствие с помощью образца, но допускает ошибки в отрицании или выборе контрпримера.
- Ниже базового уровня — ученик не различает утверждение и его отрицание либо выбирает контрпример, не проверяя выполнение условия; требуется индивидуальная коррекция по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как изменить утверждение «Все объекты обладают свойством», чтобы получить его отрицание? | Проверка понимания правила отрицания квантора «все». |
Как определить условие и следствие в конструкции «если ..., то ...»? | Выявление освоения структуры условного утверждения. |
Какие два требования должен выполнять контрпример? | Проверка понимания логического критерия опровержения. |
Какое задание оказалось самым трудным и почему? | Выявление субъективной точки затруднения для планирования коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились не просто говорить “не так”, а строить точное логическое отрицание. Мы выяснили, что отрицание слова “все” связано с существованием хотя бы одного исключения, а условное утверждение опровергается случаем, когда условие выполнено, а следствие нет. Типичная ошибка — выбирать пример, который не выполняет само условие, поэтому всегда проверяйте обе части. На следующем уроке мы продолжим работать с логическими связками и применим их к задачам на вероятность и обработке данных. До следующего занятия сохраните свои исправления: они покажут, как менялось ваше понимание."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий: составить отрицания двух утверждений со словами «все» и «некоторые», выделить условие и следствие в двух условных утверждениях, найти один контрпример к ложному условному утверждению. | Закрепляет основные алгоритмы; при проверке смотреть на точность слов «существует», «ни один», «если», «то» и на проверку обеих частей контрпримером. |
Средний (повышающий) | Составить 3 собственных условных утверждения из повседневной или учебной ситуации, определить их истинность и для одного ложного утверждения привести контрпример. | Развивает применение и анализ; при проверке учитывать ясность условия, следствия и доказательность вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 4 утверждения из сообщений, рекламы или правил игры, найти среди них условные высказывания, записать их отрицания и объяснить, какие слова могут привести к двусмысленности. | Формирует критическое мышление и читательскую грамотность; при проверке оценивать корректность логического преобразования и качество аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как строится отрицание утверждения со словом “все”?»; «Что называется условием и что называется следствием?»; «Каким должен быть контрпример к утверждению “Если A, то B”?»
