Применение графиков для описания зависимостей величин и представления данных
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться по таблице строить график зависимости двух величин, определять по графику характер зависимости и извлекать из него конкретные значения.
- Сформировать представление о графике как способе наглядного представления данных и зависимости между величинами.
- Научить выбирать масштаб и обозначать оси координат, единицы измерения и точки графика.
- Развивать умение анализировать данные, формулировать выводы и аргументировать выбор способа представления информации.
- Воспитывать аккуратность при построении графиков, ответственность за достоверность представленных данных и уважение к мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность графиков для чтения и передачи информации в учебной и профессиональной деятельности.
- Проявляют интерес к анализу данных, связанному с реальными ситуациями: временем, расстоянием, температурой и расходом ресурсов.
- Развивают самостоятельность при выборе масштаба и способа представления данных.
- Понимают значение точности и честности при представлении статистической информации.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы и графика, сопоставляют разные формы представления одних данных.
- Планируют построение графика и контролируют соответствие результата исходным данным.
- Формулируют выводы по графику, используя математические термины «возрастает», «убывает», «постоянна».
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбранный масштаб.
Предметные
- Знать назначение координатных осей, масштаба, единиц измерения и точек графика.
- Уметь строить график зависимости величин по данным таблицы.
- Уметь определять по графику значения величин и промежутки возрастания, убывания или постоянства.
- Владеть способом представления набора данных в виде таблицы и графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в совместную работу и оценивают полезность графического представления данных.
- Проявляют познавательный интерес к задачам, связанным с реальными измерениями.
- Осознают необходимость аккуратности и проверки при работе с числовой информацией.
- Принимают возможность разных обоснованных вариантов масштаба.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель построения графика и составляют последовательность действий.
- Выбирают подходящий масштаб с учётом диапазона данных.
- Сверяют нанесённые точки с исходной таблицей и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Преобразуют табличные данные в графическое представление.
- Сравнивают характер изменения величин на разных участках графика.
- Устанавливают соответствие между координатами точки и значениями величин.
- Моделируют реальную зависимость с помощью графика и формулируют вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия при работе в паре и согласуют единый вариант построения.
- Объясняют партнёру выбор масштаба и расположение точек.
- Задают вопросы по непонятным этапам построения.
- Корректно сравнивают решения и аргументированно принимают замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографией спидометра, таблицей «время — расстояние» и примером правильно оформленного графика.
- Распечатать карточки с одной таблицей данных на каждого ученика и карточки для парной проверки — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с критериями: оси, масштаб, точки, подписи, вывод.
- Заранее записать на доске или вывести на экран алгоритм: определить величины; подписать оси; выбрать масштаб; нанести точки; соединить точки; сформулировать вывод.
- Подготовить цветные маркеры, линейки, карандаши и миллиметровую бумагу по одному листу на ученика.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Как по рисунку понять, как изменяется одна величина при изменении другой?»
- Подготовить таймер для работы в парах и самостоятельной работы.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска; при отсутствии проектора использовать распечатанные карточки формата А4.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, линейки и карандаша. Сегодня нам предстоит не просто построить рисунок, а научиться быстро читать данные, которые встречаются в расписаниях, прогнозах, спорте и будущей профессиональной деятельности." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
3 мин | Учитель показывает на экране таблицу: время движения автомобиля 0, 1, 2, 3, 4 минуты; пройденное расстояние 0, 2, 4, 6, 8 километров. Учитель задаёт вопрос: "Как представить эти данные так, чтобы сразу увидеть изменение расстояния? Что удобнее для сравнения — длинное описание, таблица или рисунок?" Используется приём «Проблемный вопрос». | Обсуждают вопрос в парах 30 секунд, предлагают варианты: «таблица», «график», «линия». Формулируют предположение: «по графику изменение видно быстрее». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что таблица хранит точные числа, но график помогает заметить зависимость целиком. Сейчас выясним, как построить такой график без потери информации."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о координатах, величинах и чтении таблиц.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость и говорит: "Вспомним, как устроена координатная плоскость. Как называются горизонтальная и вертикальная оси? Что записывают в начале координат? Как обозначают точку с координатами $ (x;y) $?" | Отвечают: «ось абсцисс, или ось $x$», «ось ординат, или ось $y$», «начало координат — точка $(0;0)$». Называют координаты отмеченной точки. |
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточки с таблицей: температура воздуха в 8, 12, 16 и 20 часов равна 10, 14, 18 и 16 градусов. Просит: "Определите, какая величина может быть независимой, а какая зависит от неё. Найдите наибольшее и наименьшее значение температуры." | Записывают пары значений, называют время независимой величиной, температуру зависимой; отвечают: «наибольшая температура 18 градусов в 16 часов, наименьшая — 10 градусов в 8 часов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили координаты и научились выделять величины в таблице. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы построить и прочитать график."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при выборе масштаба и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две координатные сетки и таблицу: количество страниц, прочитанных за дни 1, 2, 3, 4, 5, равно 12, 18, 25, 25, 31. Спрашивает: "Если один сантиметр обозначает одну страницу, поместятся ли данные на обычном листе? Как можно поступить?" | Оценивают диапазон данных, отвечают: «не поместятся», «нужно выбрать крупнее единицу масштаба». Формулируют затруднение: «не знаем, как выбрать удобный масштаб». |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель урока одним предложением. Затем обсудите её в паре и выберите наиболее точную формулировку." Учитель принимает формулировки и фиксирует общую цель на доске. | Индивидуально и в парах формулируют цель: «научиться строить график по таблице, выбирать масштаб и делать вывод о зависимости». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили затруднение и поставили цель. Теперь вместе выведем алгоритм, который поможет построить график для любых подходящих данных."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм построения графика и научиться описывать изменение величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: время прогулки $t$, мин: 0, 5, 10, 15, 20; расстояние $s$, км: 0, 0,4, 0,9, 1,3, 1,8. Говорит: "Определим, что откладываем по горизонтали, а что по вертикали. На каждой оси укажем название величины и единицу измерения. Посмотрите на диапазон чисел и предложите масштаб, при котором все точки будут видны." | Определяют: по оси $x$ откладывают время, по оси $y$ — расстояние. Предлагают масштаб: одна клетка по $x$ — 5 минут, одна или две клетки по $y$ — 0,2 километра. Обосновывают выбор. |
4 мин | Учитель пошагово строит график на доске: "Сначала проведём оси. Затем нанесём точки $(0;0)$, $(5;0,4)$, $(10;0,9)$, $(15;1,3)$, $(20;1,8)$. Проверим координаты каждой точки по таблице. Соединим соседние точки отрезками, потому что расстояние изменяется в течение прогулки. Обратите внимание: график должен иметь заголовок или подпись зависимости." | Строят график в тетрадях, подписывают оси «время, мин» и «расстояние, км», наносят пять точек, соединяют их. Сверяют координаты с таблицей. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы эвристической беседы: "На каком промежутке расстояние возрастает? Есть ли участок постоянства? Что означает более крутой участок? Можно ли по графику определить расстояние через 10 минут?" | Формулируют вывод: «расстояние возрастает на всём промежутке», «участка постоянства нет», «более крутой участок означает более быстрое увеличение расстояния», «через 10 минут — 0,9 км». |
Запись в тетрадях
Записать алгоритм: 1) определить величины; 2) выбрать оси и подписать единицы; 3) выбрать масштаб; 4) нанести точки по таблице; 5) соединить точки, если это соответствует смыслу данных; 6) описать изменение величин.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм построения у нас есть: от таблицы — к точкам, от точек — к графику, от графика — к выводу. Теперь применим его сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить построение графика и чтение данных в ситуации с выбором масштаба.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с данными о наполнении бака: время 0, 2, 4, 6, 8 минут; объём воды 0, 3, 6, 6, 9 литров. Инструктирует: "Выберите масштаб, постройте график и подпишите обе оси. В паре один ученик строит, второй сверяет соответствие точек таблице; затем поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, выбирают масштаб, подписывают оси и наносят точки. |
3 мин | Учитель напоминает критерии и задаёт вопросы: "Что означает горизонтальный участок между 4 и 6 минутами? Какое количество воды было в баке через 6 минут? Почему точки нужно соединить последовательно?" | Соединяют точки, отвечают: «в течение двух минут объём не менялся», «6 литров», «время изменяется последовательно, поэтому видна динамика наполнения». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: "Проверьте работу соседней пары по трём пунктам: оси и единицы, масштаб, правильность точек. Запишите две сильные стороны и одно конкретное пожелание." | Проверяют график другой пары, отмечают два достоинства и формулируют одно исправление, например: «подпишите единицы измерения по оси $y$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы построили график и увидели участок постоянства. Сейчас каждый проверит, умеет ли он выполнить весь алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить график, читать его и формулировать вывод.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: построить график зависимости температуры от времени по данным 8, 12, 16, 20 часов: 12, 15, 15, 11 градусов и ответить на два вопроса. Средний вариант: определить промежуток возрастания и убывания. Повышенный вариант: предложить жизненное объяснение постоянства температуры между 12 и 16 часами. Учитель говорит: "Выберите уровень, который позволит вам показать реальные знания. Работайте индивидуально, соблюдая алгоритм." | Выбирают уровень, строят график, отвечают на вопросы и формулируют вывод: «температура возрастает до 12 часов, остаётся постоянной до 16 часов, затем убывает». |
3 мин | Учитель показывает эталон: таблицу с координатами и правильно оформленный график. Говорит: "Сверьте сначала оси и масштаб, затем каждую точку. Ошибку не стирайте молча: отметьте её и исправьте рядом, чтобы понять причину." | Проводят самопроверку, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «умею выбрать масштаб», «умею построить точки», «умею описать изменение». |
Эталон решения
По горизонтальной оси откладываем время, по вертикальной — температуру. Наносим точки $(8;12)$, $(12;15)$, $(16;15)$, $(20;11)$. Соединяем соседние точки. От 8 до 12 часов график возрастает, от 12 до 16 часов постоянен, от 16 до 20 часов убывает. Наибольшая температура равна $15$ градусов и наблюдается в 12 и 16 часов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что график — это не набор случайных точек, а модель изменения величины. Осталось обобщить, что именно мы научились делать и где это пригодится."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Одноминутная бумага»: "За одну минуту закончите три фразы: «График помогает…», «При построении я должен…», «Мне ещё нужно потренироваться…». Затем прикрепите стикер в соответствующую колонку на доске." | Заполняют три фразы, прикрепляют стикеры, формулируют личный результат и затруднение. |
1 мин | Учитель проводит устный «Билет на выход»: "Назовите один признак правильно построенного графика и объясните, что означает горизонтальный участок." | Отвечают: «подписаны оси и единицы, выбран масштаб, нанесены точки»; «величина не изменяется при изменении независимой величины». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или добавьте более сложный. В любом варианте обязательно подписывайте оси, единицы и формулируйте вывод по графику." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились превращать таблицу в график и читать по нему зависимость величин. Проверьте дома не только точность точек, но и смысл получившейся линии."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены величины, подписаны обе оси и единицы измерения, выбран разумный масштаб, нанесены все точки, график аккуратно оформлен, даны верные выводы о возрастании, убывании или постоянстве.
- «4» — график построен в целом верно, но допущена одна неточность в масштабе, подписи или формулировке вывода, не повлиявшая на основную зависимость.
- «3» — выполнена основная часть построения, но имеются две-три ошибки в нанесении точек, выборе масштаба или чтении графика; зависимость определена частично.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о графике как способе представления данных? | Выявление осознания назначения графика и предметного результата. |
Как вы выбирали масштаб по оси $y$? | Проверка понимания связи масштаба с диапазоном данных. |
Какое действие алгоритма оказалось самым сложным? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Что означает возрастающий, убывающий и горизонтальный участок графика? | Проверка понимания описания зависимости, а не только техники построения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы увидели, что один и тот же набор данных можно представить таблицей и графиком, но график быстрее показывает характер изменения. Самая частая ошибка — забыть подписать единицы измерения или выбрать масштаб, при котором точки невозможно сравнить. Дома потренируйтесь внимательно читать не только сами точки, но и участки графика. На следующем уроке мы продолжим анализировать зависимости и будем использовать графики для решения практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить 2 графика по таблицам реального контекста: «время — расстояние» и «время — температура», в каждой таблице по 5–6 пар значений. Подписать оси, единицы и сделать по одному выводу. | Закрепляет алгоритм построения; при проверке смотреть на масштаб, координаты точек и содержательные выводы. |
Средний (повышающий) | Построить график по данным о расходе воды или электроэнергии за 6 последовательных дней и описать не менее трёх участков: возрастание, убывание или постоянство. | Развивает умение анализировать реальные данные и связывать форму графика с изменением величины. |
Продвинутый (дополнительный) | Собрать небольшой набор из 7–8 собственных измерений или наблюдений, представить его таблицей и графиком, сравнить два возможных масштаба и обосновать, какой информативнее. | Формирует исследовательские навыки, самостоятельность и критическое отношение к способу представления данных. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая величина откладывается по оси $x$?», «Зачем подписывать единицы измерения?», «Что показывает горизонтальный участок графика?», «Какие этапы входят в алгоритм построения графика?»
