Медиана числового набора
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться находить медиану упорядоченного числового набора с нечётным и чётным количеством значений и применять её для анализа реальных данных.
- Сформировать представление о медиане как о значении, делящем упорядоченный набор данных на две равные по количеству части.
- Научить упорядочивать числовой набор и находить медиану при нечётном и чётном количестве чисел.
- Развивать умение сравнивать среднее арифметическое и медиану, анализировать влияние необычно больших или малых значений.
- Воспитывать аккуратность при работе с данными, готовность аргументировать решение и уважать разные способы рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению статистических характеристик в повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают значение точной и честной интерпретации числовых данных при принятии решений.
- Развивают самостоятельность, уверенность в высказывании гипотез и готовность корректировать ошибочное решение.
- Понимают ценность сотрудничества и уважительного обсуждения различных способов нахождения медианы.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из числовых наборов, упорядочивать данные и представлять ход рассуждения.
- Планируют последовательность действий при нахождении медианы и проверяют результат.
- Сравнивают медиану и среднее арифметическое, выявляя влияние крайних значений.
- Участвуют в обсуждении, формулируют выводы и аргументируют выбор способа решения.
- Используют таблицу или электронную форму для упорядочивания небольшого набора данных.
Предметные
- Знать определение медианы числового набора.
- Уметь располагать числа в порядке возрастания и находить медиану набора с нечётным количеством элементов.
- Уметь находить медиану набора с чётным количеством элементов как среднее арифметическое двух центральных значений.
- Уметь применять медиану для характеристики набора данных и объяснять полученный результат.
- Уметь обнаруживать типичные ошибки: поиск медианы в неупорядоченном наборе и выбор одного центрального числа при чётном количестве элементов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения медианы через связь с анализом оценок, времени, цен и других данных.
- Проявляют ответственное отношение к достоверности статистических выводов.
- Оценивают собственную готовность применять новый алгоритм в практической ситуации.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения при условии его обоснования.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм нахождения медианы и соблюдают его последовательность.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по памятке.
- Находят и исправляют ошибки в решении, сравнивая его с эталоном.
- Оценивают уровень освоения понятия с помощью листа самооценки и светофора.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак медианы — центральное положение в упорядоченном наборе.
- Классифицируют наборы по чётности и нечётности количества элементов.
- Устанавливают связь между медианой и средним арифметическим двух центральных значений.
- Анализируют влияние выброса на разные статистические характеристики.
- Моделируют данные на числовой прямой и в таблице.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы и гипотезы по проблемной ситуации.
- Работают в парах, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументируют, почему выбранное число является или не является медианой.
- Слушают возражения, уточняют формулировки и приходят к общему выводу.
- Представляют решение классу кратко и последовательно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя наборами данных: 3, 5, 6, 8, 20 и 3, 5, 6, 8, 20, 100.
- Распечатать карточки с наборами данных трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею упорядочивать набор», «Я нахожу медиану при нечётном и чётном количестве значений», «Я могу объяснить результат».
- Распечатать мини-эталоны для самопроверки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: 1) упорядочить числа; 2) определить количество элементов; 3) найти центральное значение или два центральных; 4) записать ответ.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использование встроенного калькулятора только на этапе проверки среднего арифметического.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации наборов данных и числовой прямой.
- Разделить задания для самостоятельной работы на обязательный, базовый и повышенный уровни.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость новой статистической характеристики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь, ручка, линейка и карточка на парте. Сегодня мы будем не просто считать, а учиться кратко описывать целый набор чисел. Это умение используют аналитики, врачи, экономисты и специалисты по данным. Запишите дату и тему урока: “Медиана числового набора”.» | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока в тетради. |
3 мин | Учитель показывает на доске данные о времени выполнения задания пяти учениками: 12, 13, 14, 15, 40 минут. «Представьте, что нужно назвать типичное время работы класса. Какое число вы бы выбрали и почему? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь формулировкой. Обратите внимание: одно значение заметно отличается от остальных. Всегда ли среднее арифметическое удачно описывает такую ситуацию?» | Индивидуально выбирают подходящее число, обсуждают в парах, предлагают варианты: «14 или 15 минут, потому что рядом с ними находятся остальные значения»; «Среднее может увеличиться из-за 40 минут». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что для описания набора иногда важно найти не среднее арифметическое, а центральное значение. Сейчас выясним, как такое значение определяется строго и одинаково для всех».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать умения упорядочивать числа, находить среднее арифметическое и определять количество элементов набора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На экране записан набор: 8, 3, 11, 5, 3. Что значит расположить числа в порядке возрастания? Выполните это в тетради. Затем подчеркните число, которое окажется посередине полученной записи.» Учитель просит объяснить, почему два одинаковых значения не нужно удалять. | Записывают: 3, 3, 5, 8, 11; подчёркивают 5; объясняют: «Одинаковые значения являются отдельными элементами набора, поэтому их нужно учитывать». |
2 мин | «Рассчитайте среднее арифметическое этого набора. Назовите формулу словами, без записи формулы.» Учитель фиксирует на доске: сумма значений, делённая на их количество. | Вычисляют: $(8+3+11+5+3):5=6$. Формулируют: «Нужно сложить все числа и разделить сумму на количество чисел». |
2 мин | Учитель предлагает набор 4, 9, 2, 7. «Упорядочьте числа. Сколько элементов в наборе? Что происходит с центральным положением, если чисел четыре, а не пять? Пока не называйте окончательное правило, запишите свою гипотезу.» | Записывают: 2, 4, 7, 9; называют количество элементов — 4; замечают: «Одного числа ровно посередине нет, между 4 и 7 находятся два центральных значения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем упорядочивать данные и определять их количество. Возникло затруднение: при нечётном количестве элементов центральное значение одно, а при чётном — два. Постараемся сегодня вывести общее правило».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два набора: А: 2, 4, 6, 8, 10; Б: 2, 4, 6, 8. «В наборе А легко указать центральное число. А как честно разделить набор Б на левую и правую части? Можно ли назвать медианой только 4 или только 6? Обоснуйте позицию.» | Обсуждают в парах, формулируют затруднение: «В наборе Б два центральных числа, поэтому одного из них недостаточно; нужно использовать оба». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие действия нам понадобятся? Я буду фиксировать ваши предложения на доске.» Учитель помогает получить план: упорядочить, определить число элементов, найти одно или два центральных значения, сформулировать правило и потренироваться. | Формулируют цель: «Научиться находить медиану числового набора». Предлагают план действий и записывают его в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена, план есть. Теперь не получаем правило в готовом виде, а открываем его на конкретных наборах и проверяем, работает ли оно в разных случаях».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение медианы и алгоритм её нахождения для наборов с нечётным и чётным количеством элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Рассмотрим набор времени поездки до школы: 12, 18, 15, 20, 14 минут. Сначала упорядочим его: 12, 14, 15, 18, 20. Сколько значений слева от 15? Сколько справа? Какое число делит набор на две равные по количеству части?» Учитель обводит 15 и вводит термин: «Это медиана числового набора». | Упорядочивают набор, отвечают: «Слева два значения и справа два значения; 15 находится в центре». Записывают определение: «Медиана — это число, которое делит упорядоченный числовой набор на две равные по количеству части». |
4 мин | «Теперь рассмотрим набор цен на пять одинаковых товаров: 120, 90, 150, 100, 80. Выполним алгоритм вслух: сначала упорядочиваем, затем определяем количество элементов, затем выбираем центральное значение. Какова медиана?» Учитель демонстрирует запись: 80, 90, 100, 120, 150; медиана — 100. | Упорядочивают данные: 80, 90, 100, 120, 150; называют медиану 100 и объясняют: «Два значения меньше 100 и два значения больше 100». |
3 мин | «Рассмотрим набор из четырёх значений: 6, 2, 10, 4. После упорядочивания получим 2, 4, 6, 10. Между какими числами проходит середина? Поскольку центральных значений два, медианой будет их среднее арифметическое. Запишем: $\frac{4+6}{2}=5$. Почему нельзя выбрать только 4 или только 6?» | Указывают два центральных значения 4 и 6, вычисляют медиану 5, объясняют: «Каждое из них одинаково близко к середине набора, поэтому учитываются оба». |
Запись в тетрадях
«Медиана числового набора — это число, которое делит упорядоченный набор на две равные по количеству части. Алгоритм: 1) расположить числа в порядке возрастания; 2) определить количество элементов; 3) при нечётном количестве взять одно центральное значение; 4) при чётном количестве найти среднее арифметическое двух центральных значений.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли правило для двух случаев. Главное условие — сначала упорядочить набор. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения медианы через проговаривание действий и взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Работаем в парах по приёму “Подумай — обсуди в паре — поделись”. На карточке два набора: 7, 3, 9, 5, 1 и 4, 8, 2, 10. Первый ученик упорядочивает набор, второй контролирует порядок и количество элементов. Затем поменяйтесь ролями.» | Распределяют роли, упорядочивают первый набор как 1, 3, 5, 7, 9 и второй как 2, 4, 8, 10; называют центральное значение 5 и два центральных значения 4 и 8. |
3 мин | «Теперь найдите медиану каждого набора и запишите объяснение одной фразой. Для второго набора обязательно укажите вычисление среднего двух центральных значений. После этого сравните ответы с соседней парой.» Учитель наблюдает и задаёт уточняющие вопросы: «На каком шаге вы определили, что центральных значений два?» | Записывают: медиана первого набора — 5; медиана второго набора — $\frac{4+8}{2}=6$. Объясняют решение соседней паре и исправляют найденные неточности. |
2 мин | Учитель выводит на экран ошибочное решение: «Медиана набора 3, 100, 5, 7, 9 равна 100, потому что это среднее записанное число». «Найдите ошибку и составьте корректное объяснение.» | Указывают ошибку: «Набор не упорядочен». Записывают правильный порядок 3, 5, 7, 9, 100 и называют медиану 7. |
Эталон решения
Для набора 3, 100, 5, 7, 9: 1) упорядочиваем числа: 3, 5, 7, 9, 100; 2) количество элементов равно 5, оно нечётное; 3) центральное значение — 7; 4) медиана равна 7. Число 100 не является медианой, потому что положение элемента в исходной записи не имеет значения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили главное условие алгоритма и увидели типичную ошибку. Теперь каждый самостоятельно решит задания, а затем сравнит решение с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и умение применять медиану в практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Выберите уровень по готовности: обязательный минимум, базовый или повышенный. Минимум выполняют все; дополнительные задания можно взять после него. Работайте самостоятельно, решение записывайте полностью: порядок чисел, количество элементов, центральное значение или вычисление двух центральных.» | Выбирают уровень, получают карточку и знакомятся с критериями выполнения. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. «Минимум: найдите медиану наборов 6, 2, 9, 4, 8 и 11, 7, 5, 9. Базовый: определите медиану чисел 18, 12, 20, 15, 11, 14 и объясните, почему она лучше среднего арифметического описывает типичное значение, если одно наблюдение заменить на 100. Повышенный уровень: сравните медианы наборов 4, 5, 6, 7, 8 и 4, 5, 6, 7, 80.» | Решают задания в тетради. Для минимума получают медианы 6 и 8; для базового упорядочивают 11, 12, 14, 15, 18, 20 и находят медиану $\frac{14+15}{2}=14{,}5$; для повышенного сравнивают медианы 6 и 6 и делают вывод о слабом влиянии крайнего значения. |
3 мин | «На экране появляется эталон. Проверьте не только ответы, но и каждый шаг. Ошибку обозначьте знаком “?” и исправьте другим цветом. Если решение совпало, поставьте рядом отметку “+”. Затем покажите цветом светофора уровень уверенности: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужен разбор.» | Сверяют порядок чисел, число элементов и вычисления с эталоном; исправляют ошибки; показывают цвет светофора и формулируют вопрос при затруднении. |
Эталон решения
Для набора 18, 12, 20, 15, 11, 14: упорядочиваем числа: 11, 12, 14, 15, 18, 20. Центральные значения — 14 и 15. Медиана: $\frac{14+15}{2}=14{,}5$. Если заменить 20 на 100, упорядоченный набор станет 11, 12, 14, 15, 18, 100, а медиана останется $14{,}5$. Поэтому медиана в этой ситуации устойчивее к крайнему значению, чем среднее арифметическое.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к разным данным. Особенно важно, что медиана иногда почти не меняется при появлении необычно большого значения. Осталось связать новое понятие с общей системой статистических характеристик».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы нахождения медианы, осмыслить практическое значение понятия и определить уровень личного продвижения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Составим на доске сравнительную схему. Среднее арифметическое использует все значения и может сильно измениться из-за выброса. Медиана требует упорядочивания и показывает середину по количеству. В каких ситуациях для описания типичного значения вы выберете медиану? Приведите один жизненный пример.» | Заполняют схему и приводят примеры: «цены на квартиры», «время ожидания транспорта», «доходы группы людей», «результаты соревнований с одним необычным результатом». |
2 мин | «Заполните лист самооценки. Закончите фразы: “Сегодня я понял…”, “Моя типичная ошибка…”, “Чтобы найти медиану, я сначала…”. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку и при желании объясните выбор.» | Заполняют лист самооценки, формулируют выводы: «Сначала нужно упорядочить набор»; «При чётном количестве берутся два центральных числа»; показывают цвет понимания. |
1 мин | «Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: найдите медиану набора 5, 1, 9, 3, 7, 11 и назовите два обязательных шага алгоритма. Это будет вашим билетом на выход.» | Записывают порядок 1, 3, 5, 7, 9, 11, вычисляют медиану $\frac{5+7}{2}=6$ и называют шаги: упорядочить набор, определить два центральных значения и найти их среднее. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не только узнали определение медианы, но и вывели алгоритм её нахождения, проверили его на данных и увидели практическое преимущество при наличии выбросов. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить этот алгоритм человеку, который впервые встретил слово “медиана”».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все обязательные задания, в каждом наборе выполнено упорядочивание, правильно определено центральное значение или вычислено среднее двух центральных значений, объяснение записано последовательно.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка при правильном понимании алгоритма; порядок действий в основном соблюдён.
- «3» — правильно решено не менее половины обязательных заданий, но допущена ошибка в определении центральных значений или пропущено обоснование одного ответа.
- «2» — не выполнено большинство обязательных заданий либо медиана систематически находится без предварительного упорядочивания набора.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обязательно нужно сделать перед поиском медианы? | Выявление понимания ключевого условия алгоритма — упорядочивания набора. |
Как найти медиану, если количество элементов чётное? | Проверка осознания необходимости использовать два центральных значения. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекционной работы. |
В какой жизненной ситуации медиана может быть полезнее среднего арифметического? | Проверка переноса знания в практический контекст и понимания влияния выбросов. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить медиану числового набора и поняли, почему сначала необходимо расположить данные по возрастанию. Запомните типичную ошибку: число, записанное в середине исходного набора, не обязательно является медианой. При чётном количестве элементов нужно использовать оба центральных значения и найти их среднее арифметическое. На следующем уроке мы продолжим анализировать наборы данных и сравним разные статистические характеристики в более сложных практических ситуациях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 набора данных: два набора с нечётным и два с чётным количеством элементов; для каждого записать упорядоченный ряд, выделить центральное значение или два центральных значения и вычислить медиану. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на обязательное упорядочивание и правильный выбор центральных элементов. |
Средний (повышающий) | Составить два набора по 6–8 чисел, найти их медианы и средние арифметические, затем добавить к каждому набору одно очень большое значение и сравнить, как изменились обе характеристики. | Формирует умение анализировать влияние выбросов и объяснять различие между медианой и средним арифметическим. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести небольшой опрос пяти–семи человек о времени выполнения выбранного повседневного действия, записать данные, найти медиану и среднее арифметическое, сделать вывод о том, какая характеристика лучше описывает типичное значение. | Развивает статистическое мышление и умение применять понятие медианы к реальным данным; при проверке оценить корректность сбора, упорядочивания и интерпретации данных. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют медианой числового набора? Почему нельзя искать её в неупорядоченной записи? Что делают, если элементов чётное количество? Чем медиана может отличаться от среднего арифметического при наличии очень большого значения?»
