Введение в теорию графов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся объяснят понятия «граф», «вершина», «ребро», «петля», «степень вершины», «изолированная вершина», представят реальную ситуацию в виде графа и по изображению определят количество вершин, рёбер и степени вершин.
- Сформировать первоначальное представление о графе как математической модели связей между объектами.
- Научить выделять вершины и рёбра на схемах метро, маршрутов и отношений между объектами.
- Научить определять степень вершины, учитывать петлю при подсчёте степени и распознавать изолированную вершину.
- Развивать умение объяснять способ решения, работать в паре, проверять результат и корректно относиться к ошибкам одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическому описанию реальных связей и маршрутов.
- Понимают ценность математического языка как средства познания окружающего мира.
- Проявляют готовность к исследованию, обсуждению гипотез и самостоятельному выбору модели.
- Признают право на ошибку и используют ошибку как источник уточнения способа решения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки графа и формулируют определения его элементов.
- Выбирают граф как способ представления информации о связях между объектами.
- Читают и преобразуют информацию, представленную в виде карты, схемы и графа.
- Формулируют выводы по результатам подсчёта вершин, рёбер и степеней.
- Осуществляют самопроверку и аргументированно комментируют решение.
Предметные
- Знать определения графа, вершины, ребра, петли, степени вершины и изолированной вершины.
- Уметь находить вершины и рёбра на изображении графа.
- Уметь определять степень вершины и учитывать, что петля увеличивает степень вершины на 2.
- Уметь подсчитывать количество вершин и рёбер в несложном графе.
- Владеть способом моделирования реальной ситуации с помощью графа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения графов для описания маршрутов, сетей и отношений.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе ситуации для собственной модели.
- Сохраняют доброжелательное отношение к однокласснику при обсуждении ошибки.
- Оценивают собственную готовность применять новые понятия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы после предъявления проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: выделить объекты, обозначить вершины, соединить связанные объекты, проверить граф.
- Контролируют правильность подсчёта вершин, рёбер и степеней.
- Исправляют решение после сопоставления с эталоном.
- Оценивают уровень понимания с помощью цветовой самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают карту города и схему метро, выделяя точки и линии как общие элементы.
- Классифицируют вершины по степени, выделяют изолированные вершины.
- Моделируют реальные отношения с помощью графической схемы.
- Используют правило суммы степеней для проверки результата.
- Формулируют определения на основе наблюдения и примеров.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположение о возможности пройти по мостам и обосновывают его.
- Работают в парах, задают уточняющие вопросы и дополняют ответ партнёра.
- Объясняют ход подсчёта вершин, рёбер и степеней.
- Согласовывают ответ группы и корректно реагируют на разные мнения.
- Участвуют в обсуждении, используя математические термины.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить изображение карты Кёнигсберга с рекой и семью мостами для демонстрации проблемной ситуации.
- Подготовить слайд со схемой метро, на которой хорошо видны станции и соединяющие их линии.
- Подготовить слайд с графом дружбы класса, графом с петлёй и графом с изолированной вершиной.
- Распечатать карточки с двумя графами и таблицами для подсчёта вершин, рёбер и изолированных вершин — по одной на парту.
- Распечатать четыре карточки для игры «Волшебная баночка» — по одной на каждое задание.
- Подготовить небольшую коробку или банку с именами учащихся для выбора выступающих.
- Вывести на доску или слайд определения: «вершина», «ребро», «петля», «степень вершины», «изолированная вершина».
- Подготовить слайд с правилом: «Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер».
- Подготовить цветные карточки или условные обозначения для самооценки: зелёный, жёлтый, красный.
- Проверить проектор, интерактивную доску и заранее открыть интерактивные задания по теме графов.
Ход урока
Этап 1. Организационный этап и мотивация (3 мин)
Цель этапа: проверить готовность класса и создать положительный настрой на исследование математической проблемы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка и материал для записи должны лежать перед вами. Поднимите руку, если всё на месте. Сегодня нам понадобится не только точность вычислений, но и умение замечать связи между объектами." | Проверяют наличие тетради, ручки и раздаточного материала, поднимают руку, если готовы к работе. |
2 мин | Учитель показывает изображение Кёнигсберга и говорит: "Сегодня мы мысленно отправимся в прошлое. Великий математик Леонард Эйлер рассматривал город, реку и мосты не только как части карты, но и как систему связей. Улыбнитесь соседу и пожелайте друг другу удачи: сегодня каждый сможет предложить свою гипотезу и проверить её." | Рассматривают изображение, приветствуют друг друга, формулируют готовность к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы готовы исследовать задачу. Сейчас посмотрим, какая проблема много лет не давала покоя жителям Кёнигсберга."
Этап 2. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: вызвать познавательное затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает карту Кёнигсберга и говорит: "Перед нами город с рекой и семью мостами. Жители хотели понять: можно ли пройти по всем мостам так, чтобы каждый мост был пройден ровно один раз и затем можно было вернуться в начало пути? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите предположение с соседом. После этого поднимите руку: кто считает, что это возможно, а кто — что невозможно?" | Рассматривают карту, самостоятельно формулируют гипотезу, обсуждают её в парах и поднимают руку, выбирая вариант «можно» или «нельзя». |
2 мин | Учитель продолжает: "Одного рисунка карты недостаточно, чтобы быстро проверить все варианты. Эйлер заменил части города точками, а мосты — линиями. Как можно назвать такой математический инструмент? Сегодня мы узнаем ответ и научимся строить подобные модели. Запишите дату и тему: «Введение в теорию графов»." | Предлагают варианты: «схема», «сеть», «граф». Записывают дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что жизненную ситуацию можно преобразовать в математическую модель. Теперь выясним, из каких элементов состоит такая модель."
Этап 3. Актуализация знаний и межпредметная связь (5 мин)
Цель этапа: связать новое понятие с уже знакомыми картами и схемами и выделить общие элементы разных способов представления информации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран схему метро и обращается к классу: "Посмотрите на изображение. Что перед вами? Какие объекты обозначены точками? Что обозначают линии? Сравните эту схему с картой Кёнигсберга: что у них общего?" | Отвечают: «Это схема метро», «точки обозначают станции», «линии показывают пути». Формулируют общее: «есть точки и соединяющие их линии». |
3 мин | Учитель показывает схему и вводит термин: "В математике схему, состоящую из точек и соединяющих их линий, называют графом. Точки — это вершины, а линии, соединяющие вершины, — рёбра. Найдите на схеме две вершины и одно ребро. Объясните, что в реальной ситуации они обозначают." | Показывают на схеме станции-вершины и путь-ребро, объясняют: «вершина — станция, ребро — соединение между станциями». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили связь между картографией, транспортом и математикой: реальные объекты можно представить вершинами, а связи между ними — рёбрами. Теперь построим граф и добавим новые элементы."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования (9 мин)
Цель этапа: через построение моделей сформировать понятия вершины, ребра, петли, степени вершины и изолированной вершины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Построим граф дружбы класса. Пусть я — вершина А, а три ученика — вершины Б, В и Г. Если между двумя людьми есть связь «дружат», проведём ребро. Посмотрите, как из описания ситуации получается рисунок: сначала выбираем объекты, затем обозначаем их точками, после этого соединяем связанные объекты." | Наблюдают за построением модели, называют объекты и связи, зарисовывают вершины А, Б, В, Г и несколько рёбер в тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает петлю и спрашивает: "Представьте, что вершина должна быть соединена сама с собой. Как изобразить такую связь? Посмотрите на экран: ребро начинается и заканчивается в одной вершине. Такое ребро называется петлёй." | Предполагают: «нарисовать круг или дугу около точки». Записывают название «петля» и зарисовывают её. |
2 мин | Учитель продолжает: "Посчитаем, сколько рёбер подходит к вершине Б. Это число называется степенью вершины. Важно: петля считается дважды, потому что она один раз выходит из вершины и один раз возвращается в неё. Поэтому петля увеличивает степень вершины на 2." | Считают рёбра у выбранной вершины, проговаривают степень и отмечают двойной вклад петли. |
2 мин | Учитель выводит правило: "Для проверки подсчёта используем важное свойство: сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер. Если в графе 5 рёбер, сумма степеней должна быть равна $2 \cdot 5 = 10$. Запишите это правило." | Записывают правило в тетрадь, проверяют на простом изображённом графе сумму степеней и число рёбер. |
Запись в тетрадях
Граф — это модель, состоящая из вершин и рёбер. Вершины изображают объекты, рёбра — связи между объектами. Степень вершины — количество рёбер, выходящих из вершины. Петля увеличивает степень вершины на 2. Изолированная вершина — вершина степени 0. Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились переводить описание ситуации в граф и познакомились с его основными элементами. Сейчас проверим, умеем ли мы находить их на готовых рисунках."
Этап 5. Первичная проверка понимания (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание вершин, рёбер, степеней и изолированных вершин на изображениях графов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя графами и говорит: "Работаем индивидуально 2 минуты, затем сверяем ответы в паре. Для каждого графа посчитайте вершины и рёбра и внесите числа в таблицу. Не угадывайте по внешнему виду — отмечайте каждую точку и каждую линию." | Подсчитывают элементы двух графов, записывают результаты в таблицу, затем сравнивают ответы с партнёром. |
2 мин | Учитель показывает три рисунка и задаёт вопрос: "На каком рисунке изображён граф из пяти вершин, две из которых имеют степень 3, а три другие — степень 2? Объясните, какие степени вы проверяли и почему выбрали именно этот рисунок." | Считают степени вершин на трёх рисунках, выбирают рисунок 2 и объясняют: «только здесь две вершины степени 3 и три вершины степени 2». |
2 мин | Учитель показывает граф с точкой, из которой не выходит ни одной линии: "Как назвать такую вершину? Проверьте определение по степени. Если степень равна нулю, вершина называется изолированной. Отметьте её в карточке." | Находят вершину без рёбер, формулируют: «это изолированная вершина, её степень равна 0», записывают определение. |
Эталон решения
Алгоритм проверки: 1) отметить и пересчитать все вершины; 2) пересчитать рёбра; 3) для каждой вершины определить степень; 4) проверить, что сумма степеней равна удвоенному числу рёбер; 5) найти вершины степени 0. Например, если в графе 9 вершин и 18 рёбер, сумма степеней должна быть $2 \cdot 18 = 36$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились проверять граф не по впечатлению, а по чётким признакам и подсчётам. Теперь применим эти знания в игровой ситуации и объясним решение словами."
Этап 6. Первичное закрепление. Игра «Волшебная баночка» (7 мин)
Цель этапа: закрепить умение объяснять решение и сотрудничать при проверке ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает баночку и объясняет: "Внутри имена участников. Я достаю карточку, ученик выходит к доске и объясняет решение одного задания по графу. Остальные не просто ждут ответа: вы проверяете подсчёты и готовите дополнение. После ответа я спрошу: «Кто согласен? Кто заметил другой способ проверки?" | Слушают правила, готовят тетради и карточки для проверки. |
5 мин | Учитель по очереди достаёт имена и предлагает задания: "Посчитайте вершины и рёбра графа"; "Определите степени вершин"; "Найдите изолированную вершину"; "Проверьте результат по правилу суммы степеней". После каждого ответа говорит: "Объясните не только число, но и способ подсчёта. Класс, проверьте ответ по рисунку." | Выбранные ученики выходят к доске, считают элементы, называют степени и объясняют ход решения. Остальные сверяют ответ, поднимают руку, формулируют дополнения или исправления. |
1 мин | Учитель подводит обратную связь: "Ошибка в подсчёте — это сигнал вернуться к определению. Проверьте: не пропустили ли вы вершину, не посчитали ли ребро дважды, учли ли петлю два раза?" | Сверяют решение с определениями, исправляют неточности в тетрадях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы можете не только увидеть граф, но и доказать, почему ваш ответ верен. Осталось проверить, сможете ли вы самостоятельно построить модель реальной ситуации."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма работы с графом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите одну ситуацию: схема маршрутов между пятью остановками или граф дружбы пяти персонажей. Нарисуйте не менее пяти вершин, подпишите их, проведите рёбра по условию и определите степень каждой вершины. Не забудьте проверить, есть ли изолированная вершина." | Индивидуально выбирают ситуацию, строят граф из пяти и более вершин, подписывают вершины, проводят рёбра и записывают степени. |
2 мин | Учитель выводит критерии самопроверки: "Поставьте галочку, если в модели есть не менее пяти подписанных вершин, каждое ребро понятно, степени посчитаны, а изолированная вершина определена верно. Соседу можно задать один уточняющий вопрос, но решение исправляйте самостоятельно." | Проверяют граф по четырём критериям, задают партнёру уточняющий вопрос, исправляют обнаруженную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы построили собственные математические модели и проверили их по критериям. Завершим урок рефлексией: назовём главное открытие и определим, что ещё требует тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: обобщить содержание урока, организовать самооценку и объяснить самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что нового мы узнали? Какие объекты стали вершинами, а какие — рёбрами? Что происходит со степенью при наличии петли? Где в жизни пригодится граф?" Затем говорит: "Нарисуйте на полях зелёный, жёлтый или красный смайлик: зелёный — всё понятно, жёлтый — есть отдельные трудности, красный — нужна помощь." | Отвечают: «граф, вершины, рёбра, петля, степень, изолированная вершина»; приводят примеры метро и маршрутов; рисуют выбранный смайлик и кратко отмечают трудность. |
2 мин | Учитель объясняет: "Домашняя работа будет связана с моделированием. Выберите один из вариантов: граф реальных связей или граф-сказку. Важно не просто нарисовать красивую схему, а подписать вершины, объяснить рёбра и посчитать степени. Запишите выбранный уровень и контрольные вопросы." | Записывают домашнее задание, выбирают вариант, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — построен корректный граф не менее чем из пяти вершин, все вершины подписаны, рёбра соответствуют условию, правильно определены степени вершин и изолированные вершины, решение объяснено математически грамотно.
- «4» — модель построена верно, но допущена одна неточность в подписи, подсчёте степени или объяснении, исправленная после проверки.
- «3» — изображён граф не менее чем из пяти вершин, но допущены две существенные ошибки в подсчёте или интерпретации рёбер; общий способ построения понятен.
- Ниже «3» — граф не соответствует условию, содержит менее пяти вершин или отсутствуют подписи и подсчёт степеней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали сегодня о графах? | Выявление осознания ключевых понятий урока. |
Как определить степень вершины и как учитывать петлю? | Проверка понимания алгоритма подсчёта. |
Какая часть работы оказалась самой сложной: построение модели, подсчёт или объяснение? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
Где можно использовать графы вне урока математики? | Проверка межпредметного и практического применения знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что граф — это не просто рисунок из точек и линий, а математическая модель связей между объектами. Мы научились находить вершины, рёбра, петли, определять степени и распознавать изолированные вершины. Помните о типичной ошибке: петля увеличивает степень вершины на 2, а не на 1. Дома вы создадите собственную модель, а на следующем уроке продолжим исследовать свойства графов и способы их применения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить граф реальной ситуации минимум из 5 вершин: схема маршрутов, сеть знакомых или связи между объектами. Подписать вершины, объяснить рёбра и определить степень каждой вершины. | Закрепляет понятия вершины, ребра и степени; при проверке смотреть на соответствие модели выбранной ситуации и правильность подсчётов. |
Средний (повышающий) | Построить два разных графа одной ситуации: с изолированной вершиной и без неё. Для каждого указать количество вершин, рёбер, степени вершин и проверить правило суммы степеней. | Развивает сравнение моделей и самопроверку; при проверке обратить внимание на корректное определение изолированной вершины. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать граф-сказку минимум из 7 вершин, добавить одну петлю, описать смысл всех вершин и рёбер, вычислить сумму степеней и сравнить её с удвоенным числом рёбер. | Развивает творческое моделирование и применение свойства суммы степеней; при проверке отдельно учитывать петлю дважды. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют графом? Чем вершина отличается от ребра? Как определяется степень вершины? Почему петля учитывается дважды? Как распознать изолированную вершину?»
