Графы: вершины и рёбра
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать графы, различать вершины и рёбра, строить простейшие графы по описанию связей и проверять правильность построения.
- Сформировать представление о графе как модели объектов и связей между ними; научиться обозначать вершины точками, а рёбра линиями и составлять граф по условию.
- Развивать умение анализировать информацию, выделять объекты и связи, переводить текстовую ситуацию в графическую модель и находить ошибки в готовых схемах.
- Формировать навыки сотрудничества: обсуждать варианты построения, аргументировать выбор и корректно оценивать решение одноклассника.
- Показать практическое значение графов для транспорта, социальных сетей, компьютерных сетей и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическим моделям, описывающим реальные связи между объектами.
- Осознают ценность точности и проверки при построении схем и принятии решений.
- Проявляют готовность уважать разные способы представления одной и той же ситуации.
- Связывают изучение графов с применением в навигации, программировании, логистике и анализе социальных связей.
Метапредметные
- Выделяют из текста объекты и отношения между ними, представляют информацию в виде графа.
- Сравнивают графы, находят сходства и различия, выявляют лишние или пропущенные связи.
- Планируют последовательность построения модели и осуществляют самопроверку по условию.
- Формулируют вопросы, объясняют решение и используют математическую речь при обсуждении в паре или группе.
Предметные
- Знать определения понятий «граф», «вершина», «ребро».
- Уметь определять число вершин и рёбер несложного графа.
- Уметь строить граф по заданному перечню объектов и связей между ними.
- Уметь находить ошибку в графе и объяснять, какое условие нарушено.
- Владеть способом чтения графа: устанавливать, какие вершины соединены ребром.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения графов как способа упорядочить и объяснить связи в реальной ситуации.
- Проявляют познавательную инициативу при выборе способа изображения графа.
- Оценивают собственную готовность применять новые понятия.
- Соблюдают нормы сотрудничества и уважительно относятся к иному решению.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы после выявления затруднения.
- Планируют построение графа: выделяют вершины, затем устанавливают рёбра.
- Контролируют соответствие схемы условию задачи.
- Находят и исправляют ошибки после сравнения с эталоном.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию в текстовом описании связей.
- Классифицируют элементы модели на вершины и рёбра.
- Строят знаково-символическую модель ситуации.
- Анализируют готовый граф и делают выводы о наличии связей.
- Преобразуют словесное описание в графическое и обратно.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре с распределением ролей «чтец условия» и «проектировщик графа».
- Задают уточняющие вопросы о смысле связи между объектами.
- Аргументируют, почему выбранный элемент является вершиной или ребром.
- Согласуют общий вариант схемы и корректно дают обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями карты метро, социальной сети, компьютерной сети и простейших графов.
- Вывести на доску памятку: «Вершины — объекты; рёбра — связи между объектами».
- Распечатать карточки с тремя уровнями заданий: по одной карточке на каждого ученика и по одному комплекту на группу.
- Подготовить листы формата А4, цветные маркеры и стикеры двух цветов: один цвет для вершин, другой для рёбер.
- Подготовить карточки для задания «Найди ошибку» с двумя графами на парту.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я нахожу вершины», «Я нахожу рёбра», «Я строю граф по условию».
- Подготовить эталонные графы для показа на доске или экране.
- Оборудовать рабочее место проектором или интерактивной доской; проверить возможность рисовать линии и подписывать вершины.
- Разложить на доске или столах магниты с названиями пяти объектов: «Школа», «Библиотека», «Парк», «Музей», «Стадион».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость графов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка должны лежать перед вами. Сегодня нам предстоит не просто рисовать схемы, а научиться видеть связи между объектами." | Проверяют готовность, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране изображение карты метро и социальной сети: "Посмотрите на эти два изображения. Что общего у карты метро и списка друзей в социальной сети? Какие объекты здесь показаны, а какие линии или соединения что-то обозначают? Назовите как можно больше примеров." Учитель фиксирует ответы на доске приёмом «Мозговой штурм». | Рассматривают изображения, предлагают ответы: "Есть станции и переходы", "Есть люди и связи между ними", "Точки показывают объекты, линии — соединения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете замечать объекты и связи между ними. Сегодня мы узнаем математический язык, который позволяет записывать такие отношения точно и компактно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умение читать схемы и описывать отношения между объектами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель прикрепляет на доску карточки «Аня», «Борис», «Вика», «Глеб» и соединяет некоторые пары линиями: "Прочитайте эту схему. Что можно сказать о связи Ани и Бориса? А о Вике и Глебе? Как определить, соединены ли два объекта?" | Рассматривают схему, отвечают: "Аня и Борис связаны линией, значит, между ними есть отношение", "Вика и Глеб не соединены". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала за 30 секунд самостоятельно запишите, что обязательно нужно указать, чтобы другой человек восстановил схему. Затем обсудите ответ с соседом. После этого две-три пары поделятся формулировками." | Записывают идеи, обсуждают в парах и формулируют: "Нужно назвать объекты и указать, какие пары соединены". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что для описания схемы нужно отделить сами объекты от отношений между ними. Сейчас проверим, как это сделать математическими терминами."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «В кружке пять учеников: Аня, Борис, Вика, Глеб и Даша. Аня дружит с Борисом и Викой, Борис — с Глебом, Вика — с Дашей. Изобразите эту информацию так, чтобы схема была понятна другому человеку». Учитель не вводит термины заранее. | Читают условие и пытаются построить схему, используют точки, подписи и линии. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что оказалось трудным? Нужно ли одинаково изображать объект и связь? Как проверить, что мы ничего не забыли? Сформулируйте, чему нам нужно научиться сегодня." | Называют затруднения: "Непонятно, что считать точкой", "можно забыть связь", "нужны правила». Формулируют цель: "Научиться строить и читать графы, различать вершины и рёбра". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно научиться превращать описание связей в точную схему. Для этого откроем два основных понятия урока — вершину и ребро."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятия графа, вершины и ребра через исследование модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель строит на доске схему из пяти точек с подписями А, Б, В, Г, Д и соединяет их линиями: "Перед вами граф. Граф — это модель, состоящая из вершин и рёбер. Вершины изображают объекты, а рёбра показывают связи между ними. Посмотрите на схему: сколько объектов и сколько связей я изобразил?" | Считают элементы, отвечают: "Пять вершин и пять рёбер"; показывают каждую вершину и каждое ребро. |
3 мин | Учитель показывает три изображения: «города и дороги», «компьютеры и кабели», «ученики и дружеские связи»: "В каждом случае назовите вершины и рёбра. Обратите внимание: смысл вершины зависит от задачи, а правило чтения остаётся тем же." | Заполняют устно таблицу: в первом примере вершины — города, рёбра — дороги; во втором вершины — компьютеры, рёбра — кабели; в третьем вершины — ученики, рёбра — связи дружбы. |
4 мин | Учитель организует работу в парах: "Возьмите условие о пяти учениках. Сначала отметьте пять вершин, затем проведите только названные в условии рёбра. Подпишите объекты. После построения обменяйтесь карточками с соседней парой и проверьте граф по каждому предложению условия." | Строят граф, проверяют количество вершин и связей. Объясняют: "Аня соединена с Борисом и Викой; Борис — с Глебом; Вика — с Дашей". Исправляют пропуски или лишние линии. |
Запись в тетрадях
- Граф — это модель объектов и связей между ними.
- Вершины графа изображают объекты и обозначаются точками или кружками.
- Рёбра графа изображают связи между вершинами и обозначаются линиями.
- Чтобы построить граф по тексту, нужно выделить объекты, обозначить их вершинами и провести рёбра согласно условию.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть алгоритм: сначала ищем объекты, затем связи, после этого проверяем каждую связь по исходному тексту. Применим этот алгоритм к новым ситуациям и убедимся, что умеем читать граф."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение графа и различение вершин и рёбер.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает граф с шестью подписанными вершинами и семью рёбрами: "Работаем по алгоритму. Сначала назовите все вершины, затем посчитайте рёбра, потом перечислите пары соединённых вершин. Не считайте одну линию дважды." | Называют вершины, считают рёбра, записывают пары соединённых вершин. |
2 мин | Учитель проводит приём «Найди ошибку»: показывает граф с четырьмя вершинами, хотя в условии указано пять объектов, и с одной лишней связью. "В условии сказано: Парк соединён с Музеем, Музей — со Стадионом, Стадион — со Школой. Библиотека не соединена ни с одним объектом. Найдите две ошибки на рисунке." | Находят пропущенную вершину «Библиотека» и лишнее ребро, объясняют: "Вершин должно быть пять, а лишнюю связь нельзя проводить, потому что она не названа в условии". |
2 мин | Учитель предлагает два вопроса: "Может ли граф иметь вершину без рёбер? Обязательно ли граф должен быть нарисован именно так, как на образце? Обоснуйте ответ." | Отвечают: "Да, вершина может быть изолированной"; "нет, расположение точек может быть другим, если сохранены вершины и связи". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились не только считать элементы графа, но и проверять смысл каждой линии. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение строить и анализировать граф.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: «Постройте граф для четырёх городов: А, Б, В, Г. Дороги соединяют А с Б, А с В и В с Г. Назовите число вершин и рёбер». Повышенный вариант: «В графе пять вершин. Перечислены связи А–Б, А–В, Б–Г, В–Г, Г–Д. Постройте граф и назовите вершины, соединённые с Г». Продвинутый вариант: «Придумайте реальную ситуацию с пятью объектами и не менее шестью связями, представьте её графом и запишите описание». | Самостоятельно выполняют выбранный вариант, подписывают вершины и проверяют каждое ребро по условию. |
3 мин | Учитель показывает эталон базового и повышенного вариантов: "Проверьте сначала число вершин, затем список связей. Ошибку исправляйте другим цветом. Если решение совпало, поставьте рядом знак плюс; если есть ошибка, запишите, какое условие нарушено." | Сверяют граф с эталоном, исправляют ошибки, оценивают себя по критериям. |
Эталон решения
Для базового варианта: 1) обозначить четыре вершины А, Б, В, Г; 2) провести ребро А–Б; 3) провести ребро А–В; 4) провести ребро В–Г; 5) проверить, что других рёбер нет. Ответ: 4 вершины и 3 ребра. Для повышенного варианта с вершиной Г соединены Б, В и Д, поэтому у Г три соседние вершины.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что граф строится не по внешнему сходству с образцом, а по точному списку объектов и связей. Осталось связать новое понятие с реальными задачами и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ построения графа, оценить достижение цели и определить дальнейшие затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает мини-кейс: "Представьте, что вы проектируете маршрут школьного автобуса. Есть остановки Школа, Парк, Библиотека и Спортзал. Автобус едет между Школой и Парком, Парком и Библиотекой, Библиотекой и Спортзалом. Как граф поможет диспетчеру?" | Строят граф из четырёх вершин и трёх рёбер, объясняют: "По графу видно, между какими остановками можно ехать". |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете построить граф по тексту; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если пока не различаете вершину и ребро. Назовите причину выбранного цвета." | Показывают карточки, формулируют затруднения: "Нужно потренироваться считать рёбра", "уверенно нахожу вершины". |
2 мин | Учитель просит заполнить билет на выход: "Ответьте письменно на три вопроса: что такое вершина; что такое ребро; какие два шага вы выполняете первыми при построении графа?" | Заполняют билет: "Вершина — объект; ребро — связь; сначала выделяю объекты, затем связи". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за точками объекты, а за линиями — связи. На следующем уроке будем исследовать свойства графов и использовать их для решения более сложных задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выделены все объекты, построены все заданные рёбра без лишних связей, указано число вершин и рёбер; объяснение выполнено самостоятельно и последовательно.
- «4» — граф в целом построен верно, но допущена одна неточность в подписи или подсчёте, исправленная после самопроверки.
- «3» — правильно выделена большая часть вершин и рёбер, но допущены две ошибки или требуется помощь при проверке соответствия графа условию.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое вершина и что такое ребро? | Проверка осознания ключевых понятий урока. |
Какие действия нужно выполнить, чтобы построить граф по тексту? | Выявление понимания алгоритма моделирования. |
Какую ошибку в построении графа вы сегодня научились находить? | Выявление умения контролировать соответствие модели условию. |
Где в жизни или будущей профессии можно использовать графы? | Связь учебного материала с практической мотивацией и профессиональными интересами. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать графами объекты и связи между ними. Важно не путать вершины, которые обозначают сами объекты, с рёбрами, которые показывают отношения между ними. Типичная ошибка — провести линию, которой нет в условии, или забыть изолированную вершину. На следующем уроке мы продолжим исследовать графы и узнаем, какие выводы можно делать по их структуре."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на построение графа по текстовому описанию: в каждом выделить вершины, провести рёбра и указать их количество. | Закрепить различение вершин и рёбер; при проверке обратить внимание на отсутствие пропущенных и лишних связей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на чтение готового графа: определить число вершин и рёбер, перечислить пары соединённых вершин, найти вершину без связей или вершину с наибольшим числом связей. | Развить анализ графической модели и точность математической речи. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать граф реальной ситуации по выбору: схема маршрутов, сеть знакомых, соединение устройств или связи между пунктами. Использовать не менее 6 вершин, дать письменное описание всех рёбер и сформулировать два вывода по графу. | Развить самостоятельное моделирование, креативность и применение графов в функциональном контексте. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначают вершины графа? Что обозначают рёбра? Как проверить, что построенный граф соответствует условию? Может ли вершина не иметь ни одного ребра?»
