Пересечение, объединение множеств и событий. Противоположные события. Формула сложения вероятностей
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать пересечение, объединение и противоположные события, изображать их с помощью диаграмм Эйлера — Венна и применять формулу сложения вероятностей при решении не менее трёх задач.
- Сформировать понимание обозначений $A\cap B$, $A\cup B$ и $\overline{A}$, а также связи между событиями и соответствующими множествами исходов.
- Научить выбирать формулу вычисления вероятности объединения событий в зависимости от того, являются события несовместными или совместными.
- Развивать умение анализировать условие вероятностной задачи, строить математическую модель и аргументировать выбор способа решения.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому обоснованию выводов и готовность проверять правдоподобие полученного результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение вероятностных моделей для анализа неопределённости в науке, экономике и повседневных решениях.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию взаимосвязи между событиями и множествами исходов.
- Формируют привычку обосновывать математическое утверждение, а не ограничиваться интуитивным ответом.
- Осознают личную ответственность за самопроверку решения и корректность интерпретации вероятности.
Метапредметные
- Преобразуют текстовое условие задачи в модель из событий, множеств и операций над ними.
- Сопоставляют диаграмму Эйлера — Венна, словесное описание события и формулу его вероятности.
- Планируют решение, контролируют промежуточные вычисления и оценивают реалистичность результата.
- Аргументированно участвуют в обсуждении, формулируют вопросы и используют математическую терминологию.
Предметные
- Знать определения пересечения, объединения и противоположного события.
- Уметь записывать события с помощью обозначений $A\cap B$, $A\cup B$, $\overline{A}$ и изображать их на диаграмме Эйлера — Венна.
- Знать формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ для совместных событий.
- Уметь применять формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ для несовместных событий.
- Уметь находить вероятность противоположного события по формуле $P(\overline{A})=1-P(A)$ и объяснять результат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный познавательный интерес к применению вероятностных методов в будущей профессиональной деятельности.
- Осознают смысл изучения формулы сложения вероятностей как инструмента принятия решений при нескольких условиях.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа представления решения.
- Оценивают собственную готовность применять новые обозначения и формулы.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют последовательность действий при решении задачи на объединение событий.
- Проверяют, не превышает ли найденная вероятность единицу и соответствует ли ответ условию.
- Исправляют ошибки после сопоставления решения с эталоном и объясняют причину коррекции.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные в вероятностном условии и переводят их в язык событий.
- Классифицируют события как совместные или несовместные.
- Строят и читают диаграммы Эйлера — Венна.
- Устанавливают причинно-следственную связь между двойным учётом пересечения и вычитанием $P(A\cap B)$.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезы в парах и формулируют общий вывод.
- Используют определения и формулы для аргументации ответа.
- Задают уточняющие вопросы о совместимости событий.
- Корректно сопоставляют разные решения и предлагают обоснованное улучшение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с обозначениями $A$, $B$, $A\cap B$, $A\cup B$, $\overline{A}$ и тремя пустыми диаграммами Эйлера — Венна.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту с ситуациями о результатах экзамена, погоде и выборе кружков.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные круги для выделения пересечения и объединения множеств.
- Вывести на экран таблицу «Словесное описание — обозначение — диаграмма — формула».
- Подготовить лист самооценки с пунктами «распознаю», «обозначаю», «выбираю формулу», «проверяю ответ».
- Организовать на доске место для проблемной задачи и эталона решения.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование практической ситуации с несколькими событиями и создать мотивацию к изучению нового способа вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране ситуацию: «В интернет-магазине анализируют заказы. Событие $A$ — клиент выбрал доставку, событие $B$ — клиент использовал промокод. Как найти вероятность того, что произошло хотя бы одно из этих событий? Сегодня нам важно не просто получить число, а понять, как не посчитать один и тот же заказ дважды». | Читают условие, выделяют события «выбрал доставку» и «использовал промокод», предполагают: «Нужно сложить вероятности, но заказ с двумя признаками может посчитаться дважды». |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: «Что означает выражение “произошло событие $A$ или событие $B$”? Всегда ли достаточно сложить $P(A)$ и $P(B)$? Как изобразить ситуацию, чтобы увидеть возможный двойной учёт? Запишите короткую гипотезу в тетради». | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её с соседом 30 секунд. Формулируют варианты: «Нужно учесть общую часть событий»; «Если события не могут произойти одновременно, складывать можно без поправки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что слова “и” и “или” задают разные операции над событиями, а совместное наступление событий может привести к двойному счёту. Теперь восстановим необходимые понятия и найдём точное математическое описание проблемы».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия события, исхода, вероятности и операции над множествами, необходимые для открытия формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: «Вспомним базовую модель. Что называют элементарным исходом? Что такое событие? Как связаны событие и множество исходов? Назовите свойства вероятности, которыми мы будем пользоваться». Учитель фиксирует на доске ответы $0\leq P(A)\leq1$ и $P(\Omega)=1$. | Отвечают: «Элементарный исход — один возможный результат опыта»; «Событие — множество исходов, при которых происходит интересующий результат»; «Вероятность лежит от нуля до единицы». |
2 мин | Учитель показывает два круга на доске: «Что обозначает общая часть кругов? Что означает вся область, занятая хотя бы одним кругом? Давайте свяжем рисунок со словами “и” и “или”». | Называют общую часть пересечением, записывают $A\cap B$ и связывают её со словом «и». Всю область двух кругов называют объединением и записывают $A\cup B$. |
2 мин | Учитель предлагает карточку с утверждениями: «События “выпало чётное число” и “выпало число 3” совместны или несовместны? События “выпало число больше 2” и “выпало число меньше 5” совместны или несовместны?» | Отмечают ответы: первая пара несовместна, потому что не может наступить одновременно; вторая пара совместна, например исходы 3 и 4 принадлежат обоим событиям. Объясняют выбор через пересечение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили язык множеств: пересечение означает одновременное выполнение условий, объединение — выполнение хотя бы одного условия. Теперь проверим, какое затруднение возникает при вычислении вероятности объединения».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить противоречие между сложением вероятностей и двойным учётом совместных исходов, сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: «При броске игральной кости событие $A$ — выпало число больше 3, событие $B$ — выпало чётное число. Найдите вероятность события $A\cup B$ двумя способами: перечислением исходов и сложением $P(A)+P(B)$». Учитель просит сначала работать без готовой формулы. | Перечисляют исходы: $A=\{4,5,6\}$, $B=\{2,4,6\}$, $A\cup B=\{2,4,5,6\}$. Получают $P(A\cup B)=4/6$, а $P(A)+P(B)=3/6+3/6=6/6$ и замечают противоречие. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какие исходы посчитались дважды? Как исправить вычисление? Какую цель поставим на урок?» Учитель фиксирует формулировку цели и план: определить операции, исследовать совместные события, вывести формулу, применить её и проверить результат. | Отвечают: «Числа 4 и 6 принадлежат обоим событиям»; «Нужно вычесть вероятность пересечения». Формулируют цель: «Научиться находить вероятность объединения совместных и несовместных событий и вероятность противоположного события». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло не в вычислении, а в неверной модели: объединение нельзя автоматически заменять суммой. Сейчас мы сами восстановим корректную формулу и установим, когда её можно упростить».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы вероятности объединения и противоположного события через диаграммы Эйлера — Венна и анализ двойного учёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель рисует два пересекающихся круга и говорит: «Обозначим левый круг событием $A$, правый — событием $B$. В объединение входят все области обоих кругов. Если мы сложим $P(A)$ и $P(B)$, общая часть $A\cap B$ будет учтена дважды. Поэтому один раз её нужно вычесть». На доске появляется формула $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. | Выделяют на рисунке область пересечения, проговаривают: «Она входит и в $A$, и в $B$, поэтому при сложении учитывается два раза». Записывают формулу в тетрадь. |
3 мин | Учитель продолжает эвристическую беседу: «Если события несовместны, что можно сказать о пересечении? Как изменится формула? Приведём пример: при броске кости $A$ — выпало 1, $B$ — выпало 6». | Формулируют: «У несовместных событий $A\cap B=\varnothing$ и $P(A\cap B)=0$». Записывают частный случай: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Для примера получают $1/6+1/6=1/3$. |
2 мин | Учитель показывает отдельную диаграмму: «Событие $A$ и его противоположное событие $\overline{A}$ вместе образуют всё пространство исходов, а пересекаться не могут. Запишите два свойства и получите формулу для $P(\overline{A})$». | Записывают $A\cup\overline{A}=\Omega$, $A\cap\overline{A}=\varnothing$. По формуле сложения получают $P(A)+P(\overline{A})=1$, затем $P(\overline{A})=1-P(A)$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить понимание: «Сформулируйте своими словами разницу между пересечением и объединением. Какие слова в условии подсказывают операции? Почему противоположное событие удобно использовать?» | Отвечают: «Пересечение — оба условия одновременно, объединение — хотя бы одно условие». Выделяют слова «и», «или», «хотя бы», «не произошло». Объясняют, что противоположное событие часто проще перечислить или вычислить. |
Запись в тетрадях
- $A\cap B$ — событие «произошли и $A$, и $B$».
- $A\cup B$ — событие «произошло $A$ или $B$, или оба события».
- Для совместных событий: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
- Для несовместных событий: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
- $\overline{A}$ — событие, противоположное $A$; $P(\overline{A})=1-P(A)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели три рабочих формулы и увидели, что выбор формулы зависит от пересечения событий. Теперь применим их сначала вместе, с проговариванием каждого шага, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание операций и алгоритм применения формулы сложения вероятностей в совместных и несовместных случаях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки и говорит: «Выполните задание “Подумай — обсуди в паре — поделись”. В первой ситуации $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Найдите $P(A\cup B)$. Во второй ситуации события несовместны, $P(A)=0{,}35$, $P(B)=0{,}25$. Найдите вероятность объединения. Запишите не только число, но и объяснение выбора формулы». | В парах записывают решения: $0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$; для несовместных событий $0{,}35+0{,}25=0{,}6$. Объясняют, почему во втором случае пересечение имеет вероятность ноль. |
2 мин | Учитель просит одну пару представить решение, а классу задаёт вопрос: «Как проверить, что ответ допустим? Что будет ошибкой?» | Представляют решение у доски, проверяют $0\leq P\leq1$. Называют ошибки: забыть вычесть пересечение, применить формулу несовместных событий к совместным, перепутать $A\cup B$ и $A\cap B$. |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание: «Пусть $P(A)=0{,}72$. Найдите вероятность противоположного события. Затем сформулируйте событие, противоположное событию “студент сдал оба зачёта”». | Вычисляют $P(\overline{A})=1-0{,}72=0{,}28$. Формулируют: «Студент не сдал хотя бы один из двух зачётов», а не только «не сдал оба», и объясняют различие. |
Эталон решения
Для совместных событий: $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$. Для несовместных событий $P(A\cap B)=0$, поэтому $P(A\cup B)=0{,}35+0{,}25=0{,}6$. Для противоположного события: $P(\overline{A})=1-0{,}72=0{,}28$. Важно различать фразы «не произошло хотя бы одно» и «не произошло ни одно»: их математические модели различны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились читать условие и выбирать формулу, но пока действовали с поддержкой. Сейчас каждый проверит себя на новых данных, где нужно самостоятельно определить вид событий и построить решение».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях базового, среднего и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и напоминает критерии: «Сначала обозначьте события, затем определите пересечение или противоположное событие, запишите формулу, выполните вычисление и сформулируйте ответ. Базовый уровень: при $P(A)=0{,}6$ и $P(B)=0{,}3$ события несовместны. Найдите $P(A\cup B)$ и $P(\overline{A})$. Средний уровень: $P(A)=0{,}55$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}15$. Найдите $P(A\cup B)$. Повышенный уровень: в группе 60% учащихся посещают математический кружок, 45% — физический, 20% — оба кружка. Найдите долю учащихся, посещающих хотя бы один кружок, и долю не посещающих ни один». | Индивидуально решают выбранный уровень. Записывают формулы и ответы: для базового уровня $0{,}9$ и $0{,}4$; для среднего $0{,}8$; для повышенного $0{,}6+0{,}45-0{,}2=0{,}85$, противоположная доля $0{,}15$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: «Сверьте не только итоговые числа, но и модель. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который требует уточнения, красным — ошибку. Если обнаружили ошибку, рядом запишите её причину». | Проверяют решение по шагам, исправляют ошибки и ставят отметку в листе самооценки. При необходимости задают конкретный вопрос: «Почему здесь вычитается пересечение?» |
2 мин | Учитель проводит краткий разбор типичной ошибки: «Некоторые получили для повышенного задания $1{,}05$. Почему такой результат невозможен? Покажите, какой исход был посчитан дважды». | Объясняют, что сумма $0{,}6+0{,}45$ дважды учитывает посещающих оба кружка; вероятность больше единицы невозможна. Исправляют результат вычитанием $0{,}2$. |
Эталон решения
Для задачи о кружках обозначим $A$ — посещение математического кружка, $B$ — посещение физического кружка. Тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}45-0{,}2=0{,}85$. Не посещают ни один кружок учащиеся, составляющие противоположное событие, поэтому $P(\overline{A\cup B})=1-0{,}85=0{,}15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главный шаг — не подстановка чисел, а перевод текста в события. Осталось обобщить алгоритм, проверить собственное понимание и зафиксировать, какой вопрос требует дополнительной тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели урока и определить направление дальнейшей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: «За одну минуту завершите три фразы: “Пересечение событий — это…”, “Формулу сложения вероятностей выбираю, когда…”, “Чтобы не ошибиться, я сначала…”.» | Письменно завершают фразы: «Пересечение — одновременное наступление событий»; «формулу выбираю после проверки пересечения»; «сначала обозначаю события и строю модель». |
1 мин | Учитель проводит самооценку «Светофор»: «Покажите цвет: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — понимаю формулу, но нужна тренировка, красный — пока не различаю операции. Назовите один шаг, который следует повторить». | Показывают карточку выбранного цвета и формулируют личную трудность: «Нужно ещё потренироваться различать “не произошло хотя бы одно” и “не произошло ни одного”». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и задаёт контрольные вопросы: «Как обозначить событие “произошли оба события”? Когда пересечение можно не писать в формуле? Как найти вероятность события “не произошло $A$”?» | Отвечают: «$A\cap B$»; «когда события несовместны»; «$1-P(A)$». Записывают выбранный уровень домашней работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы связали язык множеств с языком вероятностей и вывели формулу сложения через устранение двойного счёта. Вы научились различать совместные и несовместные события и использовать противоположное событие. На следующем уроке продолжим анализ вероятностных моделей и рассмотрим более сложные способы вычисления вероятностей».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, события обозначены корректно, формула выбрана обоснованно, вычисления выполнены без ошибок, ответ проверен на допустимость.
- «4» — верно решено большинство заданий, допущена одна несущественная вычислительная или оформительская ошибка, смысл пересечения и объединения понятен.
- «3» — правильно выполнено базовое задание или два отдельных шага решения, но есть ошибки в выборе формулы, обозначении противоположного события или интерпретации результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает пересечение $A\cap B$ и чем оно отличается от объединения $A\cup B$? | Проверка понимания ключевых операций и математического словаря. |
Почему в формуле сложения вероятностей вычитается $P(A\cap B)$? | Выявление понимания причины двойного учёта, а не механического запоминания формулы. |
Какое действие вы выполняете первым при решении текстовой задачи? | Диагностика сформированности алгоритма моделирования условия. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую помощь нужно получить? | Определение индивидуальных затруднений и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились рассматривать события как множества исходов и выполнять над ними операции. Главная опасность — сложить вероятности совместных событий и забыть, что их общая часть посчитана дважды. Поэтому сначала определяйте пересечение, затем выбирайте формулу и обязательно проверяйте, лежит ли ответ от нуля до единицы. На следующем уроке мы продолжим работать с вероятностными моделями и усложним задачи на описание событий».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на объединение несовместных событий, одну на объединение совместных событий с известной вероятностью пересечения и одну на противоположное событие. В каждом решении записать обозначения событий и формулу. | Закрепляет распознавание операций и базовый алгоритм; при проверке смотреть на выбор формулы и корректность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи с реальным контекстом: посещение двух кружков, результаты двух независимых по условию испытаний или выбор двух услуг. Для каждой построить краткую диаграмму и объяснить, учитываются ли события совместно. | Развивает перевод текста в математическую модель; при проверке смотреть на смысл слов «и», «или», «хотя бы» и «ни одного». |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на формулу сложения вероятностей, в которой события совместны, привести исходные данные, решить её двумя способами — по формуле и с помощью перечисления исходов или диаграммы — и сравнить результаты. | Формирует умение создавать вероятностную модель и аргументировать корректность формулы; при проверке оценивать реалистичность данных и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается пересечение событий? Как записывается объединение? Когда из суммы вероятностей нужно вычитать вероятность пересечения? Чему равна вероятность противоположного события, если $P(A)=0{,}63$?»
