Введение в теорию вероятностей. Понятие события. Виды событий
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать случайные, достоверные и невозможные события в описанных экспериментах, формулировать их исходы и обосновывать классификацию не менее чем в 4 из 5 предложенных ситуаций.
- Сформировать представление о вероятностном эксперименте, исходе опыта и событии как множестве исходов.
- Научить различать достоверные, невозможные и случайные события и приводить собственные примеры каждого вида.
- Развивать умение анализировать жизненные и математические ситуации, выделять существенные условия опыта и аргументировать вывод.
- Формировать ответственное отношение к интерпретации случайности и вероятностных утверждений в научной, бытовой и профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение вероятностного мышления для принятия обоснованных решений в условиях неопределённости.
- Проявляют интерес к исследованию случайных явлений и готовность проверять интуитивные предположения рассуждением и опытом.
- Понимают необходимость честного описания условий эксперимента при обсуждении результатов.
- Развивают самостоятельность, академическую добросовестность и готовность аргументированно отстаивать собственную позицию.
Метапредметные
- Формулируют цель исследования и планируют действия при анализе случайного эксперимента.
- Извлекают информацию из условия, таблицы результатов и краткого описания опыта.
- Сравнивают события по их обязательности и возможности наступления, выявляют основания классификации.
- Работают в паре и группе, формулируют гипотезы, приводят контрпримеры и корректируют выводы.
- Используют математический язык для точного описания событий и результатов наблюдения.
Предметные
- Знать определения случайного эксперимента, элементарного исхода и события.
- Уметь описывать множество возможных исходов простого эксперимента и выделять событие как совокупность благоприятствующих исходов.
- Уметь различать достоверное, невозможное и случайное события по условию задачи.
- Уметь приводить примеры событий разных видов для броска монеты, игральной кости и бытовых ситуаций.
- Владеть начальной вероятностной терминологией и использовать её при устном и письменном объяснении.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную значимость умения оценивать неопределённость перед принятием решения.
- Проявляют познавательную инициативу при выдвижении собственных примеров случайных событий.
- Осознают различие между субъективным ожиданием и математически обоснованным выводом.
- Соблюдают правила честного проведения учебного эксперимента и уважительно относятся к иной гипотезе.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и критерии успешного выполнения классификации событий.
- Планируют последовательность: описать опыт, назвать исходы, сформулировать событие, определить его вид.
- Проверяют правильность классификации по вопросу о возможности и обязательности наступления события.
- Обнаруживают ошибку в рассуждении, объясняют её причину и вносят коррективу.
- Оценивают собственное продвижение с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют объект исследования, условия опыта и множество возможных исходов.
- Классифицируют события по признаку обязательности наступления.
- Строят простую модель случайного эксперимента с помощью перечня исходов и схемы.
- Сравнивают экспериментальные результаты с заранее сформулированным предположением.
- Используют контрпример, чтобы доказать невозможность утверждения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные вопросы о правилах и условиях случайного эксперимента.
- Обсуждают гипотезу в паре, распределяют роли и согласуют общий вывод.
- Аргументируют классификацию события, используя слова «обязательно», «может произойти», «не может произойти».
- Слушают возражения и уточняют формулировку, если условие задачи допускает неоднозначность.
- Представляют результат групповой работы классу в краткой логичной форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с вопросом: «Можно ли заранее точно предсказать результат броска монеты?» и схемой «опыт — исходы — событие».
- Распечатать карточки для групповой классификации: по одному комплекту на каждую группу из 3–4 человек, всего 6 комплектов.
- Подготовить по одной монете на пару и по одному стандартному игральному кубику на группу; при отсутствии оборудования использовать карточки с результатами виртуальных бросков.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить три цветных карточки на каждого ученика: зелёную, жёлтую и красную для приёма «Светофор».
- Вывести на доску или экран таблицу с терминами «достоверное событие», «невозможное событие», «случайное событие» без готовых определений.
- Подготовить набор из 12 утверждений для приёма «Сортировка»: 6 математических, 3 бытовых и 3 естественно-научных.
- Разместить на доске памятку алгоритма: 1) определить опыт; 2) перечислить возможные исходы; 3) проверить событие; 4) назвать вид события.
- Подготовить таймер на 2 минуты для индивидуальной работы и на 3 минуты для обсуждения в парах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование случайности и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает монету: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём изучать язык, который помогает рассуждать о неопределённости. Посмотрите на монету: если я подброшу её, могу ли я заранее назвать результат конкретного броска? Запишите в уме свой ответ — пока не обсуждаем его." | Ученики формулируют индивидуальное предположение: «точно предсказать нельзя» или «можно угадать, но нельзя гарантировать». Готовят тетради и ручки. |
3 мин | Учитель выполняет два броска монеты и организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите ответ с соседом. Важно различить слова «угадать» и «знать заранее». Можно ли утверждать, что выпадет орёл? Можно ли утверждать, что выпадет либо орёл, либо решка?" Учитель фиксирует на доске два высказывания: «может произойти» и «обязательно произойдёт». | Ученики наблюдают за бросками, обсуждают в парах и представляют формулировки: «орёл может выпасть, но не обязан»; «одна из двух сторон выпадет обязательно, если монета приземлится корректно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что результат отдельного броска непредсказуем, но множество возможных результатов и некоторые утверждения о них можно описать точно. Сегодня выясним, как это делают в теории вероятностей."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления об эксперименте, результате и условии задачи, зафиксировать затруднение в классификации событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три ситуации: бросок игральной кости, выбор одного шара из непрозрачного мешка, прогноз погоды. "Назовите, что в каждой ситуации является действием или опытом, а что — результатом. Не называйте пока виды событий; нам нужно сначала описать сам эксперимент." | Ученики называют: «опыт — бросок кости, результат — выпавшее число»; «опыт — извлечение шара, результат — цвет шара»; «опыт — наблюдение погоды, результат — дождь или отсутствие дождя». |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку с вопросами: "Для броска кости перечислите все возможные результаты. Затем сформулируйте утверждения: выпадет чётное число; выпадет число 7; выпадет число от 1 до 6. Как вы назовёте эти утверждения?" | Ученики записывают множество исходов $\{1,2,3,4,5,6\}$ и обсуждают три утверждения. Предполагают: «чётное число может выпасть», «7 не выпадает», «число от 1 до 6 выпадает обязательно». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему в двух последних случаях мы уверенно говорим «невозможно» и «обязательно», а в первом — только «может произойти»? Какой общий признак позволит классифицировать такие утверждения?" Учитель принимает разные версии и не сообщает определения заранее. | Ученики формулируют гипотезы: «нужно сравнить событие со всеми исходами»; «важно, есть ли среди исходов подходящие результаты»; фиксируют затруднение: пока нет точных терминов и алгоритма. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем перечислять исходы и интуитивно различаем обязательное, невозможное и возможное. Теперь построим точные определения, чтобы одинаково рассуждать о любых экспериментах."
Этап 3. Постановка учебной задачи и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель и план открытия понятий через совместное обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Сформулируйте, чему нам нужно научиться, чтобы решить проблему с броском кости и затем применить способ к другим ситуациям. Начните фразу: «К концу урока я смогу…»" Учитель записывает на доске удачные формулировки и уточняет их измеримость. | Ученики предлагают: «описывать возможные исходы»; «называть событие»; «различать достоверное, невозможное и случайное событие»; «объяснять свой выбор». |
2 мин | Учитель предлагает план «Снежный ком»: "Сначала каждый выберет два главных шага, затем обсудит их в паре, после этого класс составит общий алгоритм. Подумайте, что должно идти раньше: назвать вид события или перечислить исходы." | Ученики составляют общий план: описать опыт; перечислить исходы; выделить событие; проверить, обязательно ли оно, невозможно ли или может произойти; обосновать вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы не просто запомним три названия, а научимся применять алгоритм к новым ситуациям. Перейдём к открытию понятий и проверим их на конкретных экспериментах."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: сформировать понятия случайного эксперимента, исхода, события и трёх видов событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему на доске: «эксперимент → элементарный исход → событие». "Экспериментом будем называть действие, результат которого наблюдается, но заранее не всегда известен. Отдельный возможный результат — элементарный исход. Событие — утверждение о результате опыта, которое после проведения опыта оказывается истинным или ложным. Для броска кости событие «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6." | Ученики записывают определения и соотносят элементы схемы с броском кости: опыт — бросок, исход — конкретное число, событие — условие о числе. Формулируют: «событие состоит из одного или нескольких исходов». |
3 мин | Учитель записывает на доске три определения: "Достоверное событие происходит обязательно при данных условиях. Невозможное событие не происходит ни при одном допустимом исходе. Случайное событие может произойти, но может и не произойти. Обратите внимание: вид события определяется не нашим желанием и не частотой, а условиями опыта." | Ученики в парах относят к определениям примеры: «при броске кости выпадет число от 1 до 6» — достоверное; «выпадет 9» — невозможное; «выпадет 6» — случайное. Объясняют выбор словами «все исходы», «нет подходящих исходов», «есть подходящий исход, но не единственный». |
3 мин | Учитель организует мини-исследование с монетой: "Опишите пространство исходов для одного корректного броска. Событие А: выпадет орёл. Событие B: выпадет либо орёл, либо решка. Событие C: одновременно выпадут орёл и решка. Определите вид каждого события и назовите основание." | Ученики записывают исходы «орёл, решка» и классифицируют: А — случайное, B — достоверное, C — невозможное. Один представитель пары объясняет: «А содержит один возможный исход, B содержит все возможные исходы, C не содержит ни одного». |
2 мин | Учитель предлагает уточняющий вопрос: "Может ли одно и то же утверждение быть случайным в одном опыте и невозможным в другом? Например, «выпадет число 6» для кости и для монеты. Что изменилось?" Учитель подчёркивает роль условий. | Ученики отвечают: «Да, вид события зависит от опыта. Для кости это случайное событие, для монеты — невозможное». Формулируют вывод: «нельзя классифицировать событие без описания эксперимента». |
Запись в тетрадях
- Случайный эксперимент — опыт, результат которого заранее не известен однозначно.
- Элементарный исход — один возможный результат эксперимента.
- Событие — утверждение о результате эксперимента.
- Достоверное событие происходит обязательно; невозможное событие не происходит; случайное событие может произойти или не произойти.
- Алгоритм классификации: определить опыт; перечислить исходы; выделить исходы события; проверить обязательность или невозможность.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть точный язык: опыт, исход и событие, а также три вида событий. Следующий шаг — проверить, умеем ли мы применять определения без подсказки и не подменяем ли доказательство интуицией."
Этап 5. Первичное закрепление. Приём «Сортировка событий» (7 мин)
Цель этапа: закрепить классификацию событий через групповую работу и аргументацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 3–4 человека и раздаёт карточки с утверждениями. "Распределите карточки в три столбца: достоверное, невозможное, случайное. Для каждой карточки запишите краткую причину. Работайте не по ощущению, а по списку возможных исходов. В группе назначьте читающего, секретаря и докладчика." | Ученики распределяют роли, читают условия и раскладывают карточки. Фиксируют причины: «все исходы подходят», «подходящих исходов нет», «подходят некоторые исходы». |
3 мин | Учитель предлагает карточки: «При броске кости выпадет число меньше 7»; «при броске кости выпадет число 0»; «при броске кости выпадет простое число»; «из коробки с четырьмя белыми шарами достанут белый шар»; «из коробки с красными и синими шарами достанут зелёный шар». Учитель обходит группы и задаёт вопросы: "Какие условия вы использовали? Все ли исходы перечислены? Что изменится, если в коробке появится зелёный шар?" | Ученики классифицируют: первое — достоверное; второе — невозможное; третье — случайное; четвёртое — достоверное; пятое — невозможное при указанном составе коробки. Обсуждают, что добавление зелёного шара изменит вид последнего события на случайное. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Докладчик каждой группы назовёт две карточки и обоснование. Остальные показывают зелёную карточку, если согласны, жёлтую — если нужен вопрос, красную — если нашли ошибку. Возражение обязательно сопровождайте объяснением." | Докладчики представляют решения. Остальные используют «Светофор», задают уточняющие вопросы и исправляют одну обнаруженную неточность в своих листах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Групповая сортировка показала, что решающим является не бытовое впечатление, а полный список допустимых исходов. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять этот алгоритм к новым формулировкам."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание терминов и умение обосновывать вид события.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: "Выполните задания самостоятельно. В каждом пункте сначала запишите опыт и возможные исходы, затем вид события. Время — 4 минуты. Если закончили раньше, проверьте формулировки и добавьте обоснование." | Ученики получают карточку базового, среднего или повышенного уровня, записывают дату и начинают работу индивидуально. |
4 мин | Учитель предлагает базовый вариант: 1) для броска кости определить вид событий «выпало число не больше 6», «выпало число 8», «выпало число, кратное 3»; 2) для броска монеты определить вид событий «выпал орёл», «выпала одна из сторон монеты», «выпали обе стороны одновременно». Для повышенного уровня добавляется вопрос: "Составьте собственный пример, в котором событие изменит вид после изменения условий опыта." | Ученики решают: для кости — достоверное, невозможное, случайное; для монеты — случайное, достоверное, невозможное. Выполняющие повышенное задание составляют пример, например: «достанут зелёный шар из коробки без зелёных шаров — невозможно; после добавления зелёного шара — случайно». |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску и организует самопроверку: "Проверьте не только ответы, но и доказательство. За правильную классификацию поставьте один балл, за указание исходов — второй, за ясное обоснование — третий. Ошибку не зачёркивайте полностью: подпишите, на каком шаге алгоритма она возникла." | Ученики сверяют решения с эталоном, подсчитывают баллы, отмечают шаг, на котором возникло затруднение, и формулируют вопрос учителю или соседу по парте. |
Эталон решения
Для броска игральной кости множество исходов: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Событие «выпало число не больше 6» включает все исходы, поэтому оно достоверное. Событие «выпало число 8» не включает ни одного допустимого исхода, поэтому оно невозможное. Событие «выпало число, кратное 3» включает исходы 3 и 6, но не все исходы, поэтому оно случайное. Для монеты множество исходов — «орёл» и «решка». Событие «выпал орёл» случайное, событие «выпала одна из сторон монеты» достоверное, событие «выпали обе стороны одновременно» невозможное.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка позволила увидеть, что правильный ответ состоит не только из названия вида события. Нужно показать опыт, исходы и логическое основание классификации. Осталось связать новые понятия с реальными решениями и проверить, как изменяется событие при изменении условий."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: перенести алгоритм на жизненные ситуации, осознать результат и зафиксировать дальнейшие вопросы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает три ситуации на экране: "Определите вид событий и объясните условия: завтра после 12 часов наступит ночь; при случайном выборе ученика из класса будет выбран десятиклассник; при измерении температуры воды она окажется одновременно выше 20 °C и ниже 10 °C. Не забывайте: событие нельзя обсуждать без описания опыта." | Ученики записывают и объясняют: первое — достоверное при обычном суточном цикле; второе — случайное, если выбор производится из нескольких учеников; третье — невозможное. Уточняют, что формулировка должна содержать условия измерения и выбора. |
1 мин | Учитель просит восстановить на доске алгоритм: "Назовите четыре шага, которые сегодня использовали. Какой шаг чаще всего помогает избежать ошибки?" | Ученики называют: «описать опыт, перечислить исходы, выделить событие, определить вид и обосновать». Отмечают, что наиболее важен полный список исходов и проверка условий. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "На листе ответьте на два вопроса: какое понятие стало понятнее; в каком месте вам ещё нужна проверка? Затем поднимите карточку «Светофор»: зелёная — могу классифицировать и объяснить, жёлтая — классифицирую с подсказкой, красная — пока путаю виды." | Ученики пишут краткие ответы, выбирают цвет самооценки и формулируют личный следующий шаг: повторить определения, потренироваться перечислять исходы или составить собственные примеры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились переводить неопределённые ситуации на точный язык событий. Важно помнить: случайное не означает хаотичное, а достоверное и невозможное определяются условиями опыта. Дома закрепите алгоритм и подготовьте один пример из повседневной жизни."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы не менее 5 событий из 6, для каждого указаны условия или возможные исходы, приведены логичные обоснования; дополнительный пример изменения вида события сформулирован корректно.
- «4» — верно классифицированы 4–5 событий из 6, основные определения использованы правильно, но в одном обосновании неполно перечислены исходы или недостаточно точно описаны условия.
- «3» — верно классифицированы 3 события из 6, ученик различает хотя бы два вида событий, однако допускает ошибки в обосновании или смешивает понятия исхода и события.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое событие и чем оно отличается от отдельного исхода? | Проверка осознания ключевого понятийного различия. |
Какой шаг алгоритма классификации событий помогает вам больше всего? | Выявление освоенных способов действия и регулятивных затруднений. |
Приведите пример события, которое является случайным, и объясните почему. | Проверка понимания признака случайного события и умения аргументировать. |
Как изменится вид события, если изменить условия опыта? | Проверка переноса знания и понимания зависимости классификации от условий. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы начали строить вероятностную модель: описали случайный эксперимент, его исходы и события. Вы научились отличать достоверное событие от невозможного и случайного не по интуиции, а по множеству возможных исходов. Типичная ошибка — назвать событие случайным, не проверив, входят ли в него все допустимые исходы или не входит ни один. На следующем уроке мы перейдём к численной характеристике случайного события — его вероятности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на классификацию событий для броска монеты, игральной кости, выбора предмета из набора и простой бытовой ситуации. В каждом задании указать опыт, возможные исходы, вид события и краткое обоснование. | Закрепляет определения исхода и события, а также базовый алгоритм классификации; при проверке смотреть на полноту исходов и точность обоснования. |
Средний (повышающий) | Составить и решить 4 собственных примера: один на достоверное, один на невозможное и два на случайное событие. Для двух примеров изменить условие опыта так, чтобы вид события изменился, и объяснить почему. | Развивает самостоятельное моделирование и понимание зависимости события от условий; при проверке оценивать корректность условий и логичность изменения классификации. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести мини-исследование: описать случайный эксперимент из спорта, транспорта, погоды или цифровых технологий, перечислить возможные исходы и сформулировать не менее трёх событий разных видов. Отдельно указать, какие условия нужно уточнить, чтобы описание было однозначным. | Формирует функциональную и вероятностную грамотность, умение переводить реальную ситуацию в математическую модель; при проверке смотреть на существенные условия, полноту модели и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют элементарным исходом? Как определить, что событие достоверное? Чем невозможное событие отличается от случайного? Почему вид события зависит от условий эксперимента?»
