Наибольшее и наименьшее значения, размах. Отклонения от среднего
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наибольшее и наименьшее значения числового ряда, вычислять его размах и отклонения отдельных значений от среднего арифметического, а также интерпретировать полученные показатели в реальном контексте.
- Сформировать представление о наибольшем и наименьшем значениях ряда, размахе и отклонении как характеристиках набора данных.
- Научиться применять алгоритмы вычисления размаха и отклонений от среднего арифметического при решении учебных и практико-ориентированных задач.
- Развивать умение сравнивать наборы данных, анализировать влияние отдельных значений на размах и среднее арифметическое.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации статистической информации и аргументированному представлению результатов.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к использованию статистических показателей для анализа данных из повседневной жизни и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают необходимость точных вычислений и корректной интерпретации числовой информации.
- Развивают готовность самостоятельно проверять результат и признавать вычислительную ошибку.
- Понимают, что один статистический показатель не всегда полностью описывает набор данных.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные, устанавливают связи между средним арифметическим, размахом и отклонениями.
- Планируют последовательность вычислений и осуществляют самопроверку по образцу.
- Формулируют выводы по числовым данным и аргументируют их в устной и письменной форме.
- Используют таблицы и электронные вычислительные средства для проверки результатов.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия и сопоставляют разные способы решения.
Предметные
- Знать определения наибольшего и наименьшего значений числового ряда, размаха и отклонения от среднего арифметического.
- Уметь находить наибольшее и наименьшее значения конечного числового ряда и вычислять размах по формуле $R=x_{max}-x_{min}$.
- Уметь вычислять отклонение значения $x_i$ от среднего арифметического по формуле $d_i=x_i-\overline{x}$.
- Уметь объяснять знак отклонения и проверять свойство суммы отклонений от среднего арифметического.
- Уметь сравнивать наборы данных по размаху и интерпретировать результат с учётом контекста.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения статистических характеристик для анализа результатов измерений и наблюдений.
- Проявляют познавательную инициативу при выдвижении гипотез о свойствах отклонений.
- Осознают ценность объективного анализа данных вместо субъективных оценок.
- Формируют ответственное отношение к представлению числовых результатов.
Регулятивные УУД
- Совместно формулируют цель исследования числового ряда.
- Планируют алгоритм нахождения среднего, размаха и отклонений.
- Сверяют вычисления с эталоном и находят место возможной ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Корректируют решение после обсуждения в паре.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из таблицы и преобразуют её в последовательность вычислений.
- Сравнивают два набора данных по нескольким характеристикам.
- Выявляют закономерность: сумма отклонений значений от среднего арифметического равна нулю.
- Моделируют изменение размаха при добавлении нового значения.
- Проверяют гипотезу вычислительным способом.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные ответы с использованием математической терминологии.
- Объясняют партнёру последовательность вычислений.
- Задают уточняющие вопросы о смысле знака отклонения.
- Сравнивают способы решения без перехода на оценку личности.
- Аргументированно представляют общий вывод группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя наборами данных: время выполнения задания первой группой — 8, 9, 10, 10, 13 минут; второй группой — 6, 9, 10, 11, 14 минут.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней — по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить на отдельном листе эталон вычислений для самостоятельной проверки.
- Вывести на доску или экран определения: наибольшее значение, наименьшее значение, размах, отклонение от среднего.
- Подготовить таблицу для заполнения: значение, отклонение от среднего, проверка суммы отклонений.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использование табличного редактора на этапе проверки, если это соответствует правилам класса.
- Разложить на парты стикеры двух цветов для фиксации гипотез и вопросов.
- Записать на доске формулы $R=x_{max}-x_{min}$ и $d_i=x_i-\overline{x}$, оставив место для вывода свойства суммы отклонений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость статистических характеристик.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и организует приём «Быстрый прогноз»: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а исследовать данные. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор. Посмотрите на две группы чисел на доске и пока ничего не считайте: какая группа, по вашему мнению, выступила стабильнее? Обоснуйте первое предположение одним предложением." | Записывают тему и первоначальную гипотезу: «Первая группа стабильнее, потому что значения ближе друг к другу» или «Вторая группа стабильнее, потому что средние значения могут совпасть». |
2 мин | Учитель показывает данные: «Первая группа: 8, 9, 10, 10, 13 минут. Вторая группа: 6, 9, 10, 11, 14 минут. Внешне наборы похожи, но интуиция может ошибаться. Сегодня мы выясним, какие показатели позволяют обосновать вывод. Запишите тему урока и поставьте рядом знак вопроса, если пока не знаете, как измерить стабильность данных». | Сравнивают крайние значения, называют предварительные наблюдения: «В первой группе значения от 8 до 13», «Во второй — от 6 до 14», фиксируют вопрос: «Как измерить разброс данных?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного взгляда на ряд недостаточно. Теперь восстановим знания о среднем арифметическом и числовых рядах, чтобы перейти к точному сравнению."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия числового ряда и среднего арифметического, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, как находят среднее арифметическое пяти чисел. Сначала решите самостоятельно для ряда 8, 9, 10, 10, 13, затем сравните запись с соседом. Обратите внимание: среднее арифметическое не обязательно совпадает с одним из чисел ряда." | Вычисляют $\overline{x}=\frac{8+9+10+10+13}{5}=10$, обсуждают решение в парах и формулируют алгоритм. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и фиксирует ответы: "Что называют числовым рядом? Как определить самое большое и самое маленькое значение? Что произойдёт со средним, если одно значение увеличить? Почему среднее арифметическое удобно использовать как точку сравнения?" Учитель уточняет неточные формулировки и записывает ключевые слова на доске. | Отвечают: «Числовой ряд — набор чисел, описывающих данные»; «Наибольшее значение — самое большое число, наименьшее — самое маленькое»; «Среднее изменится в сторону увеличенного значения»; предлагают примеры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Среднее арифметическое уже даёт нам центральную характеристику ряда. Но нам нужно описать ещё и его крайние значения и удалённость отдельных чисел от среднего. Сформулируем проблему урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить недостаточность среднего арифметического и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к двум наборам: "У обеих групп среднее арифметическое равно 10 минутам. Можно ли на этом основании сказать, что результаты одинаково устойчивы? Сравните крайние значения. Что именно мы хотим измерить? Запишите индивидуально два вопроса, на которые должен ответить сегодняшний урок." | Сравнивают ряды и формулируют проблему: «Средние одинаковы, но разброс различается»; записывают вопросы: «Как измерить расстояние между крайними значениями?» и «Как определить положение каждого значения относительно среднего?» |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Объединитесь сначала в пары, затем по две пары. Из ваших вопросов составьте одну цель урока. В цели должны появиться действия: найти, вычислить, сравнить, объяснить." После обсуждения учитель принимает точную формулировку и записывает её на доске. | Формулируют цель: «Научиться находить наибольшее и наименьшее значения, вычислять размах и отклонения от среднего, а затем использовать их для сравнения данных». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от наблюдения мы перейдём к измерению и объяснению. Сначала откроем определения и проверим их на знакомых данных."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения размаха и отклонения от среднего, установить их смысл и свойство суммы отклонений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует исследование: "Рассмотрим ряд 8, 9, 10, 10, 13. Наибольшее значение равно 13, наименьшее — 8. Найдите разность между ними. Эта разность называется размахом ряда. Запишите определение и формулу: $R=x_{max}-x_{min}$. Что показывает размах в контексте времени выполнения задания?" | Находят $R=13-8=5$, записывают определение: «Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда»; формулируют: «Все значения ряда расположены в интервале длиной 5 минут». |
4 мин | Учитель показывает таблицу: «Среднее ряда равно 10. Вычислим, насколько каждое значение отличается от среднего. Для 8 получаем $8-10=-2$, для 9 — $9-10=-1$, для 10 — $0$, для 10 — $0$, для 13 — $3$. Такие числа называются отклонениями от среднего. Запишите формулу $d_i=x_i-\overline{x}$. Почему некоторые отклонения отрицательны, а некоторые положительны?» | Заполняют таблицу отклонений: $-2,-1,0,0,3$; отвечают: «Отрицательное отклонение означает, что значение меньше среднего, положительное — больше среднего, нулевое — совпадает со средним». |
3 мин | Учитель задаёт исследовательский вопрос: "Сложите все полученные отклонения. Что получилось? Проверьте это свойство на другом маленьком ряде 2, 4, 6, где среднее равно 4. Сформулируйте общий вывод и объясните его через формулу среднего арифметического." | Складывают отклонения: $-2+(-1)+0+0+3=0$; проверяют для второго ряда: $-2+0+2=0$; формулируют вывод: «Сумма отклонений всех значений от среднего арифметического равна нулю». |
Запись в тетрадях
- Наибольшее значение $x_{max}$ — самое большое значение числового ряда; наименьшее значение $x_{min}$ — самое маленькое значение ряда.
- Размах: $R=x_{max}-x_{min}$; он показывает расстояние между крайними значениями.
- Отклонение значения $x_i$ от среднего: $d_i=x_i-\overline{x}$.
- Если $d_i<0$, значение меньше среднего; если $d_i>0$, значение больше среднего; если $d_i=0$, значение равно среднему.
- Сумма отклонений всех значений от среднего арифметического равна нулю.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три инструмента анализа ряда. Размах показывает ширину всего диапазона, а отклонение показывает положение конкретного значения относительно среднего. Теперь проверим алгоритм на примере и научимся проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления размаха и отклонений с проговариванием действий и интерпретацией результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку и говорит: "Решим задачу вместе, но вычисления выполняете вы. Даны результаты пяти измерений температуры в лаборатории: 18, 20, 19, 23, 20 градусов. Найдите среднее арифметическое, наибольшее и наименьшее значения, размах и отклонение каждого результата от среднего. Сначала составьте план решения из четырёх шагов." | Составляют план: 1) найти среднее; 2) определить крайние значения; 3) вычислить размах; 4) найти отклонения. Вычисляют $\overline{x}=20$, $x_{max}=23$, $x_{min}=18$, $R=5$, отклонения $-2,0,-1,3,0$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте не только числа, но и смысл знаков. Если нашли ошибку, не исправляйте молча: поставьте рядом вопрос и объясните партнёру, на каком шаге возникло затруднение. Затем проверьте сумму отклонений." | Сверяют решения, находят сумму $-2+0+(-1)+3+0=0$, формулируют исправление: «Ошибка возникла при вычитании среднего из значения 23» или подтверждают корректность решения. |
Эталон решения
1) Среднее арифметическое: $\overline{x}=\frac{18+20+19+23+20}{5}=20$. 2) Наибольшее значение $x_{max}=23$, наименьшее $x_{min}=18$. 3) Размах: $R=23-18=5$. 4) Отклонения: $18-20=-2$, $20-20=0$, $19-20=-1$, $23-20=3$, $20-20=0$. Проверка: $-2+0-1+3+0=0$. Значение 23 превышает среднее на 3 градуса, а значение 18 меньше среднего на 2 градуса.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает только тогда, когда мы не путаем размах с отклонением. Размах относится ко всему ряду, а отклонение — к одному конкретному значению. Теперь каждый самостоятельно применит алгоритм к новому набору данных."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить учащихся самостоятельно выявлять и исправлять ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: "Выберите один из трёх уровней. Базовый уровень обязателен для всех. Средний требует сравнения двух рядов, продвинутый — анализа влияния нового значения. Перед началом запишите, какой уровень выбрали, и используйте критерии: среднее, крайние значения, размах, отклонения и вывод." | Выбирают уровень, записывают номер варианта и план вычислений. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый вариант: «Для ряда 4, 6, 7, 8, 10 найдите среднее, наименьшее и наибольшее значения, размах и все отклонения». Средний вариант: «Сравните ряды А: 5, 7, 8, 10, 10 и Б: 4, 7, 8, 9, 12; найдите для каждого среднее и размах, сделайте вывод». Продвинутый вариант: «Для ряда 6, 8, 8, 9, 14 найдите среднее и размах. Затем добавьте значение 20 и определите, как изменились среднее и размах; объясните причину». | Выполняют выбранное задание индивидуально, оформляют вычисления в таблице, подписывают смысл каждого показателя. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте решение по шагам, а не только последний ответ. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который пришлось исправить. Если ваш ответ отличается, найдите конкретную причину: арифметика, порядок действий или неверное толкование показателя." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «Я умею находить размах», «Я умею вычислять отклонения», «Мне нужно повторить…». |
Эталон решения
Для базового варианта: $\overline{x}=\frac{4+6+7+8+10}{5}=7$, $x_{max}=10$, $x_{min}=4$, $R=10-4=6$. Отклонения равны $-3,-1,0,1,3$; их сумма равна $0$. Для среднего варианта: у ряда А среднее $8$, размах $5$; у ряда Б среднее $8$, размах $8$. Следовательно, при одинаковом среднем ряд А имеет меньший разброс по крайним значениям. Для продвинутого варианта: исходное среднее $9$, размах $8$; после добавления 20 среднее $\frac{6+8+8+9+14+20}{6}=\frac{65}{6}\approx10{,}83$, размах $20-6=14$. Размах увеличился сильнее, поскольку новое значение стало новым максимумом и удалено от прежнего диапазона.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что вычислить показатель недостаточно — важно объяснить его смысл. Мы увидели, что новое крайнее значение может заметно изменить размах. Осталось обсудить, как корректно сформулировать статистический вывод и оценить собственный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На отдельном листке ответьте на три вопроса. Первое: что показывает размах? Второе: что означает отрицательное отклонение? Третье: почему сумма отклонений от среднего равна нулю? Отвечайте своими словами и приведите один короткий пример." | Письменно отвечают: «Размах показывает расстояние между крайними значениями»; «Отрицательное отклонение означает, что значение меньше среднего»; «Сумма равна нулю, потому что среднее уравновешивает значения выше и ниже него». |
2 мин | Учитель предлагает самооценку: "Покажите стикер: зелёный — могу самостоятельно вычислить все показатели и объяснить их смысл; жёлтый — вычисляю, но затрудняюсь с интерпретацией; красный — нужно разобрать алгоритм ещё раз. В тетради допишите одно действие, которое выполните дома для устранения затруднения." | Поднимают стикеры, фиксируют личное затруднение и действие по его устранению. |
1 мин | Учитель задаёт домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Для каждого решения обязательно записывайте среднее, крайние значения, размах, отклонения и итоговый вывод. Номера заданий в конкретном учебнике вы выбираете самостоятельно по описанию." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы о формате оформления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть в числовом ряду не только отдельные значения, но и его структуру: центр, крайние точки и положение каждого наблюдения относительно среднего. Проверьте дома не только арифметику, но и смысл каждого знака. На следующем уроке мы продолжим анализировать изменчивость данных и обсудим показатели, которые дополняют размах."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные пункты выбранного варианта; правильно найдены среднее, наибольшее и наименьшее значения, размах и отклонения; выполнена проверка суммы отклонений; вывод соответствует данным.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий смысл вывода; исправление выполнено при самопроверке.
- «3» — правильно найдены хотя бы среднее и размах либо отклонения для большей части значений, но допущены две и более ошибки; ученик может объяснить назначение показателей после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает размах числового ряда и чем он отличается от отклонения? | Проверка различения характеристики всего ряда и характеристики отдельного значения. |
Как по знаку отклонения определить положение значения относительно среднего? | Выявление понимания смысла формулы $d_i=x_i-\overline{x}$. |
Почему сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю? | Проверка осознания свойства среднего, а не механического запоминания формулы. |
Какое действие алгоритма оказалось самым сложным и как вы его проверяли? | Выявление точек затруднения и сформированности навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились описывать числовой ряд с разных сторон: находить его крайние значения, вычислять размах и определять отклонение каждого значения от среднего. Помните, что одинаковое среднее не означает одинаковую устойчивость данных: для сравнения нужно учитывать разброс. Типичная ошибка — перепутать размах всего ряда с отклонением одного наблюдения и потерять знак при вычитании. Дома закрепите алгоритм на данных из выбранного уровня, а на следующем уроке продолжим исследование изменчивости статистических рядов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на числовые ряды из 5–7 значений: для каждого ряда найти среднее арифметическое, наибольшее и наименьшее значения, размах и отклонения всех значений; выполнить проверку суммы отклонений. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на порядок вычислений, знаки отклонений и наличие краткого вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на сравнение двух наборов данных с одинаковым или близким средним: вычислить размах обоих рядов, определить отклонения и объяснить, какой ряд более однороден по крайним значениям. | Развивает умение сопоставлять статистические показатели; при проверке смотреть, связан ли вывод с вычисленными данными, а не только с внешним видом ряда. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать один реальный набор из 6–10 чисел, например время выполнения задания, продолжительность поездок или результаты измерений. Найти среднее, размах и отклонения, затем добавить одно крайнее значение и описать изменение показателей. | Формирует исследовательское мышление и понимание влияния выброса; при проверке оценить корректность вычислений и аргументированность интерпретации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как найти размах ряда? Что означает отклонение $-3$? Как проверить вычисленные отклонения? Может ли размах быть отрицательным? Почему?»
