Дисперсия случайной величины: определение и вычисление
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться объяснять смысл дисперсии как средней величины квадрата отклонения значений от математического ожидания и вычислять дисперсию дискретной случайной величины по распределению в стандартных учебных ситуациях.
- Сформировать представление о дисперсии как числовой характеристике разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
- Научиться применять алгоритм вычисления дисперсии: найти математическое ожидание, определить отклонения, возвести их в квадрат, умножить на соответствующие вероятности и сложить результаты.
- Развивать умение анализировать таблицу распределения, проверять корректность вычислений и объяснять полученный результат в контексте задачи.
- Воспитывать аккуратность математического рассуждения, готовность обосновывать выводы и самостоятельно выбирать способ проверки результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение статистических характеристик для анализа неопределённости в научных, экономических и повседневных ситуациях.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и интерпретации числовых данных.
- Формируют готовность к самостоятельному поиску и проверке математического решения.
- Связывают изучение темы с дальнейшим обучением, профессиональными задачами и применением математических моделей.
Метапредметные
- Извлекают данные из таблицы распределения и преобразуют их в математическую модель.
- Сравнивают способы вычисления, выявляют ошибки в рассуждениях и аргументируют выбор корректного решения.
- Планируют последовательность действий, осуществляют самопроверку по эталону и корректируют вычисления.
- Используют математическую речь для объяснения смысла дисперсии и связи между отклонением и разбросом данных.
Предметные
- Знать определение дисперсии дискретной случайной величины и обозначение $D(X)$.
- Понимать, что дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X)=M((X-M(X))^2)$.
- Уметь вычислять математическое ожидание и дисперсию по таблице распределения дискретной случайной величины.
- Уметь применять формулу $D(X)=M(X^2)-(M(X))^2$ и проверять разумность полученного результата.
- Уметь формулировать вывод о степени разброса значений случайной величины относительно её среднего значения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за результат вычислений и качество математического объяснения.
- Определяют личный уровень понимания темы с помощью самооценки и формулируют вопрос, требующий уточнения.
- Проявляют познавательный интерес к использованию вероятностных моделей для описания реальных процессов.
- Развивают смыслообразование через понимание практической роли показателей разброса данных.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с распределением и планируют этапы вычисления дисперсии.
- Сверяют промежуточные результаты с условиями задачи и контролируют соблюдение вероятностных свойств.
- Находят арифметические и логические ошибки в готовом решении и исправляют их.
- Оценивают степень достижения цели по критериям: определение, алгоритм, вычисление, интерпретация.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные в таблице распределения и представляют их в виде формулы.
- Сравнивают отклонения разных значений от математического ожидания и объясняют необходимость возведения отклонений в квадрат.
- Устанавливают связь между формулами $D(X)=M((X-M(X))^2)$ и $D(X)=M(X^2)-(M(X))^2$.
- Моделируют вычисление дисперсии в таблице и используют числовую проверку результата.
Коммуникативные УУД
- Участвуют в обсуждении проблемного вопроса и формулируют математические предположения.
- Работают в парах при проверке алгоритма, задают уточняющие вопросы и объясняют промежуточные шаги.
- Аргументированно представляют решение, используя термины «математическое ожидание», «отклонение», «квадрат отклонения», «дисперсия».
- Корректно обсуждают ошибки одноклассников и предлагают способ их исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с таблицей распределения случайной величины, проблемным вопросом и алгоритмом вычисления дисперсии.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания на прямое вычисление, повышающие задания на сравнение двух распределений, дополнительное задание на поиск ошибки в решении; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одному листу самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу определить дисперсию», «Я могу выполнить вычисления», «Я могу объяснить смысл результата».
- Подготовить мини-таблицы для парной работы: значения $x_i$, вероятности $p_i$, произведения $x_i p_i$, отклонения $x_i-M(X)$ и квадраты отклонений.
- Вывести на доску или экран свойства распределения: $p_i\geq 0$ и $p_1+p_2+...+p_n=1$.
- Заранее записать на доске обозначения $M(X)$ и $D(X)$, оставив место для вывода формулы.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для этапов парной и самостоятельной работы.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и калькуляторы по решению учителя.
- Распечатать один эталон решения для демонстрации после самостоятельной работы; предусмотреть возможность самопроверки без выставления отметки за первую попытку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл характеристики разброса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается к учащимся: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы продолжим изучать характеристики случайной величины. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора или готовность выполнять вычисления вручную. На доске записаны два набора результатов двух игроков: 4, 5, 5, 6, 5 и 1, 3, 5, 7, 9. Средний результат у них одинаковый. Как вы думаете, одинаково ли стабильно они играют?" | Проверяют готовность к уроку, читают два набора данных и предполагают: "Нет, у второго игрока результаты сильнее отличаются друг от друга". |
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, какой числовой показатель мог бы измерять устойчивость результатов. Не требуется сразу назвать формулу. Важно объяснить, что именно нужно сравнить с известным средним значением." После обсуждения учитель выслушивает две-три версии и фиксирует на доске слова «среднее», «отклонение», «разброс». | За 30 секунд формулируют собственную идею, затем обсуждают её в парах около минуты и сообщают варианты: "Нужно сравнить расстояния от среднего", "нужно усреднить отклонения", "нужна характеристика разброса". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного среднего значения недостаточно: два набора могут иметь одинаковое среднее, но разную устойчивость. Сегодня мы выясним, как измерить такой разброс числом и почему для этого используется дисперсия."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия дискретной случайной величины, распределения, вероятности и математического ожидания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске распределение случайной величины $X$: значения $x_i$: 0, 1, 2, 3; вероятности $p_i$: 0,2; 0,3; 0,4; 0,1. Учитель говорит: "Проверьте, может ли эта таблица быть законом распределения. Какое условие должны выполнять вероятности? Затем напомните формулу математического ожидания." | Проверяют неотрицательность вероятностей и вычисляют сумму: $0,2+0,3+0,4+0,1=1$. Формулируют: "Сумма вероятностей равна единице". Записывают $M(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n$. |
3 мин | Учитель предлагает вычислить математическое ожидание для данной таблицы: "Работаем устно с промежуточными действиями. Умножьте каждое значение на его вероятность, сложите результаты и объясните, что означает полученное число." Учитель фиксирует ответы разными цветами и задаёт уточнение: "Обязательно ли математическое ожидание совпадает с одним из возможных значений X?" | Выполняют вычисление: $M(X)=0\cdot0,2+1\cdot0,3+2\cdot0,4+3\cdot0,1=1,4$. Отвечают: "Нет, математическое ожидание может не быть возможным отдельным значением; это средний ожидаемый уровень". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили закон распределения и научились находить среднее положение случайной величины. Теперь проверим, почему простого усреднения отклонений недостаточно и как построить характеристику разброса."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при попытке измерить разброс и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пример: значения $X$: 1, 3, 5 с одинаковыми вероятностями. После нахождения среднего обращается к классу: "Математическое ожидание равно 3. Найдём отклонения значений от среднего: -2, 0, 2. Если усреднить эти отклонения, что получится? Можно ли по нулю сделать вывод, что разброс отсутствует?" | Вычисляют отклонения и их среднее: $(-2+0+2)/3=0$. Формулируют затруднение: "Нет, разброс есть, но отрицательные и положительные отклонения взаимно уничтожились". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Как сохранить информацию о величине отклонения и одновременно убрать знак? Какие операции мы уже используем, когда сравниваем расстояния? Какой объект нужно усреднить? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Предлагают: "Возвести отклонения в квадрат", "усреднить квадраты отклонений". Формулируют цель: "Научиться понимать определение дисперсии и вычислять её по распределению". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: обычное среднее отклонение может скрыть разброс. Мы выдвинули гипотезу — усреднять квадраты отклонений. Теперь проверим её и дадим строгое определение дисперсии."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение дисперсии, освоить алгоритм её вычисления и установить связь двух формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим дискретную случайную величину X со значениями $x_1,x_2,...,x_n$ и вероятностями $p_1,p_2,...,p_n$. Сначала найдём математическое ожидание $M(X)$. Затем для каждого значения определим отклонение $x_i-M(X)$, возведём его в квадрат и умножим на вероятность этого значения. Сумма полученных произведений и называется дисперсией. Запишите определение: $D(X)=M((X-M(X))^2)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i$. Почему в формуле стоит квадрат?" | Записывают определение и отвечают: "Квадрат делает все слагаемые неотрицательными и не даёт отрицательным отклонениям уничтожить положительные". |
3 мин | Учитель демонстрирует алгоритм на распределении: $X$: 0, 1, 2, 3; $p$: 0,2; 0,3; 0,4; 0,1. Говорит: "Разделим вычисление на строки таблицы. Сначала уже найдено $M(X)=1,4$. Теперь найдём отклонения, их квадраты, умножим на вероятности и сложим. Следите не только за ответом, но и за структурой вычисления." | Заполняют таблицу: для $x=0$ отклонение $-1,4$, квадрат $1,96$, вклад $0,392$; для $x=1$ отклонение $-0,4$, квадрат $0,16$, вклад $0,048$; для $x=2$ отклонение $0,6$, квадрат $0,36$, вклад $0,144$; для $x=3$ отклонение $1,6$, квадрат $2,56$, вклад $0,256$. |
3 мин | Учитель показывает второй способ: "Иногда вычисления удобно сократить. Раскроем квадрат: $(X-M(X))^2=X^2-2XM(X)+(M(X))^2$. После нахождения математического ожидания получаем формулу $D(X)=M(X^2)-(M(X))^2$. Эта запись не заменяет смысл определения, а является удобным вычислительным инструментом. Запишите обе формулы и сравните их." | Записывают формулу $D(X)=M(X^2)-(M(X))^2$, обсуждают в парах её назначение и формулируют: "Первая формула показывает смысл дисперсии, вторая помогает быстрее считать через квадрат случайной величины". |
Запись в тетрадях
Дисперсия дискретной случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X)=M((X-M(X))^2)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i$. Удобная формула вычисления: $D(X)=M(X^2)-(M(X))^2$. Дисперсия неотрицательна: $D(X)\geq0$.
Эталон решения
Для распределения $X$: 0, 1, 2, 3 и $p$: 0,2; 0,3; 0,4; 0,1 сначала $M(X)=0\cdot0,2+1\cdot0,3+2\cdot0,4+3\cdot0,1=1,4$. Далее $D(X)=(0-1,4)^2\cdot0,2+(1-1,4)^2\cdot0,3+(2-1,4)^2\cdot0,4+(3-1,4)^2\cdot0,1=1,96\cdot0,2+0,16\cdot0,3+0,36\cdot0,4+2,56\cdot0,1=0,392+0,048+0,144+0,256=0,84$. Ответ: $D(X)=0,84$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение дисперсии и два равноправных способа вычисления. Главное — не механически подставить числа, а понять: дисперсия показывает средний квадрат отклонения от математического ожидания. Теперь проверим алгоритм на новом примере."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм вычисления дисперсии с проговариванием каждого шага и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: "Случайная величина X принимает значения 1, 2 и 4 с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3 соответственно. Найдите математическое ожидание и дисперсию. В карточке есть пять граф: значение, вероятность, произведение $xp$, отклонение от среднего, вклад в дисперсию. Заполняйте их последовательно." | Получают карточки, проверяют условие $0,2+0,5+0,3=1$ и распределяют роли: один ученик выполняет вычисления, второй проговаривает алгоритм и проверяет. |
4 мин | Учитель запускает приём "Взаимопроверка по алгоритму" и говорит: "Не называйте сразу итоговый ответ. Сначала спросите партнёра: найдено ли математическое ожидание, записаны ли все отклонения, возведены ли они в квадрат и умножены ли на вероятности. Если обнаружили ошибку, не стирайте её сразу: обведите и объясните, на каком шаге возникло затруднение." | Выполняют вычисления: $M(X)=1\cdot0,2+2\cdot0,5+4\cdot0,3=2,4$. Находят отклонения $-1,4$, $-0,4$, $1,6$, их квадраты и взвешенные вклады. Объясняют партнёру последовательность решения. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон и предлагает сверить результаты: "Сравните не только последнюю строку, но и каждый вклад. Поднимите зелёную карточку, если все шаги совпали, жёлтую — если была исправленная арифметическая ошибка, красную — если нужна помощь. Кто готов объяснить решение классу?" | Сверяют решение по шагам, отмечают цветом уровень готовности, один-два ученика объясняют: "Сначала нашли $M(X)=2,4$, затем рассчитали квадраты отклонений и сложили их с учётом вероятностей". |
Эталон решения
$M(X)=1\cdot0,2+2\cdot0,5+4\cdot0,3=2,4$. Тогда $D(X)=(1-2,4)^2\cdot0,2+(2-2,4)^2\cdot0,5+(4-2,4)^2\cdot0,3=1,96\cdot0,2+0,16\cdot0,5+2,56\cdot0,3=0,392+0,08+0,768=1,24$. Ответ: $M(X)=2,4$, $D(X)=1,24$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм сработал: мы проверили распределение, нашли среднее, вычислили квадраты отклонений и учли вероятности. Теперь каждый выполнит задание самостоятельно, чтобы проверить личное понимание без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение определением и вычислительным алгоритмом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Обязательный уровень выполняют все. Если базовая часть кажется понятной, можно выбрать повышенный уровень. Дополнительное задание предназначено для тех, кто хочет проверить себя на анализе ошибки. Перед началом запишите формулу, которой будете пользоваться." | Выбирают уровень с учётом собственной уверенности, записывают формулу и планируют последовательность действий. |
5 мин | Учитель предлагает базовую задачу: "Случайная величина X принимает значения 2 и 6 с вероятностями 0,75 и 0,25. Найдите $M(X)$ и $D(X)$, затем одним предложением объясните, что означает найденная дисперсия. Повышенный вариант: сравните эту дисперсию с дисперсией величины, принимающей значения 3 и 5 с вероятностями 0,5 и 0,5." Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "На каком шаге вы сейчас? Почему отклонение нужно возвести в квадрат?" | Решают индивидуально. Для базовой задачи получают $M(X)=3$ и $D(X)=3$. Записывают вывод: "Средний квадрат отклонения значений от среднего равен 3". Выполняющие повышенный вариант находят для второй величины $M(X)=4$, $D(X)=1$ и сравнивают разброс. |
2 мин | Учитель организует самопроверку: "Проверьте решение по четырём критериям: сумма вероятностей, математическое ожидание, квадраты отклонений, итоговая формула и единица ответа. Исправьте одну найденную ошибку другим цветом и поставьте рядом знак вопроса, если объяснение результата пока вызывает затруднение." | Сверяют вычисления с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, отмечают в листе самооценки пункты, которые выполнены уверенно. |
Эталон решения
Для базовой задачи $M(X)=2\cdot0,75+6\cdot0,25=1,5+1,5=3$. Поэтому $D(X)=(2-3)^2\cdot0,75+(6-3)^2\cdot0,25=1\cdot0,75+9\cdot0,25=3$. Для повышенного варианта $M(X)=3\cdot0,5+5\cdot0,5=4$, $D(X)=(3-4)^2\cdot0,5+(5-4)^2\cdot0,5=1$. Следовательно, первая величина имеет больший разброс значений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулу важно сопровождать смыслом: большая дисперсия означает более сильное рассеивание значений относительно среднего. Осталось сформулировать общий вывод, проверить исходную проблему и зафиксировать, что каждый из вас теперь умеет."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, соотнести его с поставленной проблемой, провести самооценку и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к начальным данным и говорит: "Вернёмся к двум игрокам. У первого результаты 4, 5, 5, 6, 5, у второго — 1, 3, 5, 7, 9. Средние значения совпадают. Как дисперсия помогает различить эти наборы? Какая величина будет больше и почему?" Учитель принимает аргументированные ответы, не требуя полного вычисления. | Объясняют: "У второго набора значения дальше от среднего, поэтому средний квадрат отклонений и дисперсия будут больше". Формулируют связь: "Дисперсия измеряет разброс, а не положение среднего". |
2 мин | Учитель проводит приём "Одноминутная запись": "За одну минуту запишите три пункта: определение дисперсии, последовательность вычисления и одну типичную ошибку, которую нужно избегать. Затем отметьте в листе самооценки: зелёный — могу объяснить и вычислить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Индивидуально записывают определение, алгоритм и ошибку, например: "нельзя усреднять сами отклонения; нужно возводить их в квадрат". Отмечают свой уровень понимания. |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по готовности. В каждой задаче обязательно записывайте не только ответ, но и математическое ожидание, формулу дисперсии и краткий вывод о разбросе. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы, которые я произнесу." | Записывают домашнее задание. Отвечают на контрольные вопросы: "Почему дисперсия не может быть отрицательной?", "Что нужно найти первым при прямом применении формулы?", "Как сравнить разброс двух случайных величин?". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы выяснили, почему среднего отклонения недостаточно, дали определение дисперсии и научились вычислять её по таблице распределения. Вы увидели, что дисперсия — это не просто формула, а числовая характеристика разброса значений вокруг математического ожидания. Проверьте дома не только арифметику, но и смысл своего ответа."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно проверено распределение, найдено математическое ожидание, без ошибок вычислена дисперсия, записана формула и дан корректный содержательный вывод о разбросе.
- «4» — алгоритм выбран правильно, математическое ожидание и основная часть вычислений выполнены верно, но допущена одна арифметическая ошибка или недостаточно полно сформулирован вывод.
- «3» — записано определение или формула дисперсии, выполнены отдельные правильные шаги, но допущены ошибки при нахождении математического ожидания, квадратов отклонений или учёте вероятностей.
- Ниже «3» — отсутствует связное применение алгоритма либо не подтверждено понимание того, что дисперсия характеризует разброс относительно математического ожидания.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое дисперсия и какой смысл имеет квадрат отклонения в её определении? | Проверка осознанного понимания определения, а не только запоминания формулы. |
Какой шаг алгоритма вычисления дисперсии оказался для вас самым сложным? | Выявление точек затруднения: математическое ожидание, отклонения, возведение в квадрат или учёт вероятностей. |
Как по величине дисперсии сравнить разброс двух случайных величин? | Проверка умения интерпретировать результат и применять понятие в сравнительной ситуации. |
Что вы сделаете при повторном решении, чтобы избежать сегодняшней ошибки? | Формирование навыка самоконтроля и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили основу для работы с показателями разброса случайной величины. Мы установили, что дисперсия равна среднему значению квадрата отклонения от математического ожидания и потому не бывает отрицательной. Помните о типичной ошибке: нельзя складывать отклонения без возведения в квадрат, поскольку положительные и отрицательные значения уничтожают друг друга. На следующем уроке мы продолжим изучать характеристики случайной величины и рассмотрим, как связана дисперсия со стандартным отклонением."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на вычисление математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины по таблице распределения с 2–4 возможными значениями. В каждой задаче записать проверку суммы вероятностей и краткий смысловой вывод. | Закрепляет прямое применение определения и алгоритма; при проверке обратить внимание на сумму вероятностей, правильное нахождение среднего и учёт всех квадратов отклонений. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на сравнение разброса двух случайных величин с одинаковым или близким математическим ожиданием, используя дисперсию. Объяснить, у какой величины значения более устойчивы. | Развивает интерпретацию числового результата и умение связывать формулу с реальным смыслом; проверить наличие аргументированного сравнения, а не только двух ответов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное распределение дискретной случайной величины не менее чем с тремя значениями, проверить его корректность, вычислить $M(X)$ и $D(X)$ двумя способами и подготовить объяснение совпадения результатов. | Развивает исследовательское и проектировочное мышление; при проверке обратить внимание на корректность вероятностей, равенство двух способов вычисления и качество математического объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что измеряет дисперсия?», «Почему в формуле используется квадрат отклонения?», «Какую величину нужно найти перед вычислением дисперсии по определению?», «Может ли дисперсия быть отрицательной?». Ожидаемые ответы: «Средний квадрат отклонения от математического ожидания», «чтобы устранить знак и не допустить взаимного уничтожения отклонений», «математическое ожидание», «нет, $D(X)\geq0$».
