Графы на плоскости. Дерево случайного эксперимента
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение строить и использовать дерево случайного эксперимента для вычисления вероятностей сложных событий в соответствии с ФГОС СОО.
- Задачи: Познакомить с понятием ориентированного графа (дерева) в контексте вероятности.
- Научить правилу умножения вероятностей вдоль ветвей дерева.
- Научить правилу сложения вероятностей для несовместных исходов (листьев дерева).
- Развивать навыки моделирования случайных процессов.
Планируемые результаты (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к обучению.
- Развитие логического мышления и критического восприятия информации.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в речи и письме.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения.
- Осуществление самоконтроля и коррекции в ходе решения задач.
- Оценка правильности выполнения учебной задачи.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств (графов) для решения задач.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Извлечение необходимой информации из условий текстовых задач.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в паре при обсуждении стратегий решения.
- Аргументация своей позиции при выборе метода решения задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуализацией «Дерева вероятностей» для классических задач (монеты, кубики).
- Распечатать рабочие листы с шаблонами деревьев для самостоятельной работы (15 шт. — на парту).
- Подготовить цветные маркеры для выделения путей на графе.
- Выписать на доску ключевые правила: «Правило произведения (вдоль пути)» и «Правило суммы (между путями)».
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о классической вероятности и создать проблемную ситуацию, требующую визуализации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Мы продолжаем изучать случайные эксперименты. Представьте: вы трижды подбрасываете монету. Как быстро перечислить все исходы, не запутавшись? А если монета несимметричная?» Учитель напоминает определение вероятности. | Слушают, вспоминают количество исходов для монеты (2^3=8). Отвечают: «Можно составить список: ООО, ООР...» |
3 мин | «Метод списка хорош для простых задач. Но если событий много и они зависят друг от друга, нам нужен инструмент визуализации — граф. Сегодня мы научимся строить "Дерево случайного эксперимента". Запишем тему.» | Записывают тему урока в тетради. Настраиваются на работу с графическими моделями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы поняли, что перебор вручную не всегда эффективен. Давайте перейдем к графическому методу, который позволит видеть все сценарии сразу».
Этап 2. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие дерева эксперимента, правила расстановки вероятностей и вычисления итогового результата.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Рассмотрим задачу: в коробке 3 синих и 2 красных шара. Мы вынимаем два шара по очереди без возвращения. Нарисуем начальную точку — корень. Какие есть варианты первого шага?» Учитель рисует две ветви: С (3/5) и К (2/5). | Рисуют в тетрадях корень и две ветви. Подписывают вероятности над ребрами графа. |
7 мин | «Теперь второй шаг. Если первый был синий, сколько шаров осталось? Какие вероятности теперь? Посмотрите на доску: мы получили дерево. Чтобы найти вероятность того, что оба шара синие, мы идем по пути С -> С и перемножаем числа. Запишем правила.» | Достраивают дерево (второй ярус). Записывают: P(CC) = 3/5 * 2/4. Формулируют правило: вероятности вдоль ветвей перемножаются. |
Запись в тетрадях
- Дерево эксперимента — это ориентированный граф без циклов, где узлы — этапы опыта, а ребра — исходы.
- Сумма вероятностей ребер, выходящих из одного узла, всегда равна 1.
- Вероятность элементарного события (пути) равна произведению вероятностей на ребрах этого пути.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили модель. Теперь дерево — это наш навигатор по задаче. Давайте проверим, как оно работает на практике».
Этап 3. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка навыка построения дерева для независимых испытаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Применим метод к задаче о биатлонисте. Вероятность попадания 0,8. Он делает 3 выстрела. Постройте дерево. Найдите вероятность события "Попал ровно 2 раза". Обратите внимание, что таких путей будет несколько!» | Самостоятельно строят дерево с 3 уровнями (8 листьев). Находят пути: (П, П, М), (П, М, П), (М, П, П). Вычисляют: 3 * (0,8 * 0,8 * 0,2) = 0,384. |
Эталон решения
Пусть $p=0.8$, $q=0.2$. Событие $A$ состоит из исходов: $ППМ, ПМП, МПП$.
$P(A) = p \cdot p \cdot q + p \cdot q \cdot p + q \cdot p \cdot p = 3 \cdot (0.8^2 \cdot 0.2) = 0.384$.
$P(A) = p \cdot p \cdot q + p \cdot q \cdot p + q \cdot p \cdot p = 3 \cdot (0.8^2 \cdot 0.2) = 0.384$.
Этап 4. Самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на задаче с условной вероятностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Выполните задание на карточках. Задача: Есть две урны. В первой 2 белых, 1 черный шар. Во второй 1 белый, 3 черных. Сначала выбираем урну (броском монеты), затем шар. Какова вероятность вынуть белый шар?» | Работают индивидуально. Рисуют дерево: первый выбор — Урна 1 (0,5) или Урна 2 (0,5). Затем ветви для шаров. Складывают вероятности двух путей, ведущих к белому шару. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — дерево построено верно, все вероятности на ребрах указаны правильно, расчет итоговой вероятности безошибочен.
- «4» — дерево построено верно, допущена одна вычислительная ошибка или не все пути просуммированы.
- «3» — структура дерева верна, но неверно расставлены вероятности или не применены правила умножения/сложения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«В каких случаях дерево удобнее, чем просто формула?» | Осознание границ применимости метода визуализации. |
«Что нужно сделать с вероятностями, если событие состоит из нескольких путей?» | Проверка понимания правила сложения вероятностей. |
«Какое условие должно выполняться для ветвей, выходящих из одной точки?» | Контроль понимания полноты группы событий (сумма = 1). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы освоили мощный метод — дерево случайного эксперимента. Он позволяет разложить даже самый сложный процесс на простые шаги. На следующем уроке мы увидим, как деревья помогают решать задачи на теорему Байеса и проверку гипотез. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Построить дерево для эксперимента: бросок кубика, если выпало четное — бросаем монету, если нечетное — не бросаем. Найти P(выпал орел). | Закрепление навыка построения дерева для разнородных этапов. |
Продвинутый | Задача о тестировании: болезнь встречается у 1% населения. Тест дает ложноположительный результат в 5% случаев и ложноотрицательный в 2%. Построить дерево. | Подготовка к теме условной вероятности и медицинских тестов. |
