Сравнение описательных свойств среднего арифметического и медианы
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться вычислять среднее арифметическое и медиану набора числовых данных, сравнивать их чувствительность к выбросам и аргументированно выбирать подходящую характеристику для описания данных.
- Образовательная задача: повторить способы вычисления среднего арифметического и медианы для упорядоченного набора данных с чётным и нечётным числом элементов.
- Развивающая задача: исследовать влияние выброса на две меры центра, формулировать выводы по числовым данным и обосновывать выбор показателя.
- Развивающая задача: взаимодействовать в паре, распределять вычисления и проверять точность рассуждений друг друга.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к представлению статистической информации и уважение к аргументированному мнению партнёра.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к тому, как статистические показатели помогают описывать реальные данные и принимать обоснованные решения.
- Ученик понимает, что выбор способа представления данных влияет на выводы читателя.
- Ученик проявляет готовность проверять собственные вычисления и корректно обсуждать расхождения с партнёром.
- Ученик осознаёт ценность точного и добросовестного использования статистических данных в учебной и будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Ученик извлекает числовую информацию из таблицы и преобразует её в упорядоченный ряд.
- Ученик сравнивает результаты вычислений и выявляет влияние отдельного значения на среднее арифметическое и медиану.
- Ученик планирует парное исследование, распределяет действия и проверяет вычисления по критериям.
- Ученик формулирует вывод на основании данных и приводит числовые аргументы.
- Ученик применяет статистическое рассуждение к межпредметному примеру, связанному со временем выполнения задания.
Предметные
- Ученик знает, что среднее арифметическое ряда равно сумме значений, делённой на их количество.
- Ученик знает, что медиана упорядоченного ряда при нечётном количестве значений является средним элементом, а при чётном — средним арифметическим двух средних элементов.
- Ученик умеет вычислять среднее арифметическое и медиану наборов данных с чётным и нечётным количеством элементов.
- Ученик умеет объяснять на числовом примере, почему выброс заметно меняет среднее арифметическое и может не менять медиану.
- Ученик выбирает и обосновывает показатель центра данных с учётом распределения и задачи описания.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносить содержание урока с практической ценностью статистики для обучения, повседневной жизни и будущей профессии.
- Осознавать личный вклад в парное исследование и принимать ответственность за точность своей части работы.
- Проявлять познавательную инициативу при выдвижении гипотезы о влиянии выброса.
- Уважительно относиться к отличающемуся выводу партнёра, если он подкреплён корректными вычислениями.
Регулятивные УУД
- Принимать учебную цель: выяснить, как среднее арифметическое и медиана реагируют на крайнее значение.
- Планировать последовательность действий: упорядочить данные, вычислить оба показателя, добавить выброс и сравнить результаты.
- Контролировать вычисления с помощью повторного сложения, подсчёта элементов и взаимной проверки.
- Сопоставлять результат с критериями и исправлять ошибку, если показатель рассчитан для неупорядоченного ряда.
- Оценивать, достигнута ли цель исследования, и формулировать оставшийся вопрос.
Познавательные УУД
- Извлекать данные из условия и представлять их в упорядоченном виде.
- Применять алгоритмы вычисления среднего арифметического и медианы.
- Сравнивать два набора данных, различающихся одним крайним значением.
- Устанавливать причинно-следственную связь между изменением одного наблюдения и изменением показателей центра.
- Формулировать обобщение на основе конкретных расчётов, не распространяя вывод за пределы исследованных условий.
Коммуникативные УУД
- Распределять вычисления и запись результатов в паре, сохраняя общий контроль над решением.
- Задавать партнёру уточняющие вопросы о порядке данных и выбранном элементе ряда.
- Объяснять вывод с опорой на вычисленные значения, а не только на интуитивное впечатление.
- Согласовывать итоговую формулировку и при необходимости аргументированно представлять альтернативную позицию.
- Давать партнёру корректную обратную связь по точности вычислений и ясности обоснования.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, двумя наборами данных и таблицей для фиксации вычислений.
- Распечатать карточки с парным исследованием — по одной на пару, всего по числу пар в классе; включить в карточку наборы 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9 и 2, 4, 4, 5, 5, 6, 30.
- Подготовить индивидуальную карточку самостоятельной работы с тремя уровнями заданий — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: сначала упорядочить данные; среднее = сумма / количество; при чётном количестве медиана — среднее двух центральных значений.
- Подготовить слайд с межпредметным сюжетом о времени выполнения учащимися контрольного задания и таблицей из семи наблюдений.
- Подготовить таймер для коротких этапов и слайд с сигналами самооценки: зелёный, жёлтый, красный.
- Подготовить карточки для физкультминутки с командами двигательных пауз либо включить таймер и провести движения по устным инструкциям.
- Подготовить доску, маркеры и проектор; оставить место для итогового сравнения показателей и вывода класса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую работу и вызвать вопрос о том, какая характеристика лучше описывает типичное значение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран два набора времени выполнения задания: 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9 минут и 2, 4, 4, 5, 5, 6, 30 минут. «Ребята, представьте, что это время выполнения одной и той же короткой работы семью учащимися. Посмотрите на наборы: шесть значений совпадают, а одно резко отличается. Какое число лучше сообщить как типичное время выполнения? Пока не вычисляйте — предложите гипотезу и объясните, что вас насторожило». | Рассматривают два набора и высказывают гипотезы: «30 минут слишком сильно отличается», «можно взять значение посередине», «нужно сравнить несколько способов». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: 30 секунд на индивидуальную гипотезу, минуту на обсуждение с соседом, затем просит две пары представить идеи. «Сначала запишите одно предположение. Затем обсудите, изменится ли типичное значение, если в группе появится один очень большой результат. В конце назовите классу свой аргумент; сегодня мы проверим его вычислениями». | Записывают гипотезу, обсуждают её в парах и сообщают классу: «Среднее, вероятно, вырастет», «медиана может остаться прежней». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один необычный результат может повлиять на общее описание данных. Чтобы проверить наши предположения, сначала вспомним, как вычисляются среднее арифметическое и медиана».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритмы вычисления среднего арифметического и медианы и выявить условие корректного нахождения медианы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске ряд 3, 1, 5, 7, 4. «Как подготовить этот ряд к поиску медианы? Что означает слово “середина” в данном случае? Назовите упорядоченный ряд и его среднее значение. Проверим также, сколько элементов находится левее и правее центрального». | Предлагают упорядочить данные: 1, 3, 4, 5, 7; отвечают: «Медиана равна 4, по два значения с каждой стороны». |
2 мин | Учитель добавляет к ряду число 9 и спрашивает: «Что происходит, когда элементов чётное количество? Какие два значения занимают середину? Запишите вычисление медианы, затем найдите среднее арифметическое исходных шести чисел». | Записывают ряд 1, 3, 4, 5, 7, 9; находят медиану (4 + 5) / 2 = 4,5 и среднее 29 / 6. |
2 мин | Учитель показывает памятку на доске и просит назвать два контрольных действия перед сдачей вычисления. «Не торопитесь переходить к сравнению свойств: сначала убедимся, что каждый показатель посчитан верно. Какая ошибка возможна, если искать середину до упорядочивания? Как проверить сумму?» | Отвечают: «Можно выбрать не центральное значение», «пересчитать слагаемые и сравнить число элементов с делителем». Отмечают, что медиану ищут только после упорядочивания. |
Запись в тетрадях: «Среднее арифметическое = сумма значений / количество значений. Медиана — центральное значение упорядоченного ряда; при чётном количестве — среднее двух центральных значений».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили оба алгоритма и отметили, почему порядок данных важен для медианы. Теперь сформулируем вопрос, ответ на который получим в небольшом исследовании».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать исследовательскую задачу и план проверки гипотезы о влиянии крайнего значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает на экран исходные наборы. «В обоих случаях шесть результатов почти одинаковы, но один результат во втором наборе равен 30. Можно ли по одному показателю описать “типичное” время? Как проверить, какой показатель устойчивее к этому необычному наблюдению? Предложите план: что вычислить сначала и что сравнить затем». | Предлагают план: «Найти среднее и медиану первого ряда, затем второго», «сравнить, какой показатель изменился сильнее». Записывают вопрос исследования. |
2 мин | Учитель фиксирует формулировку цели и критерии успешной работы на доске. «К концу урока каждый сможет вычислить оба показателя, объяснить эффект выброса на примере и выбрать характеристику для ситуации. Для доказательства нужны четыре шага: упорядочить, посчитать, сопоставить, объяснить. Проверьте, чего нам не хватает для вывода». | Формулируют цель своими словами, уточняют, что нужны вычисления для обоих наборов и аргументированное сравнение. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования готов: вычислим оба показателя до и после добавления необычного результата. Теперь проведём расчёты в парах и проверим, какая характеристика окажется чувствительнее».
Этап 4. Открытие нового знания: парное исследование (10 мин)
Цель этапа: на основе вычислений установить и обосновать различие в чувствительности среднего арифметического и медианы к выбросу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и задаёт роли: вычислитель отвечает за средние арифметические, аналитик — за медианы; затем пара проверяет обе части. «Запишите на карточке свои имена и распределите роли. Работайте с рядами 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9 и 2, 4, 4, 5, 5, 6, 30. Не пропускайте запись суммы и упорядоченного ряда: нам важно увидеть не только ответ, но и ход рассуждения». | Получают одну карточку на пару, распределяют роли и читают оба ряда. |
4 мин | Учитель запускает таймер и напоминает критерий: «Найдите для каждого ряда сумму, среднее арифметическое и медиану. Семь значений — нечётное количество, поэтому медиана является четвёртым элементом упорядоченного ряда. Если ответы разойдутся, сначала проверьте порядок чисел и сумму; я подойду к парам, которым нужна подсказка». | Вычислитель находит средние: 35 / 7 = 5 и 56 / 7 = 8. Аналитик находит медианы: 5 и 5. Партнёры перепроверяют вычисления и фиксируют ответы. |
3 мин | Учитель просит заполнить на доске таблицу «Показатель — первый ряд — второй ряд — изменение». «Сравните не сами ряды, а изменение каждого показателя. На сколько выросло среднее? Изменилась ли медиана? Какое наблюдение объясняет разницу? Сформулируйте вывод осторожно: речь идёт о влиянии одного очень большого значения на эти показатели». | Пары заносят результаты в таблицу: среднее 5 и 8, изменение +3; медиана 5 и 5, изменение 0. Формулируют вывод: «В этом примере выброс изменил среднее, но не изменил медиану». |
2 мин | Учитель задаёт уточняющие вопросы и связывает вычисление со смыслом. «Среднее использует каждое значение в сумме, поэтому крупное число увеличивает сумму. Медиана определяется положением центрального элемента. Доказывает ли наш пример, что медиана никогда не меняется? Что будет, если изменится несколько центральных значений?» | Объясняют, что среднее зависит от величины каждого наблюдения, а медиана — от порядка и центрального положения. Уточняют: «Нет, медиана может измениться, если изменятся значения около середины или состав ряда». |
Эталон решения
Первый ряд упорядочен: 2, 4, 4, 5, 5, 6, 9. Сумма равна 35, поэтому среднее арифметическое равно 35 / 7 = 5; медиана — четвёртое значение, 5. Второй ряд: 2, 4, 4, 5, 5, 6, 30. Сумма равна 56, среднее арифметическое равно 56 / 7 = 8; медиана — четвёртое значение, 5. Следовательно, в данном примере увеличение одного крайнего значения повысило среднее на 3, а медиана осталась равной 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наши расчёты подтвердили гипотезу на конкретных данных: среднее изменилось, медиана — нет. Чтобы не превратить частный пример в слишком широкое правило, проверим, как эти показатели ведут себя в практической ситуации».
Этап 5. Межпредметная связь и применение (6 мин)
Цель этапа: применить сравнение показателей к данным о времени выполнения задания и выбрать характеристику, подходящую для конкретной цели описания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит таблицу времени выполнения тестового задания семью учащимися: 18, 19, 20, 20, 21, 22, 55 минут. «Перед вами условные результаты учебной группы. Шесть участников завершили работу за близкое время, а одному потребовалось 55 минут. Представьте, что вы готовите краткий отчёт для классного руководителя. Сначала упорядочьте ряд и найдите медиану; затем вычислите среднее». | Записывают ряд, находят медиану 20 минут и среднее: 175 / 7 = 25 минут. |
2 мин | Учитель организует обсуждение в парах. «Какое число точнее передаёт время, за которое завершила работу центральная часть группы? А какое учитывает суммарное время всех участников? Выберите показатель для фразы “обычное время выполнения” и объясните выбор, не объявляя второй показатель бесполезным». | Обсуждают выбор и отвечают: «Медиана 20 минут лучше описывает центрального участника при одном необычно долгом результате; среднее 25 минут учитывает все наблюдения и полезно для оценки общего ресурса времени». |
2 мин | Учитель связывает задание со статистикой и планированием учебной нагрузки. «Один и тот же набор данных можно описывать разными корректными способами, если ясно обозначить, какой вопрос решаем. Назовите ситуацию, где важно среднее, и ситуацию, где полезна медиана. Какие дополнительные сведения помогли бы понять причину результата 55 минут?» | Приводят варианты: «Среднее полезно для оценки общего времени группы», «медиана — для типичного участника»; предлагают уточнить условия выполнения и индивидуальные обстоятельства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что выбор показателя зависит от вопроса: среднее учитывает все значения, медиана показывает положение середины ряда. Сейчас сделаем короткую двигательную паузу, а затем каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно применяет эти идеи».
Этап 6. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и восстановить внимание перед индивидуальной работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает безопасную короткую двигательную паузу у своих мест. «Отложите ручки и встаньте, если вам удобно. На вдохе поднимите руки, на выдохе опустите; мягко расправьте плечи, сделайте несколько шагов на месте. Теперь потянитесь вверх, расслабьте руки и сядьте. Движения выполняем без спешки, ориентируемся на самочувствие». | Выполняют движения у своих мест, соблюдают личное пространство, затем возвращаются к рабочим местам и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Спасибо, внимание восстановлено. Теперь выполните короткую индивидуальную работу: она покажет, можете ли вы самостоятельно вычислять показатели и объяснять их выбор».
Этап 7. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: индивидуально оценить умение вычислять показатели центра и применять вывод о чувствительности к выбросу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки с тремя уровнями и показывает критерии: один балл за верную медиану, один за среднее, один за обоснованный вывод. «Обязательное задание для всех: для ряда 3, 4, 4, 6, 8, 9, 10 найдите медиану и среднее. Затем рассмотрите ряд, где вместо 10 стоит 40, и укажите, какой показатель изменился сильнее. Если справились, выберите одно задание повышенного уровня на карточке». | Самостоятельно упорядочивают данные, вычисляют медиану 6 и среднее 44 / 7; для изменённого ряда находят медиану 6 и среднее 74 / 7. Письменно объясняют, почему среднее выросло заметнее. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон вычислений. «Сверьте каждую строку, а не только конечный ответ: порядок чисел, количество значений, сумму и выбор центрального элемента. Отметьте плюс возле верного шага и исправьте ошибку другим цветом. Если медиана совпала, проверьте, изменился ли средний элемент после замены». | Сравнивают решения с эталоном, самостоятельно отмечают и исправляют ошибки; при необходимости задают уточняющий вопрос. |
1 мин | Учитель проводит быструю проверку «Светофор». «Покажите зелёную карточку, если можете объяснить отличие показателей; жёлтую — если алгоритм понятен, но сомневаетесь в выборе; красную — если нужна ещё одна совместная демонстрация. По сигналу я отмечу, к чему вернуться на следующем уроке». | Поднимают карточку соответствующего цвета и при желании называют затруднение: «путаю среднее двух центральных чисел», «не знаю, какой показатель выбрать». |
Эталон решения
Ряд 3, 4, 4, 6, 8, 9, 10 уже упорядочен. Медиана равна четвёртому значению: 6. Сумма равна 44, среднее арифметическое равно 44 / 7. После замены 10 на 40 сумма увеличивается на 30 и становится 74; среднее равно 74 / 7. Новый ряд упорядочен: 3, 4, 4, 6, 8, 9, 40, поэтому медиана по-прежнему равна 6. Среднее изменилось, поскольку в сумму входит каждое значение; медиана в этом примере сохранилась, поскольку центральное положение не изменилось.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили свои вычисления и увидели, что корректный вывод опирается на порядок ряда и сумму. Осталось собрать основные идеи урока и оценить, насколько уверенно вы можете применять их самостоятельно».
Этап 8. Рефлексия и подведение итогов (4 мин)
Цель этапа: осознать полученный способ рассуждения, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает проблемный вопрос и предлагает заполнить короткий билет на выход. «Закончите две фразы: “Среднее арифметическое особенно реагирует на…” и “Медиану удобно использовать, когда…”. Затем назовите один шаг алгоритма, который будете проверять в первую очередь. Ответ можно написать на стикере или в тетради». | Пишут: «среднее реагирует на крайние значения, потому что они входят в сумму»; «медиана удобна, когда нужно описать середину ряда и есть необычное значение». Указывают личный контрольный шаг. |
2 мин | Учитель предлагает оценить достижение цели и собирает ответы. «Насколько уверенно вы сможете объяснить разницу однокласснику: уверенно, с опорой на пример или пока затрудняетесь? Какой пример из урока оказался убедительнее всего? Я использую ваши ответы, чтобы решить, кому на следующем уроке понадобится дополнительная тренировка». | Оценивают уверенность, называют доказательство: «набор с 30», «время выполнения теста»; сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы не просто посчитали два показателя, а проверили, что их смысл и устойчивость различаются. Запишите домашнее задание на выбранном уровне; перед выходом ответьте себе, можете ли вы объяснить выбор показателя на примере».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — без ошибок упорядочены данные, вычислены среднее арифметическое и медиана, верно сравнено изменение показателей и дано обоснование с опорой на числа.
- «4» — верно вычислены оба показателя и сформулирован корректный вывод; допущена одна небольшая вычислительная или оформительская неточность, не меняющая смысл сравнения.
- «3» — верно выполнена основная часть вычислений и определён хотя бы один показатель, но объяснение влияния крайнего значения неполное либо допущена ошибка в вычислении второго показателя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство среднего арифметического и медианы вы сегодня обнаружили? | Проверить осознание различий в чувствительности показателей к крайнему значению. |
Какой шаг вычисления оказался для вас самым трудным? | Выявить конкретные затруднения в упорядочивании, суммировании или поиске центрального элемента. |
Какой показатель вы выбрали бы для описания времени выполнения задания при одном очень большом результате и почему? | Оценить умение переносить вывод на практический контекст и аргументировать выбор. |
Насколько уверенно вы сможете выполнить аналогичное сравнение без подсказки? | Получить субъективную оценку освоения темы и спланировать поддержку. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сравнили среднее арифметическое и медиану не только по определениям, но и на данных, где одно значение резко отличалось от остальных. Мы увидели, что среднее учитывает величину каждого наблюдения и поэтому может заметно измениться из-за выброса, а медиана определяется серединой упорядоченного ряда. Помните о типичной ошибке: медиану нельзя находить, не упорядочив данные. При этом нельзя утверждать, что медиана всегда неизменна: её значение зависит от положения центральных элементов. На следующем уроке мы продолжим анализировать наборы данных и обсудим, как несколько статистических характеристик помогают описывать распределение точнее».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания на нахождение среднего арифметического и медианы для упорядоченных и неупорядоченных наборов из нечётного и чётного числа значений; в одном задании сравнить результат до и после замены крайнего значения. | Закрепить алгоритмы; при проверке обратить внимание на упорядочивание ряда, подсчёт элементов, деление суммы на их количество и выбор центральных значений. |
Средний (повышающий) | Составить собственный пример из двух наборов данных, различающихся одним крайним значением; вычислить для обоих наборов среднее и медиану и написать вывод из 3–4 предложений о влиянии изменения. | Развить исследовательское умение моделировать ситуацию и аргументировать вывод числами; проверить корректность данных и логическую связь объяснения с расчётами. |
Продвинутый (дополнительный) | Выбрать небольшой жизненный набор данных, например время поездки или длительность выполнения задания, из 7–9 значений; вычислить среднее и медиану, предложить изменение одного наблюдения и объяснить, в каком случае какой показатель уместнее сообщить. | Перенести статистические способы описания в реальный контекст; проверить, обоснован ли выбор показателя целью анализа и не делается ли вывод шире имеющихся данных. |
Контрольные вопросы перед выходом: чем среднее арифметическое отличается от медианы по способу вычисления? Почему крупное крайнее значение способно изменить среднее? Как найти медиану при чётном числе значений? В какой ситуации вы предпочли бы сообщить медиану и чем обосновали бы выбор?
