Случайные опыты и случайные события. Опыты с равновозможными элементарными исходами
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться описывать пространство элементарных исходов случайного опыта и вычислять вероятность события в опытах с равновозможными исходами по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, применяя её к броскам монет и игральных костей.
- Сформировать представление о случайном эксперименте, элементарном исходе, пространстве исходов, случайном, достоверном, невозможном и противоположном событиях.
- Научиться определять число всех и благоприятных исходов, учитывать упорядоченность исходов и находить вероятности событий в практических задачах.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать модель опыта, обосновывать решение и проверять результат с учётом свойства $0\leqslant P(A)\leqslant1$.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за самостоятельный результат и готовность аргументированно обсуждать математическую модель.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностных моделей для анализа неопределённости в науке, технике и повседневной жизни.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию случайных процессов и готовность проверять интуитивные предположения расчётом.
- Развивают самостоятельность и ответственное отношение к выбору способа решения.
- Понимают ценность точной математической аргументации при обсуждении результатов.
Метапредметные
- Определяют цель решения, выделяют пространство исходов и благоприятные исходы в условии задачи.
- Составляют таблицу или схему исходов и используют её для проверки рассуждений.
- Сравнивают различные способы подсчёта исходов и объясняют выбор модели.
- Работают с информацией, формулируют выводы и осуществляют самопроверку по эталону.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют математическую позицию.
Предметные
- Знать определения случайного опыта, элементарного исхода, пространства элементарных исходов и события.
- Уметь различать случайное, достоверное, невозможное и противоположное события.
- Уметь находить вероятность события в опыте с равновозможными исходами по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$.
- Уметь подсчитывать исходы при бросании одной или двух костей и двух монет, учитывая упорядоченные пары.
- Владеть свойствами вероятности: $0\leqslant P(A)\leqslant1$, $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$, $P(\overline A)=1-P(A)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятностных моделей и связывают тему с будущей учебной или профессиональной деятельностью.
- Осознают необходимость точности при описании случайных явлений.
- Проявляют готовность принимать разные стратегии решения и корректировать собственную позицию.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность: описать исходы, выделить благоприятные, подсчитать их, вычислить вероятность.
- Проверяют ответ по диапазону вероятности и смыслу события.
- Обнаруживают и исправляют ошибки в подсчёте упорядоченных исходов.
- Оценивают степень освоения алгоритма по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки случайного опыта и элементарного исхода.
- Строят таблицу пространства исходов для двух костей и двух монет.
- Классифицируют события по числу и характеру исходов.
- Применяют формулу вероятности и свойства противоположных событий.
- Проводят логическую проверку утверждений о вероятности.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему исходы считаются равновозможными.
- Формулируют вопросы по условию и уточняют смысл слов «хотя бы», «ровно», «упорядоченная пара».
- Аргументируют выбор верного утверждения, опираясь на определения и свойства.
- Согласовывают общий вариант ответа и корректно относятся к иной стратегии решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить рабочие листы с десятью заданиями — по одному экземпляру на каждого ученика, а также два запасных экземпляра.
- Подготовить по две монеты и по две игральные кости на каждую группу из 3–4 человек для краткой проверки модели опыта.
- Распечатать карточки для этапа актуализации: «случайный опыт», «элементарный исход», «событие», «пространство исходов» — по одному комплекту на группу.
- Вывести на доску или экран вопрос: «Как измерить вероятность события, если все элементарные исходы равновозможны?»
- Заранее записать на доске шаблон таблицы исходов двух костей и оставить свободное место для формул.
- Подготовить слайд или плакат с формулами $P(A)=\frac{m}{n}$, $0\leqslant P(A)\leqslant1$, $P(\overline A)=1-P(A)$.
- Подготовить эталон ответов к заданиям рабочего листа №1–10 для самопроверки.
- Подготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одной на каждого ученика.
- Организовать таймер на 3–5 минут для самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование случайных явлений и обозначить практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две монеты: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто бросать монеты и кости, а строить математическую модель случайного опыта. Представьте, что нам нужно оценить надёжность решения, результат испытания или вероятность события в игре. Как превратить неопределённость в число?» | Готовят тетради и рабочие листы, высказывают предположения: «Нужно перечислить возможные результаты», «Нужно посчитать, как часто событие происходит». |
2 мин | Учитель организует приём «Проблемный вопрос»: «Монету подбрасывают два раза. Орёл выпал ровно один раз. Можно ли найти вероятность, не перебирая варианты? Какие результаты нужно считать отдельными? Зафиксируйте первое предположение, а к нему мы вернёмся в конце урока». | Индивидуально записывают предположение, затем обсуждают его в парах 30 секунд; называют варианты: «Орёл–решка и решка–орёл», «Нужно учитывать порядок бросков». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы выясним, как правильно описывать случайный опыт, почему порядок иногда важен и как по числу благоприятных исходов вычислять вероятность события».»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о случайности, множестве вариантов и дробях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с терминами и просит выполнить приём «Снежный ком»: «Сначала каждый самостоятельно сопоставьте термин и пояснение. Затем обсудите в паре и объединитесь с соседней парой. Вам нужно получить четыре согласованные пары». | Сопоставляют «опыт» с действием, «исход» с отдельным результатом, «событие» с набором исходов, «пространство исходов» с множеством всех возможных исходов; объясняют выбор. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какие исходы возможны при одном броске кубика? Какова вероятность выпадения числа 8? Какова вероятность выпадения числа от 1 до 6? Чем отличаются эти события?» Учитель фиксирует на доске обозначения $\Omega$, $A$, $\varnothing$. | Отвечают: «Исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6»; «Выпадение 8 невозможно»; «Выпадение числа от 1 до 6 достоверно». Формулируют: «Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что опыт имеет множество возможных исходов, а событие выбирает из них некоторые. Теперь проверим, что именно вызывает затруднение при подсчёте исходов».»
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость точного определения равновозможных исходов и алгоритма подсчёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: «Две кости бросают одновременно. Сколько исходов?» и «Сумма 7». Затем спрашивает: «Кто-то может ответить 11, потому что сумму 7 дают 6 пар? Почему 36 исходов, а не 12? Что означает упорядоченная пара?» | Обсуждают в парах, замечают, что $(1;6)$ и $(6;1)$ различаются по результату первой и второй кости; называют число всех исходов 36. |
2 мин | Учитель формулирует противоречие: «Интуитивно мы видим подходящие результаты, но без полного пространства исходов легко пропустить или повторить их. Сформулируйте цель урока: что нужно уметь делать в каждой задаче рабочего листа?» | Формулируют цель: «Описывать пространство исходов, находить благоприятные исходы и вычислять вероятность по их отношению». Записывают план действий: определить исходы — выделить событие — подсчитать — вычислить — проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение связано не с самой дробью, а с правильным выбором всех и благоприятных исходов. Перейдём к построению общего правила».»
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения и формулу вероятности на модели монет и игральных костей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает таблицу исходов двух бросков монеты: «Обозначим орла О, решку Р. Элементарный исход — это один конкретный результат опыта. При двух бросках получаем упорядоченные пары: (О,О), (О,Р), (Р,О), (Р,Р). Все четыре исхода считаем равновозможными. Какое событие обозначает ровно один орёл?» | Переписывают или рассматривают таблицу, называют благоприятные исходы $(О,Р)$ и $(Р,О)$, делают вывод: всего $n=4$, благоприятных $m=2$. |
3 мин | Учитель записывает формулу: «В опыте с равновозможными элементарными исходами вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов: $P(A)=\frac{m}{n}$. Поэтому для одного орла $P(A)=\frac{2}{4}=\frac12$. Почему результат не может быть больше 1?» | Формулируют: «Благоприятные исходы входят в общее число, поэтому $m\leqslant n$». Записывают формулу и пример. |
4 мин | Учитель строит таблицу 6 на 6 для двух костей: «Строка показывает результат первой кости, столбец — второй. Так получаем 36 упорядоченных пар. Выделим диагональ для одинаковых чисел и клетки суммы 7. Событие может содержать один, несколько или все исходы». Затем вводит свойства: $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$, $0\leqslant P(A)\leqslant1$, $P(\overline A)=1-P(A)$. | Наблюдают за построением таблицы, называют пары суммы 7: $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$; делают вывод о шести благоприятных исходах. Записывают свойства вероятности. |
Запись в тетрадях
Случайный опыт — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Элементарный исход — один возможный результат опыта. Пространство исходов $\Omega$ — множество всех элементарных исходов. Событие $A$ — совокупность исходов, при которых происходит интересующее нас явление. Для равновозможных исходов $P(A)=\frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех исходов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили универсальный алгоритм: сначала описываем пространство, затем выделяем событие и только после этого считаем дробь. Сейчас применим его к конкретным заданиям рабочего листа».»
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: отработать распознавание понятий и подсчёт благоприятных исходов на заданиях листа №1–6.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает решить задания №1–4 фронтально с проговариванием: «В №1 выпишите четыре упорядоченных исхода. В №2 выберите определение вероятности. В №3 назовите число исходов кубика. В №4 проверьте четыре утверждения только по свойствам вероятности». Учитель просит одного ученика комментировать каждый шаг. | Записывают: №1 — $P(A)=\frac24=\frac12$; №2 — отношение числа благоприятных исходов к числу всех; №3 — 6; №4 — истинны утверждения о вероятности достоверного события и о диапазоне от 0 до 1. |
3 мин | Учитель разбирает №5: «Две кости дают сумму 7. Не называйте только суммы — перечислите упорядоченные пары. Сколько их? Подставьте числа в формулу». После ответа показывает шесть клеток таблицы. | Называют шесть пар, вычисляют $P(A)=\frac6{36}=\frac16$, сокращают дробь и объясняют, почему $(1;6)$ и $(6;1)$ считаются разными исходами. |
2 мин | Учитель предлагает в парах выполнить №6: «Какое событие содержит ровно пять исходов: сумма 6, сумма 5, на первой кости выпало 1 или одинаковые числа? Составьте краткий перечень пар». | Перечисляют варианты и выбирают «сумма очков равна 6»: $(1;5),(2;4),(3;3),(4;2),(5;1)$; обосновывают, что остальные события содержат соответственно 4, 6 и 6 исходов. |
Эталон решения
Для №5: $\Omega=\{(i;j):i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}\}$, поэтому $n=36$. Событие «сумма равна 7» содержит пары $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$, значит $m=6$. Тогда $P(A)=\frac{6}{36}=\frac16$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились переходить от текста к перечню исходов и от перечня — к дроби. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять алгоритм без подсказки».»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение формулы, свойств вероятности и модели двух костей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель даёт инструкцию: «Самостоятельно решите задания №7–10 рабочего листа. Записывайте не только ответ, но и число всех и благоприятных исходов. В №9 обратите внимание на слова “хотя бы одна шестёрка”, а в №10 используйте противоположное событие. Работайте молча, на экране идёт таймер». | Решают: №7 — чётные исходы 2, 4, 6, поэтому $P=\frac36=\frac12$; №8 — истинны утверждения об элементарном исходе и о событии из нескольких исходов; №9 — считают 11 исходов или используют дополнение; №10 — $1-0{,}35=0{,}65$. |
4 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте решения, отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — место сомнения, красным — ошибку. В №9 можно считать напрямую, но удобнее найти противоположное событие: ни на одной кости не выпало 6». Просит исправить одну ошибку письменно. | Сверяют решения и исправляют: для №9 $P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$; объясняют, что противоположное событие — выпадение чисел от 1 до 5 на обеих костях. |
Эталон решения
В №9 всего 36 исходов. Противоположное событие «шестёрка не выпала ни на одной кости» содержит $5\cdot5=25$ исходов. Поэтому $P(\overline A)=\frac{25}{36}$ и $P(A)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Такой способ предотвращает пропуск исхода $(6;6)$ и удобно обрабатывает слова «хотя бы одна».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что формула уже работает, но особенно важно читать условие: “ровно”, “хотя бы” и “противоположное” задают разные способы подсчёта. Завершим урок проверкой общего алгоритма и личного результата».»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальное продвижение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: «За одну минуту запишите три шага вычисления вероятности и одну типичную ошибку, которую теперь сможете избежать». | Записывают: «описать все исходы; выделить благоприятные; применить $P(A)=m/n$; проверить $0\leqslant P\leqslant1$». Указывают ошибку: «не учитывать порядок в паре» или «перепутать событие и пространство исходов». |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Зелёная карточка — уверенно решаю задачи с одной и двумя костями; жёлтая — нужна тренировка подсчёта; красная — пока не различаю исход и событие». | Поднимают карточку соответствующего цвета и формулируют, какая помощь нужна. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и контрольные вопросы: «Перед выходом ответьте: чему равна вероятность достоверного события? Как найти вероятность противоположного? Почему при двух костях 36 исходов?» | Отвечают: «1», «$1-P(A)$», «6 вариантов первой кости умножить на 6 вариантов второй». Записывают домашнее задание. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы описали случайный опыт языком элементарных исходов и научились измерять событие вероятностью. Ваш следующий шаг — применять этот алгоритм в новых условиях и объяснять, почему он работает».»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 9–10 заданий рабочего листа, в задачах на кости и монеты приведены либо корректно подсчитаны исходы, ответы записаны в виде сокращённых дробей, рассуждения не содержат ошибок.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий, допущена не более одной вычислительной или оформительской ошибки, общий алгоритм выбран правильно.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий, понятия в основном различены, но есть ошибки в подсчёте благоприятных исходов или применении противоположного события.
- Ниже «3» — выполнено менее пяти заданий или не различаются пространство исходов, событие и благоприятные исходы; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют элементарным исходом и чем он отличается от события? | Проверка понимания базовых понятий и предупреждение смешения терминов. |
Какой порядок действий нужно выполнить перед использованием формулы $P(A)=\frac{m}{n}$? | Выявление освоения алгоритма решения. |
Почему при бросании двух костей пространство содержит 36 упорядоченных исходов? | Проверка понимания декартова произведения и роли порядка. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать случайные опыты через пространство элементарных исходов и вычислять вероятность события в равновозможной модели. Особенно внимательно нужно относиться к упорядоченным парам и словам “ровно” и “хотя бы”: именно здесь чаще всего возникают ошибки. Если событие удобно заменить противоположным, это позволяет сделать подсчёт короче и надёжнее. На следующем уроке мы продолжим работать с вероятностями событий и рассмотрим более сложные способы их объединения».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на равновозможные исходы: одну на бросок кубика, одну на бросок двух монет и две на бросок двух костей; в каждой записать пространство исходов или способ его подсчёта, число благоприятных исходов и вероятность. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на корректность модели, сокращение дробей и диапазон вероятности. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на события «ровно», «хотя бы», «не менее» и противоположное событие в опытах с одной или двумя костями; минимум в двух задачах применить способ через противоположное событие. | Развивает смысловое чтение условия и выбор наиболее рационального способа подсчёта; проверить, не пропущены ли исходы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный случайный опыт с не менее чем 12 равновозможными исходами, сформулировать два события, вычислить их вероятности и объяснить, являются ли события случайными, достоверными или невозможными. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать классификацию событий; проверить полноту пространства исходов и обоснование равновозможности. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое пространство элементарных исходов? Как вычисляется вероятность события в равновозможной модели? Чему равна вероятность противоположного события, если $P(A)=0{,}35$? Почему ответ на задачу о двух костях нельзя получать только по числу возможных сумм?»
