Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы Эйлера
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся научатся распознавать пересечение, объединение и противоположное событие, изображать их с помощью диаграмм Эйлера и применять соответствующие операции при решении не менее четырёх из пяти учебных задач.
- Сформировать понимание пересечения событий как события, состоящего в одновременном наступлении двух событий, и объединения как события, состоящего в наступлении хотя бы одного из них.
- Научить обозначать операции над событиями с помощью символов $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A}$ и переводить словесные формулировки на язык множеств.
- Развивать умение анализировать условие вероятностной задачи, строить диаграммы Эйлера и аргументировать выбор операции.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому моделированию и готовность проверять корректность собственного рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение вероятностного языка для описания неопределённых ситуаций в повседневной жизни, науке и будущей профессиональной деятельности.
- Проявлять интерес к исследовательскому поиску и самостоятельному выбору способа решения задачи.
- Понимать ценность точной формулировки события и ответственности за корректную интерпретацию данных.
- Развивать уверенность в возможности преодоления затруднений через анализ условия и проверку результата.
Метапредметные
- Формулировать учебную проблему, выдвигать гипотезу и проверять её на конкретных примерах.
- Переводить информацию из текстовой формы в символическую и графическую: запись события, формула, диаграмма Эйлера.
- Сравнивать различные способы описания одного события и выявлять соответствие между ними.
- Планировать решение, осуществлять самопроверку по эталону и корректировать ошибочные рассуждения.
- Аргументированно представлять результат работы в паре и участвовать в обсуждении математических идей.
Предметные
- Знать определения пересечения, объединения и противоположного события.
- Уметь записывать пересечение событий как $A \cap B$, объединение как $A \cup B$, противоположное событие как $\overline{A}$.
- Уметь строить и читать диаграммы Эйлера для двух событий.
- Уметь определять, какое событие описано словами «и», «или», «хотя бы одно», «не произошло».
- Уметь применять равенство $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ в простых вероятностных задачах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость владения языком событий для дальнейшего изучения вероятности и статистики.
- Осмысляют затруднение как естественный этап исследовательской работы.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа изображения событий.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и достоверность полученного вывода.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе анализа проблемной ситуации.
- Планируют последовательность действий: выделить события, выбрать операцию, построить диаграмму, проверить результат.
- Осуществляют самоконтроль при сопоставлении решения с эталоном.
- Находят ошибку в неверной диаграмме и вносят исправления.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки операций над событиями.
- Классифицируют словесные формулировки по операциям «и», «или», «не».
- Строят математические модели ситуаций в виде диаграмм Эйлера.
- Устанавливают связь между пересечением множеств и одновременным наступлением событий.
- Применяют формулу вероятности противоположного события к конкретной ситуации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы к условию задачи и уточняют смысл используемых терминов.
- Объясняют партнёру, почему выбранная область диаграммы соответствует данному событию.
- Распределяют роли в паре и согласуют общий вариант ответа.
- Аргументируют решение с использованием математических обозначений.
- Корректно обсуждают ошибочный ответ, отделяя оценку решения от оценки личности ученика.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с двумя пересекающимися окружностями, обозначениями $A$, $B$, $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A}$.
- Распечатать карточки с пятью ситуациями для работы в парах — по одной карточке на пару, всего 15–16 экземпляров.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с тремя заданиями и листы с эталоном для самопроверки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши двух цветов — по одному набору на парту.
- Вывести на доску памятку: «и» — пересечение, «или» — объединение, «не» — противоположное событие.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут для организации парной и индивидуальной работы.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; заранее разместить на экране проблемную ситуацию и задания для самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость операций над событиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и листа для самостоятельной работы. Сегодня нам понадобится не только знание формул, но и умение точно читать условие. Мы будем исследовать, как математически описать ситуацию, когда происходят сразу два события, хотя бы одно из них или не происходит одно конкретное событие." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В цифровом сервисе пользователь может выбрать уведомления о скидках и уведомления о новых поступлениях. Пусть событие $A$ означает получение уведомления о скидке, а событие $B$ — получение уведомления о новом поступлении. Как записать событие, при котором пользователь получает оба уведомления? А как записать получение хотя бы одного уведомления?" Учитель не сообщает обозначения заранее, а фиксирует предположения учащихся. | Формулируют предположения: "Нужно объединить два события", "Оба уведомления — это событие и $B$", "Хотя бы одно — это $A$ или $B$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В обычной речи слова «и», «или» и «не» кажутся понятными, но в математике каждому из них соответствует точная операция. Сейчас мы выясним, как эти операции обозначаются и изображаются."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия события, элементарного исхода и вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Индивидуально за 30 секунд вспомните, что называют событием в вероятностной модели. Затем обсудите ответ с соседом. Важно назвать не бытовой пример, а математический объект, связанный с исходами испытания." | Формулируют определение индивидуально, затем обсуждают в паре и предлагают варианты: "Событие — это результат или группа исходов испытания, о наступлении которых можно говорить". |
3 мин | Учитель показывает модель броска игрального кубика и спрашивает: "Пусть $A$ — выпадение чётного числа, а $B$ — выпадение числа, большего 3. Какие исходы входят в каждое событие? Может ли один исход относиться к двум событиям одновременно?" Учитель записывает на доске множества $A = \{2,4,6\}$ и $B = \{4,5,6\}$. | Называют исходы: $A = \{2,4,6\}$, $B = \{4,5,6\}$. Выделяют общие исходы 4 и 6, делают вывод: "Один исход может одновременно принадлежать двум событиям". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что событие может включать несколько исходов, а один исход может быть связан сразу с двумя событиями. Именно область общих исходов и станет первым объектом нашего исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение в словесном описании операций над событиями и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "В эксперименте с кубиком событие $A$ — выпало чётное число, событие $B$ — выпало число больше 3. Запишите словами событие, при котором произошло $A$ и $B$, а затем событие, при котором произошло $A$ или $B$. Не пользуйтесь пока готовыми формулами." | Записывают: «выпало чётное число больше 3» и «выпало чётное число или число больше 3». Обсуждают, включает ли слово «или» оба события одновременно. |
2 мин | Учитель задаёт проблемные вопросы: "Почему фраза «$A$ или $B$» может быть неоднозначной в обычной речи? Как изобразить события так, чтобы не потерять исходы, относящиеся одновременно к $A$ и $B$? Какая операция понадобится для события «не произошло $A$»?" Учитель принимает гипотезы и формулирует цель: "Сегодня мы научимся выполнять операции над событиями и изображать их диаграммами Эйлера." | Формулируют цель: "Научиться различать и обозначать пересечение, объединение и противоположное событие, а также показывать их на диаграммах". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислениях, а в точном переводе слов на математический язык. Теперь построим этот язык сами и проверим его на модели с кубиком."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения операций над событиями и установить их графическое представление на диаграммах Эйлера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель изображает на доске прямоугольник всех возможных исходов и две пересекающиеся окружности $A$ и $B$: "Прямоугольник изображает пространство элементарных исходов. Общая часть окружностей содержит исходы, принадлежащие и $A$, и $B$. Такая операция называется пересечением и обозначается $A \cap B$. Прочитайте запись вслух и сформулируйте определение." | Перерисовывают диаграмму, закрашивают общую часть окружностей и формулируют: "$A \cap B$ — событие, состоящее в одновременном наступлении событий $A$ и $B$". |
3 мин | Учитель меняет выделение на всю область двух окружностей: "Теперь закрасим все исходы, которые относятся хотя бы к одному из событий. Получается объединение, обозначаемое $A \cup B$. В математике союз «или» обычно понимается как нестрогое «или»: может произойти $A$, может произойти $B$, а могут произойти оба события. Поэтому общая часть также входит в объединение." | Закрашивают обе окружности вместе с общей частью и записывают: "$A \cup B$ — событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий $A$ и $B$". |
3 мин | Учитель выделяет всю область прямоугольника, кроме круга $A$: "Как описать все исходы, при которых событие $A$ не наступило? Это противоположное событие, обозначаемое $\overline{A}$. Оно содержит все исходы пространства, не входящие в $A$. Поэтому $A$ и $\overline{A}$ вместе образуют всё пространство исходов, а одновременно произойти не могут." | Закрашивают область вне круга $A$, записывают определение противоположного события и формулируют свойства: "$A \cup \overline{A}$ — достоверное событие, $A \cap \overline{A}$ — невозможное событие". |
Запись в тетрадях
Записать: «Пересечение: $A \cap B$ — наступили одновременно $A$ и $B$. Объединение: $A \cup B$ — наступило хотя бы одно из событий $A$, $B$. Противоположное событие: $\overline{A}$ — событие $A$ не наступило. Свойство: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили три соответствия: «и» — пересечение, «или» — объединение, «не» — противоположное событие. Далее проверим, сможете ли вы выбрать нужную операцию без моей подсказки и объяснить свой выбор диаграммой."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить перевод словесных формулировок в обозначения и диаграммы Эйлера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет задание: "Работаем в парах. На карточке пять формулировок. Для каждой запишите обозначение операции и закрасьте соответствующую область диаграммы. Обязательно проговорите партнёру, почему выбрали именно эту область. На выполнение — две минуты." | Распределяют роли: один читает формулировку и предлагает операцию, второй строит диаграмму; затем меняются ролями. |
3 мин | Учитель предлагает формулировки: "1) произошли оба события; 2) произошло хотя бы одно событие; 3) событие $A$ не произошло; 4) произошло событие $A$, но не произошло событие $B$; 5) не произошло ни $A$, ни $B$. Проверьте, какие из них можно записать через уже изученные операции." | Записывают: $A \cap B$; $A \cup B$; $\overline{A}$; $A \cap \overline{B}$; $\overline{A} \cap \overline{B}$. Закрашивают области на диаграммах. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только обозначение, но и закрашенную область. Если нашли расхождение, задайте вопрос: «Какие исходы входят в это событие?»" | Сверяют решения, формулируют замечания и исправляют диаграммы. Объясняют: «В событии $A \cap \overline{B}$ остаются только исходы внутри $A$, но вне $B$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что диаграмма позволяет проверять запись: если закрашена не та область, ошибка сразу становится видимой. Теперь применим операции к числовой модели и выполним самостоятельную проверку."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание операций и умение применять их в вероятностной задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт лист самостоятельной работы: "Работайте индивидуально. Задание 1: пусть $A$ — выпадение чётного числа на кубике, $B$ — выпадение числа больше 3. Перечислите исходы событий $A \cap B$, $A \cup B$ и $\overline{A}$. Задание 2: запишите через операции событие «выпало нечётное число, не большее 3». Задание 3: если $P(A)=0,7$, найдите $P(\overline{A})$. Сначала решите самостоятельно, затем возьмите карточку с эталоном." | Решают индивидуально: $A \cap B = \{4,6\}$, $A \cup B = \{2,4,5,6\}$, $\overline{A}=\{1,3,5\}$. Записывают задание 2 как $\overline{A} \cap \overline{B}$ и находят $P(\overline{A})=0,3$. |
4 мин | Учитель показывает эталон на экране и комментирует: "Сначала определяем множество исходов каждого события, затем выполняем операцию. Важно не перепутать объединение с пересечением: в объединение входят исходы из обеих групп, а в пересечение — только общие. Проверьте каждую строку и поставьте знак «+» рядом с верным шагом или знак «?» рядом с местом затруднения." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных заданий и отмечают место затруднения. |
Эталон решения
Для кубика $A=\{2,4,6\}$, $B=\{4,5,6\}$. Общие элементы: $A\cap B=\{4,6\}$. Все элементы из $A$ и $B$: $A\cup B=\{2,4,5,6\}$. Дополнение к $A$: $\overline{A}=\{1,3,5\}$. Нечётное число, не большее 3, — это $\{1,3\}$, поэтому событие можно записать как $\overline{A}\cap\overline{B}$. Если $P(A)=0,7$, то $P(\overline{A})=1-0,7=0,3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная схема уже работает: определить события, выбрать операцию, перечислить исходы и проверить смысл результата. Осталось связать эти операции с вероятностями и сформулировать общий вывод урока."
Этап 7. Включение в систему знаний (4 мин)
Цель этапа: применить новые понятия к жизненному контексту и установить связь между операциями и формулой вероятности противоположного события.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает ситуацию: "В медицинском исследовании событие $A$ означает положительный результат первого теста, а событие $B$ — положительный результат второго теста. Как записать событие, при котором хотя бы один тест дал положительный результат? Как записать событие, при котором оба теста дали отрицательный результат?" | Записывают: хотя бы один положительный результат — $A \cup B$; оба отрицательных результата — $\overline{A} \cap \overline{B}$. Объясняют смысл областей диаграммы. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос повышенного уровня: "Как через противоположное событие выразить ситуацию «не произошло ни $A$, ни $B$»? Подумайте, какую роль здесь играет закон де Моргана, даже если мы пока не используем его формальное название." | Формулируют: "$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$, потому что не произошло ни одно из событий означает, что не произошло их объединение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Операции над событиями помогают описывать сложные реальные условия без длинных фраз. На следующем этапе каждый зафиксирует, что именно освоил и где ещё требуется тренировка."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и обеспечить осмысленное продолжение работы дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы уверенно различаете пересечение и объединение; жёлтую — если понимаете идею, но иногда путаете запись; красную — если нужна дополнительная работа с диаграммами. Одним предложением объясните свой выбор." | Поднимают карточку и формулируют самооценку: «Я понимаю, что пересечение — это общая часть», «Мне нужно потренироваться в противоположных событиях». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Запишите на стикере ответ на вопрос: какое событие обозначает $A \cup \overline{B}$ и какую область диаграммы нужно закрасить? Ниже напишите один вопрос, который остался после урока." Учитель собирает стикеры у выхода. | Записывают: «произошло $A$ или не произошло $B$» и кратко описывают соответствующую область; фиксируют оставшийся вопрос. |
