Квартили и урезанное среднее: устойчивые характеристики набора данных
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить первый, второй и третий квартили упорядоченного набора данных, вычислять урезанное среднее и обосновывать выбор характеристики при наличии выбросов.
- Сформировать представление о квартилях как характеристиках положения данных и о медиане как втором квартиле.
- Научиться применять алгоритм вычисления квартилей и урезанного среднего к небольшим наборам чисел и данным практического контекста.
- Развивать умение сравнивать статистические характеристики, выявлять влияние выбросов и аргументировать выводы в парной работе.
- Воспитывать ответственное отношение к интерпретации статистических данных и понимание ограничений математической модели.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение статистических методов для анализа результатов обучения, спорта, экономики и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность проверять статистический вывод, а не принимать первое числовое значение без анализа.
- Развивают учебную мотивацию через исследование реального набора данных.
- Осознают ценность сотрудничества и корректного обмена аргументами при работе в паре.
Метапредметные
- Строят алгоритм обработки упорядоченного набора данных и контролируют последовательность действий.
- Сравнивают среднее арифметическое, медиану и урезанное среднее при наличии выброса.
- Извлекают информацию из таблицы, формулируют статистический вывод и подтверждают его вычислениями.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и представляют согласованный результат.
Предметные
- Знать определения первого квартиля, медианы как второго квартиля, третьего квартиля и урезанного среднего.
- Уметь упорядочивать данные и находить квартили для наборов с нечётным и чётным числом элементов.
- Уметь вычислять урезанное среднее по заданной доле отброшенных крайних значений.
- Уметь интерпретировать квартили и выбирать более устойчивую характеристику при наличии выбросов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения статистики для работы с данными в повседневной и профессиональной жизни.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки вычислений.
- Оценивают достоверность собственного вывода с учётом влияния выбросов.
- Соблюдают нормы делового взаимодействия в паре.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования набора данных и планируют последовательность вычислений.
- Сверяют результат с эталоном, находят и исправляют ошибки в определении границ выборки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Корректируют способ решения после обсуждения с партнёром.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки квартилей и урезанного среднего.
- Классифицируют данные по положению в упорядоченном ряду.
- Моделируют влияние выброса на разные статистические характеристики.
- Используют таблицу, формулу и словесное объяснение как взаимосвязанные способы представления информации.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр, затем меняются ролями.
- Формулируют аргументированный ответ с опорой на вычисления.
- Задают партнёру вопросы о порядке действий и объясняют найденную ошибку без конфликта.
- Представляют классу общий вывод пары.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным набором данных: время выполнения задания десятью учениками и одно явно аномальное значение.
- Записать на доске тему, цель с пропусками для совместной формулировки и памятку: «сначала упорядочить ряд».
- Распечатать карточки с тремя наборами данных: по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить эталон вычислений для наборов с 8, 9 и 10 элементами.
- Подготовить маркеры двух цветов и стикеры для обозначения нижней и верхней половин ряда.
- Организовать работу в парах; на каждой парте оставить место для вычислений и проверки.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использовать встроенный калькулятор только после ручной записи формулы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование проблемы устойчивости статистических характеристик.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два набора результатов: 48, 50, 51, 52, 53 и 48, 50, 51, 52, 150. «Представьте, что это время выполнения одной и той же работы. Можно ли одним числом честно описать типичный результат? Быстро сравните наборы глазами и запишите первое предположение». | Индивидуально сравнивают ряды, записывают предположение: «Во втором ряду среднее будет сильно больше из-за значения 150». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите с соседом, какая характеристика здесь может быть надёжнее среднего. Назовите не только число, но и причину». | Обсуждают в парах, предлагают варианты: «медиана устойчивее», «крайнее значение искажает среднее», формулируют аргумент. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одного среднего иногда недостаточно. Сегодня выясним, как квартили и урезанное среднее помогают описывать данные устойчивее».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия упорядоченного ряда, среднего арифметического и медианы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску ряд 4, 7, 2, 9, 5, 7. «Что нужно сделать перед поиском медианы? Как определяется медиана при нечётном количестве элементов? А при чётном?» | Упорядочивают ряд: 2, 4, 5, 7, 7, 9; отвечают: «При чётном числе берём среднее двух центральных элементов», медиана равна 6. |
3 мин | Учитель предлагает вычислить среднее арифметическое ряда и задаёт вопрос: «Как изменится среднее, если вместо 9 записать 90? Почему?» Учитель фиксирует ответы в таблице «характеристика — реакция на выброс». | Вычисляют среднее $34/6=5{,}67$, затем обсуждают, что новое среднее увеличится; формулируют: «Среднее чувствительно к крайним значениям, медиана — значительно устойчивее». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как порядок данных влияет на медиану, и увидели влияние выброса. Теперь определим, как разделить ряд на четыре части».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно построить план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает ряд 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15. «Как найти не только середину ряда, но и границы, отделяющие примерно четверть наблюдений? Что может означать нижняя четверть и верхняя четверть?» | Предполагают: «Нужно разделить упорядоченный ряд на четыре части», «границы покажут, где находятся 25% и 75% данных». |
2 мин | Учитель принимает гипотезы и задаёт план: «Сформулируем три шага: определить квартили, проверить их на разных рядах, затем сравнить обычное и урезанное среднее. Какой вопрос нужно решить последним?» | Записывают цель: «Научиться находить квартили и урезанное среднее и выбирать характеристику для данных с выбросами». Формулируют вопрос: «Какую долю крайних значений отбрасывать?» |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нам нужен точный алгоритм, а не интуитивное деление ряда. Переходим к открытию нового способа».
Этап 4. Открытие нового знания. Работа в парах (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы нахождения квартилей и урезанного среднего через исследование конкретных рядов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с рядом 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15. «Распределите роли: вычислитель и контролёр. Найдите медиану, затем разделите ряд на нижнюю и верхнюю половины. Найдите медиану каждой половины. Контролёр проговаривает каждый шаг». | В парах находят медиану $Q_2=(7+8)/2=7{,}5$, нижний квартиль $Q_1=(5+6)/2=5{,}5$, верхний квартиль $Q_3=(10+12)/2=11$. |
3 мин | Учитель просит две пары записать решение на доске. «Сравните способы. Что называют первым и третьим квартилями? Какова доля данных ниже и выше каждого квартиля?» | Сверяют записи, формулируют: «$Q_1$ — медиана нижней половины, $Q_3$ — медиана верхней половины; примерно 25% данных расположены не выше $Q_1$, 75% — не выше $Q_3$». |
4 мин | Учитель показывает ряд 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 40. «Если отбросить по одному крайнему значению, получим урезанное среднее. Запишите формулу для этого ряда и объясните, почему результат устойчивее». На доске фиксируется $\bar{x}_{ур}=(4+5+6+7+8+9)/6$. | Вычисляют урезанное среднее $39/6=6{,}5$, обычное среднее $81/8=10{,}125$, сравнивают результаты и объясняют влияние 40. |
Запись в тетрадях
- $Q_2$ — медиана всего упорядоченного ряда.
- $Q_1$ — медиана нижней половины ряда, $Q_3$ — медиана верхней половины.
- Урезанное среднее получают после удаления заданной доли наименьших и наибольших значений, затем находят среднее оставшихся данных.
- Перед вычислением квартилей и урезанного среднего ряд необходимо упорядочить.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили алгоритмы не из готового правила, а из анализа ряда. Теперь проверим их на новых данных и научимся замечать ошибки в рассуждениях».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления квартилей и урезанного среднего с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает парную карточку: «Даны значения стоимости поездки: 120, 150, 130, 200, 160, 140, 100, 170. Упорядочьте ряд, найдите $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ и объясните, между какими значениями расположены центральные 50% данных». | Упорядочивают ряд: 100, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 200; находят $Q_1=125$, $Q_2=145$, $Q_3=165$; формулируют вывод о центральной половине. |
2 мин | Учитель просит контролёров проверить порядок действий по памятке и задаёт вопрос: «Какую ошибку совершит ученик, если найдёт квартиль до упорядочивания ряда?» | Находят ошибку: положение квартиля определяется порядком; исправляют решение партнёра. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если можете объяснить алгоритм, жёлтую — если нужна проверка, красную — если есть затруднение. Для жёлтых и красных я повторю первый шаг». | Показывают карточки, формулируют вопрос или объясняют алгоритм соседу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает для нового контекста, если мы не пропускаем упорядочивание. Теперь каждый проверит, может ли выполнить вычисления самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами и умение интерпретировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания трёх уровней. «Минимум: для ряда 5, 2, 9, 4, 7, 8, 3 найдите $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$. Базовый уровень: для ряда 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 30 вычислите среднее и урезанное среднее после удаления по одному крайнему значению. Повышенный уровень: объясните, какая характеристика лучше описывает типичный результат и почему». | Самостоятельно упорядочивают данные, выполняют вычисления, записывают промежуточные шаги и вывод. |
4 мин | Учитель открывает на экране эталон: для первого ряда $Q_1=3$, $Q_2=5$, $Q_3=8$; для второго ряда среднее $65/8=8{,}125$, урезанное среднее $35/6\approx5{,}83$. «Проверьте не только ответ, но и место возникновения ошибки. Отметьте её знаком и исправьте». | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, оценивают себя по критериям: порядок ряда, вычисления, вывод. |
Эталон решения
Для ряда 5, 2, 9, 4, 7, 8, 3 сначала получаем 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Центральное значение $Q_2=5$. Нижняя половина 2, 3, 4 даёт $Q_1=3$, верхняя половина 7, 8, 9 даёт $Q_3=8$. Для ряда 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 30 обычное среднее равно $65/8=8{,}125$. После удаления 2 и 30 остаются 3, 4, 5, 6, 7, 8; урезанное среднее равно $33/6=5{,}5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили вычислительный навык и увидели, что итог должен сопровождаться интерпретацией. Осталось зафиксировать, что именно стало новым знанием и где оно пригодится».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход. «Ответьте письменно на три вопроса: 1) Какой шаг обязателен перед поиском квартилей? 2) Чем урезанное среднее отличается от обычного? 3) Какую характеристику вы выберете для ряда с выбросом и почему?» | Индивидуально отвечают: «сначала упорядочить ряд»; «крайние значения удаляются»; «медиану или урезанное среднее, потому что выброс меньше влияет на результат». |
1 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: «Запишите одно новое понятие и один вопрос, который ещё требует разъяснения». | Записывают новое понятие и личное затруднение. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: «Выберите обязательный уровень, а при готовности добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении показывайте упорядочивание ряда». | Фиксируют задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Запись в тетрадях: домашнее задание по выбранному уровню; контрольные вопросы: «Что называют первым и третьим квартилями? Почему выброс влияет на среднее сильнее, чем на медиану? Как проверить вычисление урезанного среднего?»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно упорядочен ряд, правильно найдены все три квартили и урезанное среднее, вычисления записаны последовательно, вывод о влиянии выброса аргументирован.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий статистический вывод.
- «3» — упорядочивание выполнено, но допущены ошибки при нахождении одного или нескольких квартилей либо урезанного среднего; общий смысл характеристик объяснён частично.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
«Какой шаг алгоритма поиска квартилей нельзя пропускать?» | Проверка понимания роли упорядочивания данных. |
«Что изменилось в среднем и урезанном среднем после удаления выброса?» | Выявление понимания устойчивости статистических характеристик. |
«Где именно возникло затруднение: в порядке ряда, делении на половины или вычислении среднего?» | Диагностика конкретной точки затруднения для коррекции. |
«Какой способ работы в паре помог проверить решение?» | Оценка эффективности сотрудничества и самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть в наборе данных не только одно среднее число, но и его положение внутри ряда. Квартили показывают границы частей данных, а урезанное среднее помогает уменьшить влияние крайних значений. Типичная ошибка — искать квартиль до упорядочивания ряда, поэтому всегда начинайте с этого шага. На следующем уроке мы применим квартили для анализа разброса данных и построим интерквартильный размах».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания на упорядочивание числового ряда и нахождение $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ для рядов с чётным и нечётным числом элементов. | Закрепить алгоритм; при проверке смотреть на порядок ряда и правильное выделение половин. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на вычисление обычного и урезанного среднего, удаляя по одной паре крайних значений; письменно сравнить полученные результаты. | Закрепить вычисление и интерпретацию устойчивой характеристики; проверить наличие вывода о влиянии выброса. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный набор из 10 чисел с одним выбросом, найти квартили, обычное и урезанное среднее, затем написать рекомендацию, какую характеристику использовать для описания типичного значения. | Развить исследовательское и критическое мышление; при проверке оценить корректность данных, вычислений и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему сначала нужно упорядочить данные? Чем $Q_2$ отличается от среднего арифметического? В каком случае урезанное среднее информативнее обычного? Как выброс влияет на статистический вывод?»
