Формула сложения вероятностей. Совместные и несовместные события
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться различать совместные и несовместные события и применять формулу сложения вероятностей при решении не менее четырёх задач, объясняя выбор формулы.
- Сформулировать определения совместных и несовместных событий, а также записать общую формулу сложения вероятностей.
- Научиться выбирать способ вычисления вероятности события «A или B» по условию задачи и обосновывать наличие или отсутствие пересечения событий.
- Развивать умение анализировать условие, строить модель случайного опыта, проверять результат и аргументировать решение.
- Формировать ответственное отношение к математическому моделированию ситуаций, связанных с риском и принятием решений.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к применению вероятностных моделей в реальных ситуациях и будущей профессиональной деятельности.
- Осознают необходимость проверять математические выводы и не подменять вероятность субъективным предположением.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа решения и корректному обсуждению различных подходов.
- Понимают значение точности формулировок при описании событий и интерпретации статистической информации.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки событий и переводят текст задачи на язык вероятностных обозначений.
- Сравнивают модели, анализируют пересечение событий и устанавливают причинно-следственные связи.
- Планируют решение, осуществляют самопроверку по эталону и корректируют ошибочный способ.
- Аргументированно представляют решение в паре и участвуют в обсуждении математической модели.
Предметные
- Знать определения совместных и несовместных событий.
- Знать общую формулу сложения вероятностей: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
- Уметь применять формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ для несовместных событий.
- Уметь находить вероятность объединения событий и объяснять смысл пересечения событий.
- Уметь решать задачи с монетами, игральными костями, картами и реальными данными.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятностных моделей для анализа неопределённости.
- Проявляют самостоятельность при выборе стратегии решения.
- Оценивают собственную готовность применять формулу в новой ситуации.
- Соблюдают нормы корректного математического диалога.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и планируют последовательность решения задачи.
- Сверяют полученный результат с ограничением $0\leq P\leq1$.
- Находят ошибку в неверном решении и предлагают способ коррекции.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Классифицируют события по наличию или отсутствию общих исходов.
- Строят диаграммы Эйлера—Венна для события $A\cup B$.
- Извлекают математическую информацию из текстового условия.
- Обобщают два частных случая в общей формуле сложения вероятностей.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о смысле обозначений и условиях применимости формулы.
- Объясняют партнёру, почему события являются совместными или несовместными.
- Согласуют общий ответ в группе и приводят математическое обоснование.
- Корректно сравнивают разные решения и указывают на существенные различия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной ситуацией, двумя диаграммами Эйлера—Венна, общей формулой и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать мини-лист самооценки с пунктами «различаю события», «выбираю формулу», «проверяю результат» — по одному на ученика.
- Подготовить карточки с обозначениями $A$, $B$, $A\cap B$, $A\cup B$ — по одному комплекту на каждую группу из четырёх человек.
- Вывести на доску памятку: «или» — объединение, «и одновременно» — пересечение, «несовместные» — общих исходов нет.
- Подготовить задачу про бросок игральной кости и задачу про выбор карты из колоды для групповой работы.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты и маркеры для групп.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; предусмотреть печатную версию схем для учащихся при техническом сбое.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практический смысл различения событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулу, а выясним, почему одна и та же фраза «произошло событие A или B» иногда требует вычитания, а иногда нет. Проверьте тетради, ручки и калькуляторы; запишите дату." | Готовят рабочее место, записывают дату, настраиваются на исследование. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "При броске кубика событие A — выпало чётное число, событие B — выпало число больше 4. Можно ли просто сложить вероятности этих событий? Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ в паре." | Индивидуально формулируют предположение, обсуждают его в парах, отвечают: "Нет, число 6 относится к обоим событиям, поэтому его посчитают дважды". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что ключевым является вопрос: есть ли у событий общие исходы. Сейчас восстановим необходимые знания и точно сформулируем проблему урока."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия события, вероятности, пересечения и объединения событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют случайным событием? Как находится классическая вероятность? Какие значения может принимать вероятность?" На доске фиксирует ключевые ответы. | Отвечают: "Событие может произойти или не произойти"; "вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов"; называют диапазон от 0 до 1. |
2 мин | Учитель показывает два круга на диаграмме Венна: "Что означает пересечение A и B? Что означает объединение A и B? Прочитайте записи словами." | Подписывают схему: $A\cap B$ — «произошли A и B одновременно»; $A\cup B$ — «произошло A или B, или оба события». |
2 мин | Учитель предлагает классификацию: "Событие A — выпало число 1, событие B — выпало число 6 при одном броске кубика. Есть ли общий исход? А если A — выпало чётное число, B — выпало число больше 3?" | Отвечают: "В первом случае общего исхода нет; во втором общие исходы 4 и 6". Записывают обозначения событий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что объединение включает все исходы хотя бы одного события, а пересечение — общие исходы. Теперь выясним, как эти понятия определяют формулу сложения вероятностей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: "В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Событие A — вынут белый шар, событие B — вынут чёрный шар. Найдите вероятность A или B." Затем спрашивает: "Можно ли сложить вероятности? Что изменится, если A — белый шар, а B — шар с номером 1, если шары пронумерованы?" | Решают устно первую ситуацию, отвечают: "События несовместны". Предполагают, что во второй ситуации события могут иметь общий исход. |
2 мин | Учитель направляет Сократовский диалог: "Как узнать, есть ли общий исход? Как записать общее правило? Какой частный случай получится, если пересечение пусто?" Фиксирует цель: научиться различать случаи и выбирать формулу. | Формулируют цель: "Научиться находить вероятность объединения совместных и несовместных событий". Предлагают план: определить пересечение, записать формулу, решить задачи, проверить ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нельзя автоматически складывать вероятности. Перейдём к выводу формулы через модель объединения двух событий."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести общую формулу сложения вероятностей и установить её частный случай для несовместных событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает два пересекающихся круга и говорит: "Событие A или B включает область A и область B. Если сложить P(A) и P(B), общая часть A∩B будет посчитана два раза. Поэтому одну общую часть нужно вычесть. Запишем общий вывод: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)." | Перерисовывают диаграмму, выделяют объединение и пересечение, записывают формулу и проговаривают: "Пересечение вычитается, потому что оно посчитано дважды". |
3 мин | Учитель обращается к определению: "Если события не могут произойти одновременно, они называются несовместными. Тогда A∩B — невозможное событие, его вероятность равна нулю. Как изменится формула?" | Отвечают: "Для несовместных событий P(A∪B)=P(A)+P(B)". Записывают определение и частную формулу. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "При броске кубика A — выпало число 2, B — выпало чётное число. Найдём P(A∪B). События совместны, потому что исход 2 принадлежит обоим. P(A)=1/6, P(B)=3/6, P(A∩B)=1/6. Следовательно, P(A∪B)=1/6+3/6−1/6=3/6=1/2." Просит объяснить смысл результата. | Записывают решение, отмечают совместность событий, отвечают: "Объединение — это выпадение чётного числа, поэтому вероятность равна 1/2". |
Запись в тетрадях
Определения: совместные события могут произойти одновременно; несовместные события не имеют общих исходов. Общая формула: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Для несовместных событий: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу и увидели, что выбор зависит от пересечения событий. Теперь проверим новое правило на коротких заданиях, сначала проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм определения совместности и применения формулы в типовых ситуациях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с алгоритмом: "1. Опишите события. 2. Найдите A∩B. 3. Определите совместность. 4. Выберите формулу. 5. Проверьте результат. Выполните задания в парах и обязательно объясните выбор формулы." | Читают алгоритм, распределяют роли: один строит модель, другой проверяет вычисления. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Из колоды в 36 карт выбирают одну карту. A — карта красной масти, B — карта дамского достоинства. Найдите P(A∪B)." Напоминает: в колоде 18 красных карт, 4 дамы, 2 красные дамы. | Решают: события совместны; $P(A)=18/36$, $P(B)=4/36$, $P(A\cap B)=2/36$; получают $20/36=5/9$. |
2 мин | Учитель предлагает задачу для устной проверки: "При броске кубика A — выпало 1 или 2, B — выпало 5 или 6. Совместны ли события? Найдите P(A∪B)." Вызывает пару к доске. | Отвечают: "События несовместны, пересечение пусто"; вычисляют $P(A\cup B)=2/6+2/6=2/3$. Сверяют запись с решением у доски. |
Эталон решения
В задаче с колодой $P(A)=18/36$, $P(B)=4/36$, $P(A\cap B)=2/36$. События совместны, поэтому $P(A\cup B)=18/36+4/36-2/36=20/36=5/9$. В задаче с кубиком пересечение пусто, поэтому $P(A\cup B)=2/6+2/6=4/6=2/3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает в обоих случаях: сначала мы исследуем пересечение, а только затем выбираем формулу. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно применить правило без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение формулы и умение переносить её на новую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "Бросают кубик. A — выпало число меньше 3, B — выпало чётное число. Найдите P(A∪B)." Повышенный вариант: "Из 10 билетов 3 содержат вопрос по статистике, 4 — по вероятности, 1 билет содержит вопросы обоих разделов. Найдите вероятность выбрать билет хотя бы с одним из этих вопросов." Предлагает выбрать уровень и работать индивидуально. | Самостоятельно обозначают события, находят пересечение, записывают формулу и вычисляют вероятность. Базовый ответ: $P(A\cup B)=2/6+3/6-1/6=2/3$. Повышенный ответ: $3/10+4/10-1/10=3/5$. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Проверьте не только число, но и классификацию событий. Если решение отличается, найдите место расхождения: модель, пересечение или арифметика." | Сверяют решение по шагам, подчёркивают место ошибки, исправляют запись другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку: "Поставьте знак плюс, если самостоятельно определили совместность, и вопросительный знак, если пока путаете общую часть. Поднимите карточку светофора." | Заполняют самооценку, показывают зелёную, жёлтую или красную карточку, формулируют необходимый вопрос. |
Эталон решения
Для базовой задачи: $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,6\}$, $A\cap B=\{2\}$. Поэтому $P(A\cup B)=2/6+3/6-1/6=4/6=2/3$. Для повышенной задачи события совместны: $P(A\cup B)=3/10+4/10-1/10=6/10=3/5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что главный шаг — не вычисление, а анализ пересечения. Осталось связать формулу с общей системой знаний и сформулировать правило, которое можно применять в новых контекстах."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, связать его с математическим языком и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель просит завершить фразы: "Если в условии сказано «или», я рассматриваю... Если события несовместны, то... Если события совместны, то... Результат нужно проверить по..." | Формулируют: "объединение; складываю вероятности; вычитаю вероятность пересечения; проверяю, что число от 0 до 1". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос урока: "Почему в начале нельзя было просто сложить вероятности события «чётное число» и события «число больше 4»?" Затем просит назвать типичную ошибку. | Отвечают: "Число 6 входит в оба события и считается дважды"; называют ошибку: забыть вычесть пересечение или ошибочно считать события несовместными. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Запишите одну формулу и приведите собственный пример двух несовместных событий. Сдайте листок при выходе." | Записывают формулу и пример, например: «при броске кубика выпало 1» и «выпало 6», сдают билет. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за словом «или» объединение событий и учитывать их общую часть. На следующем уроке применим это умение в более сложных вероятностных моделях и сравним формулу сложения с формулой умножения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе самостоятельные задачи, корректно определена совместность событий, записана подходящая формула, приведено объяснение пересечения и выполнена проверка результата.
- «4» — правильно решена основная задача и определена совместность, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не меняющая способ решения.
- «3» — правильно выполнена базовая часть алгоритма или одна задача из двух, но есть затруднение при определении пересечения либо выборе формулы.
- Ниже базового уровня — ученик не различает объединение и пересечение или не может связать условие с формулой; требуется индивидуальная коррекция по диаграмме Венна.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, являются ли события совместными? | Выявление понимания роли общих исходов. |
Почему в общей формуле вычитается $P(A\cap B)$? | Проверка осознания причины двойного счёта. |
Какое действие алгоритма оказалось самым сложным? | Выявление точки затруднения для последующей коррекции. |
В какой реальной ситуации можно применить формулу сложения вероятностей? | Проверка переноса знания в функциональный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что формула сложения вероятностей описывает объединение событий, а её вид зависит от пересечения. Главная ошибка — механически складывать вероятности, не проверив, могут ли события произойти одновременно. Если общих исходов нет, вероятности складываются; если общие исходы есть, вероятность пересечения вычитается. На следующем уроке мы продолжим строить вероятностные модели и рассмотрим новые способы комбинирования событий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на формулу сложения вероятностей: 2 задачи на несовместные события и 2 задачи на совместные события с явным нахождением пересечения. | Закрепляет определения и алгоритм выбора формулы; при проверке обратить внимание на обозначение событий и обоснование совместности. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с реальным контекстом: выбор товара, результаты тестирования или случайный выбор участника; для каждой построить краткую схему и проверить, что вероятность принадлежит отрезку от 0 до 1. | Развивает математическую и читательскую грамотность; проверять перевод текста в события и корректность модели. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на совместные события, подобрать числовые данные, решить её двумя способами: через общую формулу и через перечисление благоприятных исходов. | Развивает умение создавать математическую модель и доказывать эквивалентность способов решения; проверять полноту условия и однозначность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает $A\cup B$? Что означает $A\cap B$? При каком условии можно использовать формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$? Почему в общей формуле вычитается вероятность пересечения?»
