Вероятность события в опытах с равновозможными исходами
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычислять вероятность события в опыте с конечным числом равновозможных исходов по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ — число всех исходов, а $m$ — число благоприятных исходов, и применять её при решении не менее трёх практических задач.
- Вывести и осознанно использовать формулу классической вероятности для равновозможных исходов.
- Научиться выделять пространство элементарных исходов, считать общее число исходов и число исходов, благоприятствующих событию.
- Развивать умение проверять правдоподобие ответа, использовать свойства вероятности и аргументированно объяснять ход решения.
- Формировать ответственное отношение к математическому моделированию случайных ситуаций и понимание границ применимости формулы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение вероятностных моделей для анализа реальных ситуаций, связанных с риском и принятием решений.
- Проявляют интерес к исследовательской работе и готовность самостоятельно проверять математические предположения.
- Понимают необходимость честного представления данных и недопустимость подмены вероятности субъективной уверенностью.
- Развивают учебную мотивацию, связанную с дальнейшим изучением математики и подготовкой к профессиональному обучению.
Метапредметные
- Выделяют существенные условия вероятностного опыта и переводят текстовую ситуацию на язык математической модели.
- Сравнивают теоретическую вероятность с результатами серии экспериментов и формулируют вывод о случайных отклонениях.
- Планируют решение, контролируют промежуточные вычисления и оценивают реалистичность полученного ответа.
- Аргументированно представляют решение в паре и используют математическую терминологию при обсуждении.
Предметные
- Знать понятия элементарного исхода, события, благоприятного исхода и равновозможных исходов.
- Уметь определять число всех исходов $n$ и число благоприятных исходов $m$ в простых опытах.
- Уметь вычислять вероятность события по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$ и записывать ответ в виде дроби, десятичной дроби или процента.
- Уметь применять свойства $0\leq P(A)\leq1$, $P(\overline{A})=1-P(A)$ при проверке и решении задач.
- Владеть алгоритмом решения задач на вероятность выбора, бросок игральной кости, монеты и случайное извлечение предмета.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения вероятности через связь темы с рисками, статистикой и будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа представления решения.
- Оценивают собственную готовность использовать вероятностную модель в новой ситуации.
- Соблюдают академическую честность при фиксации результатов эксперимента.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель исследования и план её достижения.
- Устанавливают соответствие между условием задачи и выбранной математической моделью.
- Проверяют, лежит ли найденная вероятность в промежутке от 0 до 1.
- Находят и исправляют ошибки в подсчёте общего числа и благоприятных исходов.
- Оценивают результат работы по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Строят множество элементарных исходов для простых случайных опытов.
- Классифицируют исходы как благоприятные и неблагоприятные относительно события.
- Используют таблицу или схему для систематического подсчёта исходов.
- Устанавливают связь между долей благоприятных исходов и вероятностью события.
- Переносят алгоритм на новую задачу с другим контекстом.
Коммуникативные УУД
- Формулируют уточняющие вопросы о равновозможности исходов.
- Объясняют партнёру, почему конкретный исход является благоприятным.
- Согласовывают общий способ подсчёта при работе в паре.
- Аргументированно защищают решение и корректно анализируют альтернативный ответ.
- Используют термины «исход», «событие», «вероятность», «равновозможный».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или один экран с изображением монеты, игральной кости и непрозрачного мешка с цветными жетонами.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе, с тремя задачами разных уровней.
- Подготовить по одной монете и одной игральной кости на пару; при отсутствии комплектов использовать изображения и виртуальный генератор случайных чисел.
- Распечатать лист наблюдений на каждого ученика: «опыт», «все исходы», «благоприятные исходы», «теоретическая вероятность», «результаты опыта».
- Разместить на доске памятку: $P(A)=\frac{m}{n}$, $0\leq P(A)\leq1$, $P(\overline{A})=1-P(A)$.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листы для билета на выход.
- Подготовить таймер, маркеры, доску или интерактивную панель и проектор.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Почему при честной монете вероятность орла равна $\frac{1}{2}$, хотя в одном броске орёл может не выпасть?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую деятельность и актуализировать связь вероятности с реальными решениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулу, а построим математическую модель случайного опыта. Подготовьте тетради, ручки и калькуляторы по необходимости. В течение урока вам потребуется объяснять не только ответ, но и способ его получения." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на исследовательскую работу. |
3 мин | Учитель показывает монету и задаёт проблемный вопрос: "Если монета честная, какова вероятность выпадения орла? Большинство сразу скажет одну вторую, но сегодня нам важно понять, почему именно так. Что нужно посчитать до применения формулы? Какие исходы считаются равновозможными? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и предложите формулировку классу." Учитель фиксирует на доске варианты «все исходы» и «подходящие исходы». | Индивидуально формулируют гипотезу, затем обсуждают её в парах и отвечают: «Есть два исхода: орёл и решка; для события “выпал орёл” подходит один исход». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже видим будущую структуру решения: перечислить возможные исходы и выделить подходящие. Теперь проверим, как эта идея работает на опыте и как записывается строго."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия случайного опыта, исхода и события, а также обнаружить типичные ошибки подсчёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран три ситуации: бросок кости, извлечение жетона из мешка, выбор одного ученика из класса. Учитель спрашивает: "Назовите случайный опыт в каждой ситуации. Что является элементарным исходом? Какие исходы образуют событие “выпало чётное число”?" Затем уточняет: "Можно ли считать исходы броска обычной игральной кости равновозможными? При каком условии нельзя применять тот же вывод к нагруженной кости?" | Называют опыты и исходы. Для кости перечисляют 1, 2, 3, 4, 5, 6; событие задают множеством {2, 4, 6}; отвечают: «Для обычной честной кости исходы считаются равновозможными, для нагруженной — нет». |
3 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с двумя утверждениями: «Вероятность выпадения числа 6 при броске кости равна $\frac{1}{6}$» и «Вероятность выпадения числа больше 4 равна $\frac{2}{6}$». Говорит: "Отметьте верные утверждения и объясните, что в каждом случае является числителем и знаменателем. Не называйте только число — восстановите смысл каждой части дроби." | Отмечают оба утверждения как верные, объясняют: «В знаменателе шесть всех равновозможных исходов, в числителе один исход для числа 6 и два исхода для чисел 5 и 6». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили язык случайного опыта и увидели, что главная трудность — не вычисление дроби, а правильный подсчёт исходов. Сформулируем задачу урока так, чтобы эту трудность преодолеть."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм вычисления вероятности для конечного числа равновозможных исходов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "В коробке лежат 10 одинаковых по размеру жетонов: 4 красных, 3 синих и 3 зелёных. Наугад извлекают один жетон. Какова вероятность события A: извлечён красный жетон? Что мы должны посчитать? Почему нельзя сразу ответить только числом 4?" Учитель принимает разные способы рассуждения и направляет вопросами. | Определяют 10 возможных исходов, если различать жетоны, и 4 благоприятных исхода. Формулируют: «Нужно сравнить число подходящих исходов с числом всех равновозможных исходов». |
2 мин | Учитель записывает на доске цель: "Научиться находить вероятность события как долю благоприятных исходов среди всех равновозможных исходов". Спрашивает: "Какие шаги помогут достичь цели? Составьте алгоритм из трёх-четырёх действий." | Предлагают алгоритм: описать исходы, посчитать общее число, посчитать благоприятные исходы, составить дробь и проверить ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель и алгоритм определены. Сейчас мы проверим их на нескольких опытах и уточним, какие условия делают формулу применимой."
Этап 4. Открытие нового знания. Вывод формулы (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить формулу классической вероятности через моделирование и анализ равновозможных исходов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам монеты и лист наблюдений: "Бросьте монету 20 раз и занесите в таблицу количество орлов и решек. Не пытайтесь подгонять результат под ожидаемый. Нас интересует честная фиксация данных." После опыта спрашивает: "У всех ли получилось ровно 10 орлов? Почему результаты различаются?" | Бросают монету 20 раз, фиксируют результаты и считают частоты. Отвечают: «Результаты различаются из-за случайности; при большом числе испытаний доля орлов обычно приближается к одной второй». |
3 мин | Учитель обращается к модели одного броска: "Перечислим пространство элементарных исходов: орёл и решка. Они равновозможны. Пусть событие A — выпадение орла. Сколько исходов всего и сколько благоприятствуют A? Как получить вероятность через долю?" Учитель записывает вывод на доске. | Называют $n=2$, $m=1$, записывают $P(A)=\frac{1}{2}$. Объясняют, что вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к количеству всех исходов. |
3 мин | Учитель формулирует: "Для опыта с конечным числом равновозможных исходов вероятность события A вычисляется по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, где $n$ — число всех исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A. Обратите внимание: формула требует равновозможности исходов. Если кубик нагружен или жетоны различаются по шансам извлечения, простая формула может быть неприменима. Запишите формулу и алгоритм." | Записывают определение и формулу. В алгоритме фиксируют: 1) описать все исходы; 2) найти $n$; 3) найти $m$; 4) вычислить $\frac{m}{n}$; 5) проверить $0\leq P(A)\leq1$ и смысл ответа. |
Запись в тетрадях
Определение: если в опыте конечное число $n$ равновозможных элементарных исходов и событию $A$ благоприятствуют $m$ исходов, то $P(A)=\frac{m}{n}$. Алгоритм: найти все исходы, определить $n$, определить $m$, вычислить вероятность, проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу не как готовое правило, а как отношение двух подсчитанных количеств. Теперь применим её сначала вместе, проговаривая каждый шаг, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на задачах с разными моделями равновозможных исходов и научиться объяснять решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель разбирает образец: "Бросают игральную кость. Найдите вероятность события A: выпало число, кратное 3. Сначала назовите все исходы, затем благоприятные. Не начинайте с дроби." Учитель фиксирует рассуждение на доске. | Называют все исходы 1, 2, 3, 4, 5, 6; благоприятные 3 и 6; записывают $n=6$, $m=2$, $P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. |
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки с задачами: "1. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад выбирают один шар. Найдите вероятность белого шара. 2. Случайно выбирают одну цифру от 1 до 9. Найдите вероятность выбрать простую цифру. 3. Бросают две монеты. Найдите вероятность того, что выпадет ровно один орёл. Для третьей задачи обязательно составьте список исходов." Учитель наблюдает, задаёт вопросы «Почему исходов именно столько?» и «Какие исходы благоприятны?». | Решают задачи в парах, распределяют роли: один составляет множество исходов, другой проверяет подсчёт. Для третьей задачи получают ОО, ОР, РО, РР; благоприятны ОР и РО; записывают вероятность $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только дробь, но и наличие обоснования. Если нашли ошибку, напишите короткое пояснение: “исправить число всех исходов” или “уточнить благоприятные исходы”." | Проверяют решения по алгоритму, отмечают две сильные стороны и одно исправление, задают вопрос автору решения при расхождении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же формула работает для жетонов, цифр, кости и двух монет, если исходы перечислены корректно. Теперь каждый проверит, способен ли самостоятельно построить модель без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на задачах базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель сообщает критерии: "Работа индивидуальная. В каждом решении должны быть обозначены все исходы или их количество, благоприятные исходы, формула и ответ. Выберите базовый вариант или повышенный, если готовы работать с дополнением." | Выбирают вариант, записывают номер и приступают к решению. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый вариант: "Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 случайно выбирают одно. Найдите вероятность числа, большего 2." Второе задание: "В коробке 8 исправных и 2 неисправные детали. Наугад выбирают одну. Найдите вероятность исправной детали." Повышенный вариант: "Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков равна 7. Представьте способ систематического подсчёта исходов." Учитель не сообщает ответ, а напоминает алгоритм на доске. | Решают индивидуально. В базовом варианте получают $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. В повышенном варианте перечисляют пары $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ и получают $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Сверьте каждую строку решения. Поставьте рядом с задачей знак “+”, если ход решения полон, или “?” напротив места, которое нужно исправить. Ошибку сначала исправьте самостоятельно." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, ставят самооценку и формулируют причину возможного затруднения. |
Эталон решения
Для суммы 7 при броске двух костей всего $n=6\cdot6=36$ упорядоченных исходов. Благоприятны шесть исходов: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, поэтому $m=6$. Следовательно, $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Ответ находится между 0 и 1, значит, дополнительная проверка свойства вероятности пройдена.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что решающий шаг — систематично описать пространство исходов. Осталось связать новое правило со свойствами вероятности и проверить, какие выводы можно делать о противоположном событии."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, проверить осознанность применения формулы и определить дальнейшую индивидуальную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить $n$ и $m$; жёлтую — если формулу применяете, но иногда ошибаетесь в подсчёте; красную — если нужно разобрать алгоритм ещё раз. Теперь рассмотрим событие A: при броске кости выпало число не меньше 5. Как найти вероятность противоположного события?" | Показывают карточки, отвечают: «Противоположное событие — выпало число меньше 5; его вероятность $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, поэтому $P(A)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одним предложением, что означает числитель $m$ в формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, и решите мини-задачу: из 10 одинаковых карточек 3 отмечены звездой. Вероятность случайно выбрать карточку со звездой?" | Записывают: «$m$ — число исходов, благоприятных событию». Решают $P(A)=\frac{3}{10}$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем при готовности добавьте повышающий или дополнительный. В записи обязательно указывайте пространство исходов, $n$, $m$, формулу и ответ. На следующем уроке мы используем эти решения для перехода к вероятности объединения и пересечения событий." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и отмечают личную цель на следующий урок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за случайной ситуацией структуру равновозможных исходов и вычислять вероятность как их долю. Проверьте себя по билету на выход и сохраните исправления из самостоятельной работы: именно они показывают следующий шаг роста."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного варианта, для каждого указаны общее и благоприятное число исходов, корректно применена формула, ответ проверен и записан с пояснением.
- «4» — верно решены не менее двух заданий из трёх либо допущена одна вычислительная ошибка при правильно построенной модели и указанном алгоритме.
- «3» — решено хотя бы одно задание с правильным определением всех исходов или благоприятных исходов, но есть ошибки в подсчёте или сокращении дроби.
- Ниже отметки «3» — не выделены исходы и не показана связь ответа с формулой; требуется повторно разобрать алгоритм на простом опыте.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в формуле $P(A)=\frac{m}{n}$ обозначают $m$ и $n$? | Проверка осознания смысла числителя и знаменателя, а не механического запоминания формулы. |
На каком шаге решения задач с двумя костями вы испытывали наибольшую трудность? | Выявление точек затруднения при построении пространства исходов. |
Как вы проверяете, что получили допустимое значение вероятности? | Проверка владения свойством $0\leq P(A)\leq1$ и навыка самоконтроля. |
В какой реальной ситуации полезно сравнивать число благоприятных исходов с числом всех исходов? | Осмысление практической ценности вероятностной модели и мотивации к дальнейшему изучению. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что в опыте с равновозможными исходами вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех возможных. Самая частая ошибка возникает не в вычислении дроби, а при неполном или двойном подсчёте исходов. Поэтому сначала описывайте модель, затем находите $n$ и $m$, и только после этого выполняйте вычисления. На следующем уроке мы рассмотрим, как находить вероятности сложных событий через их объединение, пересечение и противоположное событие."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на формулу $P(A)=\frac{m}{n}$: одну на игральную кость, одну на монету, одну на случайный выбор предмета из набора и одну на выбор цифры или числа. В каждом решении записать все исходы или их количество, благоприятные исходы и итоговую дробь. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на корректность $n$, $m$ и наличие пояснения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых требуется составить пространство исходов при броске двух монет или двух костей, найти вероятность заданного события и проверить результат через противоположное событие. | Развивает систематический подсчёт и применение свойства $P(\overline{A})=1-P(A)$; проверять отсутствие пропусков и повторов исходов. |
Продвинутый (дополнительный) | Разработать собственную вероятностную задачу из реального контекста с 10–30 равновозможными исходами, записать условие, решение и кратко объяснить, почему исходы можно считать равновозможными. | Формирует умение создавать математическую модель и обосновывать область применимости формулы; оценивать полноту условия и реалистичность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется равновозможными исходами? Как найти $n$ и $m$? В каком случае формула $P(A)=\frac{m}{n}$ неприменима? Почему вероятность всегда находится от 0 до 1?»
