Условная вероятность. Умножение вероятностей. Формула условной вероятности
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить условную вероятность события по формуле $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, применять формулу умножения вероятностей и объяснять смысл полученного результата при решении не менее трёх задач.
- Сформировать понимание того, что вероятность события может изменяться после получения дополнительной информации о другом событии.
- Научить записывать и преобразовывать формулы условной вероятности и умножения вероятностей, соблюдая область применимости формул.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выделять события $A$, $B$ и $A\cap B$, выбирать способ решения и аргументировать его в парной работе.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за результат совместной деятельности и осознанное отношение к вероятностным выводам в учебных и жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение вероятностного мышления для принятия решений в повседневной жизни, науке и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию случайных событий и готовность проверять интуитивные предположения расчётом.
- Понимают ценность точной аргументации и корректного использования статистической информации.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и принимают ответственность за математическую запись общего решения.
Метапредметные
- Выделяют из текста задачи известные данные, условия наступления события и дополнительную информацию.
- Строят математическую модель ситуации через обозначение событий и отношений между ними.
- Сравнивают независимые и зависимые события, объясняют изменение вероятности после уточнения условий.
- Используют цифровую визуализацию или электронную таблицу для проверки простейших вероятностных выводов.
- Формулируют вывод полным предложением и оценивают его соответствие условию задачи.
Предметные
- Знать смысл условной вероятности события $A$ при условии наступления события $B$.
- Знать и применять формулу $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ при $P(B)>0$.
- Уметь выводить формулу умножения вероятностей $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$ и использовать её в задачах.
- Уметь находить вероятности последовательного наступления событий, в том числе при изменении состава выборки без возвращения.
- Различать условную вероятность и безусловную вероятность, объяснять типичную ошибку смешения этих понятий.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения условной вероятности через связь с прогнозированием, медицинской диагностикой, анализом данных и задачами будущей профессии.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и готовы корректировать первоначальную интуитивную гипотезу.
- Оценивают значимость честного представления вероятностных выводов без преувеличения степени уверенности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования вероятностной ситуации и планируют последовательность решения.
- Контролируют корректность обозначений событий, знаменателя формулы и единиц вероятности.
- Проводят самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибку в рассуждении.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и формулируют индивидуальный вопрос для дальнейшей работы.
Познавательные УУД
- Анализируют отношения между событиями $A$, $B$ и $A\cap B$ на диаграмме множеств.
- Преобразуют словесное условие в формулу и обратно интерпретируют математическое выражение.
- Сравнивают решения, основанные на классическом определении вероятности и на формуле умножения.
- Проверяют гипотезу с помощью перебора исходов, таблицы или цифровой симуляции.
- Обобщают алгоритм решения задач на последовательное наступление событий.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один ученик формализует условие, второй проверяет вычисления, затем роли меняются.
- Задают уточняющие вопросы о смысле условия и аргументируют выбор формулы.
- Сопоставляют разные решения без оценивания личности партнёра.
- Представляют общий вывод класса кратко, точно и с использованием математической терминологии.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с задачей о двух последовательных извлечениях шаров, схемой событий и формулами $P(A\mid B)$ и $P(A\cap B)$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; подготовить три уровня сложности.
- Подготовить лист самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу обозначить события», «Я могу выбрать формулу», «Я могу объяснить ответ».
- Разместить на доске памятку: «1. Обозначь события. 2. Найди пересечение. 3. Определи условие. 4. Выбери формулу. 5. Проверь смысл ответа».
- Подготовить электронную таблицу или короткую интерактивную симуляцию с последовательным извлечением шаров без возвращения.
- Распечатать мини-тест для самостоятельной работы на каждого ученика: две задачи базового уровня и одну задачу повышенного уровня.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и карточки с формулами для быстрой проверки.
- Освободить проход между рядами для двухминутной физкультминутки с безопасными упражнениями для глаз, плеч и спины.
- Подготовить таймер на экране и проектор или интерактивную доску; проверить отображение математических формул и диаграммы Венна.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и показать, что дополнительная информация изменяет вероятностную оценку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто подставлять числа в формулы, а проверим, как новая информация меняет вероятность события. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. На экране вы видите вопрос: если известно, что первый выбранный шар оказался белым, изменится ли вероятность того, что второй шар тоже будет белым? Пока не вычисляйте, запишите личное предположение." | Записывают дату и тему, индивидуально фиксируют предположение: «вероятность уменьшится», «увеличится» или «останется прежней», кратко объясняют выбор. |
2 мин | Учитель показывает на экране урну с 3 белыми и 2 чёрными шарами: "Представим, что шары извлекают по одному без возвращения. Сначала ответьте интуитивно, затем мы проверим себя. Поднимите руки те, кто считает, что информация о первом шаре несущественна. Почему?" Учитель не сообщает правильный ответ, а фиксирует разные гипотезы. | Формулируют аргументы: «шаров стало меньше», «соотношение цветов изменилось», «вторая попытка зависит от первой». Слушают позиции одноклассников и отмечают собственную гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна и та же ситуация может восприниматься по-разному, если не уточнить условие. Сейчас восстановим необходимые знания и найдём способ описывать такую зависимость точно."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия события, пересечения событий и классической вероятности, выявить невозможность прямого применения прежней формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, как вычисляется вероятность события при равновозможных исходах. Запишите формулу и приведите пример. Сначала подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом одну минуту. После этого две пары представят формулировки классу." | Записывают $P(A)=\frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных исходов; в парах приводят пример с броском кубика или выбором предмета. |
3 мин | Учитель показывает диаграмму двух множеств и спрашивает: "Пусть $A$ — первый шар белый, а $B$ — второй шар белый. Как записать событие, при котором выполнены оба условия? Сколько исходов остаётся после первого белого шара? Почему формула $P(B)=\frac{3}{5}$ уже не описывает вторую ситуацию?" | Отвечают: «Оба события записываются как $A\cap B$»; «после первого белого остаётся 4 шара, из них 2 белых»; «условия изменились, поэтому число благоприятных и общее число исходов нужно считать в новой ситуации». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили пересечение событий и увидели затруднение: вероятность второго события зависит от того, что произошло сначала. Значит, нам нужно новое понятие — вероятность события при дополнительном условии."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать учебную проблему, цель и план открытия формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов в форме «Сократовского диалога»: "Что именно должно быть известно, чтобы посчитать вероятность второго белого шара? Как можно ограничить пространство исходов? Какое событие будет условием? Какая величина должна стоять в знаменателе, если мы рассматриваем только случаи, когда событие $B$ уже произошло?" | Формулируют: «Нужно знать, что первый шар белый»; «рассматривать только исходы, совместимые с $B$»; «в знаменателе должна быть вероятность события $B$». |
2 мин | Учитель предлагает завершить цель: "Сформулируйте цель урока одним предложением, используя слова «научиться», «условная вероятность» и «формула умножения». Затем вместе составим план: понять смысл, вывести формулу, применить её, проверить себя." | Записывают цель: «Научиться находить условную вероятность и вероятность совместного наступления событий». Называют этапы работы и фиксируют план в тетради. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена. Мы не будем принимать формулу на веру: сначала выведем её из уже известного определения вероятности, а затем проверим на конкретных ситуациях."
Этап 4. Открытие нового знания: вывод формул (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу условной вероятности и формулу умножения вероятностей через анализ ограниченного пространства исходов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске общую схему: "Рассмотрим событие $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Тогда нас интересуют только исходы, входящие в $B$. Благоприятными являются исходы, которые одновременно входят в $A$ и $B$, то есть $A\cap B$. Если исходы равновозможны, запишем отношение числа благоприятных исходов к числу всех допустимых исходов. Переведите это рассуждение на язык вероятностей." | По схеме формулируют: «число исходов $A\cap B$ делится на число исходов $B$». С помощью отношений вероятностей получают $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, записывают условие $P(B)>0$. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Теперь преобразуем полученную формулу. Умножьте обе части на $P(B)$. Что выражает левая часть? Почему произведение вероятности условия и условной вероятности даёт вероятность одновременного наступления событий?" Учитель подчёркивает порядок: сначала $B$, затем $A$ при условии $B$. | Преобразуют формулу: $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$. Объясняют: «вероятность попасть в условие умножается на вероятность нужного результата внутри этого условия». |
3 мин | Учитель решает модельный пример: "В коробке 3 белых и 2 чёрных шара. Первый шар извлекают без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара белые. Обозначим $A$ — первый шар белый, $B$ — второй шар белый. Выполним решение по формуле умножения и проговорим смысл каждого множителя." | Записывают решение: $P(A)=\frac{3}{5}$; после события $A$ остаются 2 белых шара из 4, поэтому $P(B\mid A)=\frac{2}{4}$; $P(A\cap B)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$. Формулируют ответ: «Вероятность того, что оба шара белые, равна $\frac{3}{10}$». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают определения и формулы: «Условная вероятность события $A$ при условии события $B$ — это вероятность события $A$, вычисленная при условии, что $B$ произошло: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, $P(B)>0$. Формула умножения: $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили две взаимосвязанные формулы. Главное сейчас — не перепутать событие в условии со всем событием, которое требуется найти. Проверим это на задачах, где решение нужно сначала обсудить, а потом записать."
Этап 5. Физкультминутка и переключение внимания (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и восстановить внимание перед решением задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Отложите ручки. Встаньте рядом с партами. Выполним короткую разминку: потянулись вверх, опустили плечи, медленно повернули голову вправо и влево, свели лопатки, посмотрели вдаль через окно, затем на кончик пальца. Все движения выполняем без рывков. Садимся, делаем спокойный вдох и возвращаемся к формулам." | Выполняют упражнения для плеч, шеи и глаз, соблюдают безопасную амплитуду движений, садятся и открывают карточки для парной работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и готовы перейти от общего вывода к самостоятельному применению формул в разных контекстах."
Этап 6. Первичное закрепление в парах и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и связать условную вероятность с анализом медицинских данных и цифровой проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах. На карточке приведена условная таблица результатов тестирования: из 100 человек 20 имеют заболевание, тест положителен у 18 заболевших и у 10 здоровых. Обозначьте события $D$ — человек болен, $+$ — тест положителен. Найдите $P(D\mid +)$. Сначала один партнёр строит модель, второй проверяет данные таблицы; через две минуты поменяйтесь ролями. Запишите не только число, но и словесный вывод." | В парах выделяют 28 человек с положительным тестом, из них 18 больны; вычисляют $P(D\mid +)=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$. Формулируют: «Среди людей с положительным результатом вероятность заболевания равна $\frac{9}{14}$, а не $\frac{18}{20}$». |
3 мин | Учитель организует проверку: "Сравним два отношения. Почему $\frac{18}{20}$ отвечает на другой вопрос? Что является условием в нашем задании? Откройте электронную таблицу или посмотрите на экран: в ней выделены только строки с положительным тестом. Проверьте, совпадает ли цифровой подсчёт с вашим решением." | Представляют решения, объясняют: «$\frac{18}{20}$ — доля положительных тестов среди заболевших, это $P(+\mid D)$; в задаче требуется $P(D\mid +)$». Сверяют результат с электронной таблицей и исправляют обозначения при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Одинаковые символы в условии могут стоять в разном порядке, но смысл вероятности меняется. В следующем этапе каждый решит задачи самостоятельно и покажет, умеет ли он выбирать правильное направление условной вероятности."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формул и обеспечить дифференциацию по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт мини-тест: "Работаем индивидуально. Задание 1: известно, что $P(A\cap B)=0{,}18$ и $P(B)=0{,}6$. Найдите $P(A\mid B)$. Задание 2: вероятность первого успеха равна $0{,}7$, а вероятность второго успеха при первом равна $0{,}4$. Найдите вероятность двух успехов. Для тех, кто готов продолжить, задание 3: объясните, почему при независимых событиях $P(A\mid B)=P(A)$. На работу пять минут." | Индивидуально решают задания: $P(A\mid B)=0{,}18:0{,}6=0{,}3$; $P(A\cap B)=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$. В дополнительном задании записывают объяснение через независимость событий. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Проверьте не только ответ, но и три позиции: правильно ли обозначены события, тот ли множитель стоит первым, есть ли словесный вывод. Отметьте зелёным верное, жёлтым — требующее исправления, красным — непонятное. Если обнаружили ошибку, рядом запишите её причину." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, используют приём «Светофор», формулируют индивидуальный вопрос при красной или жёлтой отметке. |
Эталон решения
Задание 1: по формуле $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ получаем $P(A\mid B)=\frac{0{,}18}{0{,}6}=0{,}3$. Задание 2: по формуле умножения $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$, поэтому $P(A\cap B)=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$. Важно сохранить смысл условной вероятности: вероятность второго успеха вычисляется уже после наступления первого.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось включить новое знание в общую систему: сравнить формулы, увидеть связь с независимостью событий и сформулировать правило, которое поможет избежать ошибок."
Этап 8. Обобщение, межпредметная связь и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, соотнести условную вероятность с независимостью и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить на доске схему: "Закончите три фразы: если известно событие $B$, то пространство исходов…; формула условной вероятности…; если события независимы, то…" Затем задаёт межпредметный вопрос: "Где ещё важно отличать вероятность причины при условии результата от вероятности результата при условии причины?" | Формулируют: «пространство исходов сужается»; «$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$»; «$P(A\mid B)=P(A)$». Называют диагностику, анализ данных, машинное обучение, страхование. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "За одну минуту напишите: какой шаг алгоритма стал понятен, какая ошибка кажется опасной и какой вопрос вы хотели бы проверить на следующем уроке. Затем поставьте в листе самооценки отметку напротив трёх умений." | Пишут краткую рефлексию, отмечают освоенные умения, формулируют затруднение: «путаю $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$», «не всегда понимаю, какое событие является условием». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели формулы, применили их к выборке шаров и данным тестирования, а также увидели связь с независимостью событий. Теперь зафиксируем критерии работы, домашнее задание и главный вывод урока."
Этап 9. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: в рамках заключительной части урока сообщить критерии оценивания, домашнее задание и контрольные вопросы. Основное время этапа включено в рефлексию и организационный переход к следующему занятию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание с доски. Перед выходом мысленно ответьте на три контрольных вопроса: что является условием в записи $P(A\mid B)$, какую вероятность нужно умножить на условную, чтобы получить $P(A\cap B)$, и чем отличается $P(A\mid B)$ от $P(B\mid A)$?" | Записывают разноуровневое домашнее задание, устно отвечают на контрольные вопросы: «условие — $B$», «$P(B)$ умножается на $P(A\mid B)$», «это разные условные вероятности и обычно разные числа». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе обязательные задачи и дополнительная задача либо дано полное объяснение независимости; корректно обозначены события, записаны формулы, выполнены вычисления и сформулированы словесные выводы.
- «4» — верно решены обе обязательные задачи, но допущена одна неточность в записи обозначений, преобразовании или словесном объяснении, не повлиявшая на основной результат.
- «3» — верно решена одна обязательная задача и начато решение второй; ученик узнаёт формулу, но допускает ошибку в выборе условия, вычислении или интерпретации ответа.
- Ниже базового уровня — формула выбрана без учёта условия, отсутствуют обозначения событий и не представлен проверяемый ход решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вероятности события при дополнительном условии? | Выявление осознания смысла условной вероятности и сужения пространства исходов. |
Как определить, какое событие стоит в условии записи $P(A\mid B)$? | Проверка понимания направления условной вероятности и предупреждение типичной ошибки. |
На каком шаге решения вы сегодня испытывали наибольшее затруднение? | Выявление точек затруднения в обозначении событий, выборе формулы или вычислении. |
Где условная вероятность может быть полезна вне уроков математики? | Оценка переноса знания в межпредметный и жизненный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что дополнительная информация не просто сопровождает задачу, а меняет пространство рассматриваемых исходов. Мы вывели формулу $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ и получили формулу умножения вероятностей. Самая частая ошибка — перепутать $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$, поэтому всегда проговаривайте условие словами. Дома закрепите алгоритм на задачах разного уровня. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные последовательности событий и научимся строить вероятностные модели."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на прямое применение формулы условной вероятности и формулы умножения: две задачи с данными вероятностей и две задачи на последовательный выбор без возвращения. В каждой задаче обозначить события и записать словесный ответ. | Закрепляет алгоритм выбора формулы и проверяет, понимает ли ученик смысл условия в записи $P(A\mid B)$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи по таблицам или описаниям данных, включая задачу на различение $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$, и составить к одной задаче обратный вопрос с другим условием. | Развивает читательскую и математическую грамотность, умение анализировать данные и менять направление условной вероятности. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную вероятностную модель из реального контекста: диагностика, прогноз погоды, контроль качества или спортивная статистика. Задать два события, вычислить условную вероятность и объяснить, что означает результат. | Развивает исследовательское и креативное мышление, умение применять формулы в межпредметной ситуации и корректно интерпретировать число. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как читается запись $P(A\mid B)$? Почему в формуле условной вероятности знаменатель равен $P(B)$? Как получить вероятность совместного наступления событий? В каком случае условная вероятность совпадает с безусловной?»
