Формула сложения вероятностей
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового способа вычисления вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране ситуацию: «При броске игральной кости нужно найти вероятность того, что выпадет число 1 или число 6. Как вы будете действовать? Сегодня нам важно не только получить ответ, но и понять, почему в одних случаях вероятности складываются, а в других появляется дополнительное слагаемое». | Открывают тетради, записывают дату и тему, формулируют первые предположения: «Нужно сложить вероятности выпадения 1 и 6». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно. Затем обсудите с соседом, могут ли оба события произойти одновременно. После этого одна-две пары объяснят свой ответ классу». | Сначала размышляют индивидуально, затем обсуждают в паре и формулируют вывод: «На одном броске одновременно 1 и 6 выпасть не могут, поэтому события несовместны». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели простую ситуацию, где сложение вероятностей кажется очевидным. Сейчас проверим, всегда ли можно складывать вероятности напрямую и что делать, если события могут произойти одновременно».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия события, объединения, пересечения и вероятности равновозможных исходов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три вопроса: «Что называют событием? Что означает $A\cup B$? Что означает $A\cap B$? Запишите короткие ответы, затем сравните их с ответом партнёра». | Записывают определения и обсуждают их в парах; отвечают: «Событие — утверждение, которое в результате опыта может произойти или не произойти»; «$A\cup B$ — произошло хотя бы одно из событий»; «$A\cap B$ — произошли оба события». |
2 мин | Учитель предлагает задачу: «При броске кубика событие $A$ — выпало чётное число, событие $B$ — выпало число, большее 4. Перечислите исходы событий $A$, $B$, $A\cap B$ и $A\cup B$». | Записывают: $A=\{2,4,6\}$, $B=\{5,6\}$, $A\cap B=\{6\}$, $A\cup B=\{2,4,5,6\}$. Вычисляют соответствующие вероятности. |
2 мин | Учитель спрашивает: «Сравните вероятность объединения с суммой вероятностей $P(A)+P(B)$. Почему число 6 оказалось посчитано дважды?» На доске фиксирует затруднение: при совместных событиях пересечение нельзя учитывать два раза. | Объясняют: «Исход 6 входит и в $A$, и в $B$, поэтому при сложении вероятностей он учитывается дважды». Формулируют вопрос: «Как убрать повторный учёт пересечения?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили смысл объединения и пересечения и нашли причину затруднения — общий исход учитывается дважды. Теперь поставим цель: вывести формулу, которая будет работать и для несовместных, и для совместных событий».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и алгоритм исследования формулы сложения вероятностей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: «Сформулируйте проблему одним предложением. Почему для несовместных событий достаточно сложить вероятности, а для совместных нужно исправить результат? Какие действия помогут нам ответить?» Учитель записывает предложения учащихся на доске. | Формулируют проблему: «Нужно установить общий закон вычисления вероятности объединения событий». Предлагают план: «Рассмотреть диаграмму, вывести формулу, проверить её на задаче». |
2 мин | Учитель уточняет цель: «К концу урока каждый должен уметь по условию определить совместимость событий, выбрать формулу и объяснить, почему из суммы вычитается вероятность пересечения. Работаем исследовательски: сначала гипотеза, затем проверка». | Записывают цель урока и алгоритм исследования; распределяют в парах роли «объясняющий» и «проверяющий». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена, план работы принят. Переходим к главному — самостоятельно восстановим формулу по модели, а затем проверим её на конкретных задачах».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу сложения вероятностей для совместных событий и получить частный случай для несовместных событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель рисует на доске два пересекающихся круга и говорит: «Круг $A$ обозначает все исходы события $A$, круг $B$ — все исходы события $B$. Объединение занимает оба круга. Что произойдёт, если мы сложим площади кругов? Посмотрите на пересечение: какая область посчитается дважды?» | Рассматривают диаграмму, указывают на общую часть и отвечают: «Область $A\cap B$ будет учтена дважды, поэтому её нужно вычесть один раз». |
3 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: «Запишите сначала сумму $P(A)+P(B)$. Как убрать повторный учёт? Как будет выглядеть формула для $P(A\cup B)$? Сравните запись с партнёром и объясните каждый знак». | В парах записывают и проговаривают формулу: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Объясняют: «Из суммы вычитаем вероятность общего события, потому что оно посчитано дважды». |
2 мин | Учитель показывает случай несовместных событий: «Если события не могут произойти одновременно, чему равна вероятность $A\cap B$? Подставим это значение в общую формулу». На доске фиксирует частный случай. | Отвечают: «$A\cap B$ — невозможное событие, поэтому $P(A\cap B)=0$». Получают формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить вывод на ситуации с кубиком: «Пусть $A$ — выпало чётное число, $B$ — число больше 4. Подставьте значения и сравните результат с перечислением исходов». | Выполняют проверку: $P(A)=3/6$, $P(B)=2/6$, $P(A\cap B)=1/6$, поэтому $P(A\cup B)=3/6+2/6-1/6=4/6=2/3$. Сравнивают с четырьмя благоприятными исходами из шести. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Записывают: «Для любых событий $A$ и $B$: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Если события несовместны, то $P(A\cap B)=0$, поэтому $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Алгоритм: 1) обозначить события; 2) определить, совместны ли они; 3) найти вероятность пересечения при необходимости; 4) применить формулу; 5) проверить ответ».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели общую формулу и увидели, что формула для несовместных событий является её частным случаем. Теперь проверим понимание на коротких задачах, где важно не только посчитать, но и назвать причину выбора формулы».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание совместных и несовместных событий и применение формулы в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «В урне 10 шаров: 4 белых, 3 чёрных и 3 красных. Событие $A$ — вынут белый шар, событие $B$ — вынут красный шар. Найдите $P(A\cup B)$ и объясните, почему события несовместны». Напоминает: «Один ученик объясняет, второй проверяет запись по алгоритму». | В парах обозначают события, определяют их как несовместные, решают: $P(A\cup B)=4/10+3/10=7/10$. Проверяющий задаёт вопрос: «Могут ли шар одновременно быть белым и красным?» |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: «Из 20 учащихся 12 изучают английский язык, 8 — немецкий, а 5 изучают оба языка. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся изучает английский или немецкий язык». Просит сначала назвать события и формулу, не выполняя вычислений. | Пары записывают $P(A)=12/20$, $P(B)=8/20$, $P(A\cap B)=5/20$, выбирают общую формулу и вычисляют: $P(A\cup B)=12/20+8/20-5/20=15/20=3/4$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три позиции: указана ли совместимость, записана ли нужная формула, объяснено ли вычитание пересечения. Поставьте две звезды и одно пожелание». | Проверяют решение другой пары, отмечают две сильные стороны и формулируют одно пожелание, например: «Добавьте пояснение, почему события совместны». |
Эталон решения
В задаче об учащихся: 1) $A$ — учащийся изучает английский язык, $B$ — немецкий язык. 2) События совместны, так как 5 учащихся изучают оба языка. 3) Применяем формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. 4) Получаем $P(A\cup B)=12/20+8/20-5/20=15/20=3/4$. 5) Ответ $3/4$ принадлежит отрезку $[0;1]$ и соответствует 15 учащимся из 20.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы увидели, что ключевой шаг — не само вычисление, а анализ отношений между событиями. Теперь каждый самостоятельно решит задания и покажет, может ли применить алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение формулы сложения вероятностей и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: «При броске кубика событие $A$ — выпало число 2, событие $B$ — выпало чётное число. Найдите $P(A\cup B)$». Средний вариант: «В классе 30 учащихся, 18 посещают спортивную секцию, 12 — музыкальную, 7 посещают обе. Найдите вероятность случайно выбрать учащегося, посещающего хотя бы одну секцию». Повышенный вариант: «Из 100 изделий 6 имеют дефект $A$, 8 — дефект $B$, 2 имеют оба дефекта. Найдите вероятность отсутствия обоих дефектов». | Индивидуально решают выбранный или назначенный вариант, обязательно записывают события, указывают совместимость, формулу и ответ. Выполняют проверку диапазона вероятности. |
2 мин | Учитель выводит эталон: «Сверьте не только число, но и модель. Если ошибка есть, подчеркните место, где вы неверно определили совместимость или забыли вычесть пересечение. Исправление запишите рядом с первоначальным решением». | Сверяют решение с эталоном, находят расхождение, исправляют его и кратко записывают причину ошибки. |
2 мин | Учитель проводит формирующее оценивание «Светофор»: «Покажите цвет: зелёный — могу выбрать формулу самостоятельно, жёлтый — нужна проверка на совместность, красный — пока затрудняюсь». По результатам предлагает двум ученикам с жёлтым сигналом задать уточняющий вопрос. | Показывают карточку цвета, формулируют личное затруднение: «Не всегда понимаю, является ли пересечение возможным» или «Ошибся в задаче на дополнение события». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без пошаговой подсказки. Осталось включить формулу в систему знаний и проверить, как она работает в задаче, где удобнее рассуждать через противоположное событие».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ действия, осмыслить результат урока и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает обобщающий вопрос: «Когда формула сложения превращается в простое сложение? Что означает вычитание $P(A\cap B)$? Назовите пять шагов алгоритма». Затем показывает на доске краткую схему. | Отвечают: «Простое сложение используется для несовместных событий»; «пересечение вычитается, чтобы общий исход не считать дважды». Восстанавливают алгоритм по памяти. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Запишите одну формулу, приведите пример совместных событий и ответьте на вопрос: почему нельзя всегда использовать $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$?» | Заполняют билет на выход: записывают общую формулу, пример и объяснение двойного учёта пересечения. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: «Выберите уровень, ориентируясь не на оценку, а на честную самооценку. Важно оформить рассуждение, а не только ответ». | Записывают выбранный уровень задания и отмечают в листе самооценки, какой шаг алгоритма требует повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы вывели формулу сложения вероятностей, научились различать совместные и несовместные события и увидели, как пересечение влияет на результат. Проверьте себя по билету на выход и сохраните его для повторения перед следующей темой».
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи объединения и пересечения событий? | Выявление осознания смысла общей формулы, а не только её механического запоминания. |
Как вы определяете, какую формулу сложения вероятностей использовать? | Проверка понимания ключевого шага алгоритма и выявление типичных ошибок. |
На каком этапе решения вы сегодня затруднились больше всего? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Можете ли вы объяснить партнёру, почему из суммы вычитается $P(A\cap B)$? | Проверка способности аргументировать математическое рассуждение и переносить знание. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы не просто запомнили формулу сложения вероятностей, а вывели её из идеи двойного учёта общих исходов. Помните: прежде чем складывать вероятности, нужно определить, могут ли события произойти одновременно. Типичная ошибка — использовать формулу для несовместных событий, когда пересечение на самом деле существует. На следующем уроке мы продолжим применять вероятностные формулы к более сложным моделям и рассмотрим связь событий с условной вероятностью».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на формулу сложения вероятностей: 2 задачи на несовместные события и 2 задачи на совместные события; в каждой задаче обозначить события и указать выбранную формулу. | Закрепляет распознавание типа событий и базовое применение формул; при проверке смотреть на обоснование совместимости и корректность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с практическим контекстом: выбор учащегося по двум признакам, результаты опроса или контроль качества изделий. Минимум в двух задачах найти $P(A\cap B)$ и применить общую формулу. | Развивает математическую и читательскую грамотность; при проверке оценивать перевод текста в обозначения и объяснение вычитания пересечения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на совместные события с числовыми данными, решить её двумя способами — по формуле сложения и через подсчёт исходов или дополнение события — и сравнить результаты. | Формирует умение создавать математическую модель и оценивать эквивалентность способов решения; при проверке смотреть на реалистичность данных и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается общая формула сложения вероятностей? В каком случае пересечение событий имеет вероятность 0? Почему при совместных событиях вероятность пересечения вычитается один раз? Какой первый шаг алгоритма нужно выполнить перед подстановкой чисел?»
