Дерево вероятностей: решение задач на последовательные события
Цели и задачи
- Цель урока: к концу 40-минутного занятия научиться строить дерево вероятностей для последовательности зависимых и независимых событий и с его помощью решать не менее двух задач формата задания №5 ЕГЭ профильного уровня с обоснованием каждого шага.
- Сформировать понимание того, что вершины дерева соответствуют этапам случайного эксперимента, ветви — возможным исходам, а вероятности на ветвях — условным вероятностям.
- Научить применять правило умножения вероятностей вдоль пути и правило сложения вероятностей нескольких несовместимых путей.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выделять этапы эксперимента, проверять полноту дерева и оценивать реалистичность полученного ответа.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому обоснованию решения и уверенность при выполнении заданий экзаменационного формата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностных моделей для анализа последовательных испытаний и принятия решений.
- Проявляют готовность проверять собственное решение, а не ограничиваться получением числового ответа.
- Связывают освоенный способ решения с будущей учебной и профессиональной деятельностью, включая подготовку к ЕГЭ.
Метапредметные
- Выделяют в текстовой задаче последовательность событий, существенные данные и требуемый исход.
- Строят и читают графическую модель случайного эксперимента, преобразуя текстовую информацию в дерево.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по независимому способу и корректируют ошибки.
- Аргументируют выбор формулы, взаимодействуют в паре и кратко представляют ход рассуждения.
Предметные
- Знать смысл дерева вероятностей, условной вероятности и вероятности пути.
- Уметь строить дерево для двух последовательных испытаний с возвращением и без возвращения объекта.
- Уметь находить вероятность конкретного пути как произведение вероятностей его ветвей.
- Уметь находить вероятность события как сумму вероятностей всех подходящих путей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают значение точной записи условий и промежуточных вычислений для надёжности математического решения.
- Формируют внутреннюю готовность спокойно анализировать сложную задачу экзаменационного формата.
- Оценивают собственную уверенность в построении дерева и определяют способ дальнейшего улучшения результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и планируют последовательность действий: этапы эксперимента — ветви — пути — итоговая вероятность.
- Контролируют полноту дерева, проверяя, что суммы вероятностей исходящих ветвей равны 1.
- Сопоставляют свой ответ с эталоном, находят причину ошибки и исправляют её.
- Оценивают время и качество выполнения задания в условиях ограниченного времени.
Познавательные УУД
- Моделируют последовательный случайный эксперимент с помощью дерева вероятностей.
- Различают независимые и зависимые испытания по изменению вероятностей на следующих этапах.
- Применяют правило умножения вероятностей вдоль пути и правило сложения вероятностей нескольких путей.
- Проверяют результат через дополнение до единицы или объединение всех возможных исходов.
Коммуникативные УУД
- Объясняют напарнику, почему выбранная ветвь имеет указанную вероятность.
- Согласовывают в паре структуру дерева и распределяют действия при решении задачи.
- Задают уточняющие вопросы к условию и аргументируют исправление ошибочной схемы.
- Представляют решение кратко, используя математические термины и последовательные формулировки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой дерева для двух испытаний: первый этап, второй этап, исходы «успех» и «неуспех».
- Распечатать карточки с двумя задачами формата задания №5 ЕГЭ: по одной карточке на пару и три дополнительных карточки для дифференциации.
- Подготовить индивидуальный лист самопроверки с алгоритмом: выделить этапы, построить ветви, подписать вероятности, перемножить вдоль пути, сложить подходящие пути.
- Раздать каждому ученику лист с заготовками двух деревьев: пустые вершины и ветви для задач с возвращением и без возвращения.
- Подготовить карточки трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёная — понял, жёлтая — есть вопрос, красная — нужна помощь.
- Вывести на доску памятку: «Путь — умножение; разные пути — сложение; все ветви из вершины — сумма 1».
- Подготовить таймер, маркеры, калькулятор для проверки арифметики и проектор или интерактивную доску.
- Заранее записать на доске тему урока и две короткие ситуации: «два независимых испытания» и «выбор без возвращения».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую задачу и показать, зачем последовательность вероятностей удобно изображать графически.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске ситуацию: «Представьте, что система проходит две проверки подряд. На каждой проверке возможен успех или отказ. Как быстро найти вероятность итогового события, если вариантов несколько? Сегодня мы не будем запоминать длинную теорию: построим маршрут событий и по нему получим ответ». | Записывают дату и тему, формулируют предположение: «Нужно перечислить все возможные последовательности исходов». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала за 30 секунд подумайте, какие исходы возможны при двух испытаниях, затем обсудите с соседом и назовите их классу. Не пропускайте порядок событий: первый и второй исход могут различаться». | Индивидуально перечисляют исходы, затем в парах обсуждают и называют: «Успех–успех, успех–неуспех, неуспех–успех, неуспех–неуспех». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что при двух испытаниях возникают четыре последовательности. Сейчас превратим этот список в удобную схему, на которой будут видны и исходы, и их вероятности».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать правила сложения и умножения вероятностей и обнаружить необходимость учитывать условие следующего испытания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: «Вспомним два правила. Если нам нужен один последовательный маршрут, например успех сначала и успех затем, какое действие выполняем? Если подходят два разных маршрута, например успех–неуспех и неуспех–успех, как объединяем их? Запишите коротко два правила на черновике». | Отвечают: «Вероятности последовательных событий перемножаем» и «Вероятности несовместимых вариантов складываем». |
3 мин | Учитель предлагает устную задачу: «В первом испытании вероятность успеха равна 0,6, во втором — 0,5. Найдите вероятность двух успехов, если испытания независимы». Затем спрашивает: «А если второй объект выбирается без возвращения, останется ли вероятность второго успеха такой же? От чего она будет зависеть?» | Вычисляют $0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3$. Обсуждают, что без возвращения вероятность второго исхода зависит от результата первого испытания и от изменившегося состава объектов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правило умножения у нас уже есть, но для зависимых испытаний нужно правильно записать вероятность на каждом следующем шаге. Значит, нам нужна схема, которая показывает изменение условий после каждого исхода».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать алгоритм построения дерева вероятностей и критерии правильного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает незаполненную схему: «Перед нами начальная точка. От неё отходят ветви первого испытания. От каждой полученной точки отходят ветви второго испытания. Как назовём такую схему? Что нужно подписать на ветвях, чтобы по ней можно было считать?» | Формулируют: «Дерево вероятностей». Предлагают подписать исходы и их вероятности. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм и спрашивает: «Какую цель поставим на урок? Сформулируйте её так, чтобы можно было проверить результат». После ответов уточняет: «Нам важно не просто нарисовать дерево, а решить с его помощью экзаменационную задачу». | Формулируют цель: «Научиться строить дерево вероятностей и находить вероятность нужного события по подходящим путям». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наш план таков: сначала выделяем этапы, затем рисуем ветви и подписываем вероятности, после этого перемножаем вероятности вдоль нужных путей и складываем полученные значения. Проверим этот план на конкретной задаче».
Этап 4. Открытие нового знания через разбор модели (8 мин)
Цель этапа: вывести способ построения дерева для независимых и зависимых испытаний на содержательной задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «В коробке находятся 3 исправные и 2 неисправные детали. Наугад выбирают одну деталь, возвращают её в коробку, а затем выбирают вторую. Найдите вероятность того, что ровно одна из двух выбранных деталей окажется исправной». Учитель просит: «Сначала не считайте. Нарисуйте корень дерева и две ветви первого выбора. От каждой ветви проведите ветви второго выбора и подпишите вероятности». | В парах строят дерево. Подписывают на первом уровне $3/5$ и $2/5$, на втором уровне при возвращении те же вероятности $3/5$ и $2/5$. Выделяют пути «исправная–неисправная» и «неисправная–исправная». |
2 мин | Учитель спрашивает: «Почему на втором уровне вероятности не изменились? Что означает возвращение детали? Как найти вероятность каждого выделенного пути?» На доске записывает: $P(И,Н)=\frac35\cdot\frac25$, $P(Н,И)=\frac25\cdot\frac35$. | Объясняют: «После возвращения состав коробки прежний, поэтому испытания независимы». Перемножают вероятности на каждом пути. |
2 мин | Учитель меняет условие: «Теперь первую деталь не возвращают. Что изменится в правой части дерева?» Показывает две ветви второго уровня и просит пары объяснить значения. | Исправляют дерево: после исправной детали остаётся 2 исправные и 2 неисправные, после неисправной — 3 исправные и 1 неисправная. Формулируют условные вероятности $2/4$, $2/4$, $3/4$, $1/4$. |
Запись в тетрадях
Записать: «Дерево вероятностей — схема последовательного случайного эксперимента. Вероятность пути равна произведению вероятностей его ветвей. Вероятность события равна сумме вероятностей всех путей, приводящих к этому событию. При выборе без возвращения вероятности на следующих ветвях изменяются».
Эталон решения
Для варианта с возвращением: $P(ровно\ одна\ исправная)=P(И,Н)+P(Н,И)=\frac35\cdot\frac25+\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}+\frac6{25}=\frac{12}{25}=0{,}48$. Для варианта без возвращения: $P(И,Н)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}$, $P(Н,И)=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}$, поэтому $P=\frac3{10}+\frac3{10}=\frac35=0{,}6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли главное различие. При возвращении дерево на втором уровне повторяет первый уровень, а без возвращения вероятности зависят от первого результата. Теперь применим алгоритм к задаче, близкой к формату ЕГЭ, и будем постепенно убирать подсказки».
Этап 5. Первичное закрепление: задача формата задания №5 ЕГЭ (7 мин)
Цель этапа: закрепить построение дерева и нахождение вероятности события по нескольким подходящим путям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку: «Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,050,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,950,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,010,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.». Учитель просит назвать этапы и возможные пути, не выполняя вычислений. | Решение: |
3 мин | Учитель направляет вопросами: «Какие вероятности/события стоят на первом уровне? Какие — на втором? Почему второй выбор не зависит от первого, если партии разные? Запишите два произведения и объедините их знаком сложения». | Сначала - идет вид батарейки, а после система начинает проводить контроль качества на наличие брака. |
2 мин | Учитель демонстрирует эталон на доске: «Проверьте не только число, но и структуру записи. В решении должны быть видны оба подходящих пути». Организует взаимопроверку по чек-листу: дерево, вероятности, произведение, сумма, ответ. | P(A)=0,01⋅0,95+0,95⋅0,05=0,057. |
Эталон решения
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В этой задаче дерево помогло не потерять один из двух вариантов. Чем точнее мы перечисляем подходящие пути, тем надёжнее решение. Следующее задание вы выполните самостоятельно, выбрав уровень сложности».
Этап 6. Работа у доски (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом на задаче экзаменационного формата и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Задача: Изготовление стеклянных колб для лампочек завершается отжигом в печи и проверкой качества. Вероятность того, что колба окажется с дефектом, равна 0,02.0,02. Вероятность того, что проверкой качества будет забракована колба с дефектом, равна 0,970,97. Вероятность того, что по ошибке будет забракована колба без дефекта, равна 0,010,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная колба для лампы окажется забракованной. | 0,98⋅0,01+0,97⋅0,02=0,0098+0,0194=0,0292. |
5 мин | Задача: Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 35%35% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 15%15% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 30%30% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. | 0,35x+0,15y=0,3(x+y);0,35x+0,15y=0,3x+0,3y;0,35x−0,3x=0,3y−0,15y;0,05x=0,15y;x=3y. |
3 мин | Задача: Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. | 0,32. |
Эталон решения
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство ошибок возникает не в умножении, а раньше — при выборе путей или при переносе вероятности на следующую ветвь. Сейчас быстро проверим, умеете ли вы распознавать эти ошибки и объяснять их».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, проверить понимание типичных ошибок и определить готовность применять дерево в новых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три утверждения: «1. Вероятности вдоль одного пути складываются. 2. Если подходят два несовместимых пути, их вероятности складываются. 3. При выборе без возвращения вероятности второго этапа могут измениться». Просит поднять карточку «верно» или «неверно» и кратко обосновать. | Отмечают: первое утверждение неверно, второе и третье верны. Объясняют: «Вдоль пути вероятности перемножаются». |
2 мин | Учитель проводит мини-рефлексию: «Закончите фразу: “Чтобы решить задачу с деревом вероятностей, я сначала…, затем…, в конце…”. Назовите один вопрос, который нужно проверить перед сдачей решения». | Формулируют алгоритм: «Сначала выделяю этапы и строю дерево, затем подписываю вероятности и считаю пути, в конце складываю подходящие пути и проверяю ответ». Называют проверку полноты дерева и суммы вероятностей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы превратили последовательность случайных событий в понятную схему и использовали её для решения задач формата ЕГЭ. Осталось зафиксировать результат и выбрать домашний уровень для дальнейшей тренировки».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно построено дерево, подписаны все вероятности, выделены все подходящие пути, выполнены умножение и сложение; получен правильный ответ как минимум в двух задачах урока.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна арифметическая или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание структуры решения.
- «3» — выделены этапы эксперимента и хотя бы один подходящий путь, но допущена ошибка в условной вероятности, выборе путей или итоговом сложении; после подсказки решение корректируется.
- Ниже «3» — дерево не построено либо отсутствует связь между условием, ветвями и вычислениями; требуется индивидуальная отработка алгоритма по одной аналогичной задаче.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в дереве вероятностей обозначают вершины, ветви и пути? | Проверка понимания структуры математической модели. |
Как определить, какие пути нужно сложить в задаче? | Выявление умения переводить формулировку события в набор подходящих исходов. |
В какой момент изменяются вероятности на следующих ветвях? | Проверка различения независимых испытаний и выбора без возвращения. |
Какую ошибку вы сегодня обнаружили и как её исправили? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции решения. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы научились видеть в задаче не набор случайных чисел, а последовательность событий. Дерево помогает не потерять возможный исход: вдоль одного пути мы перемножаем вероятности, а подходящие разные пути складываем. Типичная ошибка — использовать одну и ту же вероятность на втором этапе, не проверив, изменились ли условия выбора. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых дерево будет частью более сложной вероятностной модели».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Баскетболист два раза бросает мяч в кольцо. При первом броске вероятность попадания равна 0,4. Если баскетболист промахнулся при первом броске, то при втором броске вероятность попадания не меняется, а если попал в кольцо, то при втором броске вероятность попадания равна 0,7. Какова вероятность того, что баскетболист попадёт мячом в кольцо ровно один раз? | 0,36. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что выполняем вдоль одного пути? Что делаем, если событие достигается несколькими путями? Как понять, что вероятность на следующем этапе изменилась? Назовите три шага алгоритма построения дерева вероятностей».
