Умножение и деление смешанных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться умножать и делить смешанные числа, преобразуя их в неправильные дроби, и применять алгоритмы при решении не менее трёх заданий из четырёх.
- Закрепить умение представлять смешанное число в виде неправильной дроби и сокращать дроби.
- Сформировать умение выбирать и применять алгоритм умножения или деления смешанных чисел, проверять результат оценкой его величины.
- Развивать математическую речь, умение работать в паре, объяснять ход решения и находить ошибку в готовом решении.
- Воспитывать ответственность за результат, аккуратность вычислений и готовность оказывать помощь одноклассникам.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительную мотивацию к изучению дробей через решение практических задач.
- Осознают значение самопроверки и аккуратной записи математического решения.
- Готовы сотрудничать с одноклассниками и корректно обсуждать разные способы решения.
- Оценивают собственное продвижение и определяют, какая часть алгоритма требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Формулируют цель урока и план действий при решении нового типа примеров.
- Извлекают информацию из задания, схемы, учебника и интерактивной презентации.
- Сравнивают алгоритмы умножения и деления, выделяют общее и различия.
- Осуществляют взаимопроверку по эталону, находят и исправляют вычислительные ошибки.
Предметные
- Знать правила преобразования смешанного числа в неправильную дробь.
- Уметь умножать смешанные числа через представление их неправильными дробями.
- Уметь делить смешанные числа, заменяя деление умножением на обратную дробь.
- Уметь сокращать дроби и записывать неправильную дробь в виде смешанного числа.
- Применять алгоритмы при решении текстовых и практических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выполнять действия со смешанными числами без потери целой части.
- Проявляют настойчивость при выполнении задания повышенной сложности.
- Осознают связь математических вычислений с задачами измерения и распределения.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Планируют последовательность действий по памятке-алгоритму.
- Прогнозируют примерный результат до выполнения вычислений.
- Проверяют решение обратным действием или оценкой величины результата.
- Исправляют ошибки после сравнения с эталоном и объясняют причину ошибки.
Познавательные УУД
- Преобразуют смешанное число в неправильную дробь по правилу.
- Выделяют существенные шаги алгоритма и представляют их в виде схемы.
- Сравнивают два решения и определяют, какое действие выполнено неверно.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью дробных выражений.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность решения, используя математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о преобразовании смешанных чисел.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий.
- Аргументированно представляют классу наиболее рациональный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску со схемой преобразования смешанного числа и двумя алгоритмами действий.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Подготовить карточки для парной работы с примерами на умножение, деление и поиск ошибки.
- Вывести на доску памятку: 1) преобразуй; 2) выполни действие; 3) сократи; 4) выдели целую часть; 5) проверь.
- Подготовить стикеры трёх цветов для самооценки и листы с эталонами решений.
- Открыть заранее электронный образовательный ресурс с интерактивными заданиями по действиям с дробями.
- Подготовить таймер, проектор, компьютер и доступ к интерактивной доске.
- Сформулировать творческое задание: составить практическую задачу, содержащую умножение или деление смешанных чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение объяснять каждый шаг." | Проверяют принадлежности, записывают дату в тетрадь. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Для одного изделия требуется $1\frac{1}{2}$ м ткани. Сколько ткани нужно для 3 изделий? А сколько изделий можно изготовить из $6\frac{3}{4}$ м ткани? Подумайте, какие действия со смешанными числами нам понадобятся." | Читают условие, предлагают: "Нужно умножить $1\frac{1}{2}$ на 3 и разделить $6\frac{3}{4}$ на $1\frac{1}{2}$". Формулируют затруднение: "Мы пока не знаем полного алгоритма". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что смешанные числа встречаются в реальных расчётах. Сегодня научимся уверенно умножать и делить их, чтобы решить задачу про ткань и другие подобные задачи."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания о смешанных и неправильных дробях, сокращении и обратных дробях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три задания: $2\frac{1}{3}=\frac{?}{3}$, $\frac{11}{4}=\ ?$, $\frac{18}{24}=\ ?$. "Решите индивидуально, затем сравните ответы с соседом. Объясните не только ответ, но и правило." | Выполняют преобразования: $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$, $\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$, $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$. Обсуждают ответы в парах. |
3 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните, что значит разделить на дробь. Как связаны дробь и обратная ей дробь?" После обсуждения фиксирует правило на доске. | Формулируют: "Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь"; приводят пример $\frac{3}{5}:\frac{2}{7}=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили перевод смешанного числа в неправильную дробь и правило деления на дробь. Теперь выясним, как соединить эти знания в одном алгоритме."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два выражения на экране: $1\frac{1}{2}\cdot2\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{2}:2\frac{1}{3}$. "Можно ли выполнить эти действия только с целыми и дробными частями отдельно? Почему такой способ может привести к ошибке?" | Пытаются предложить способы, обнаруживают затруднение. Объясняют: "Смешанное число нужно рассматривать целиком, а не складывать результаты действий с его частями". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какое знание нам необходимо открыть? Какие шаги должны появиться в памятке?" На доске записывает сформулированную детьми цель. | Формулируют цель: "Научиться умножать и делить смешанные числа". Предлагают шаги: преобразовать, выполнить действие, сократить, выделить целую часть, проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нам нужен единый алгоритм, который поможет не потерять целую часть и правильно выполнить действие. Проверим его на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы умножения и деления смешанных чисел на основе известных правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель показывает на доске пример: $1\frac{1}{2}\cdot2\frac{1}{3}$. "Сначала заменяем смешанные числа неправильными дробями: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Теперь умножаем числители и знаменатели: $\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{3}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$. Обратите внимание: сокращать можно до умножения или после него." | Записывают пример в тетрадь, проговаривают алгоритм по шагам, объясняют сокращение на 3. |
5 мин | Учитель разбирает деление: "$3\frac{1}{4}:1\frac{1}{2}$. Преобразуем: $\frac{13}{4}:\frac{3}{2}$. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{13}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}$. Почему переворачиваем только вторую дробь?" | Отвечают: "Потому что при делении на дробь умножают на дробь, обратную делителю". Записывают алгоритм деления и формулируют его своими словами. |
Запись в тетрадях
1. Чтобы умножить смешанные числа, нужно преобразовать их в неправильные дроби, перемножить дроби, сократить результат и выделить целую часть. 2. Чтобы разделить смешанные числа, нужно преобразовать их в неправильные дроби, деление заменить умножением на обратную дробь, выполнить умножение, сократить и выделить целую часть.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритмы построены. Сейчас проверим их в действии сначала вместе, затем каждый выполнит задание самостоятельно и выберет подходящий уровень сложности."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы в парной работе с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "Решите пример $2\frac{2}{5}\cdot1\frac{1}{4}$. Один ученик проговаривает шаги, второй записывает и проверяет. Через минуту поменяйтесь ролями." | Решают: $\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{4}=3$. По очереди проговаривают преобразование и сокращение. |
3 мин | Учитель предлагает пример на деление: "$4\frac{1}{2}:1\frac{1}{5}$. Найдите ошибку в решении: $\frac{9}{2}:\frac{6}{5}=\frac{9}{2}\cdot\frac{6}{5}$". "Обсудите, что именно записано неверно." | Находят ошибку: вместо обратной дроби записан делитель. Исправляют: $\frac{9}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку по ЭОР: на экране появляются четыре варианта ответа к выражению $1\frac{3}{4}\cdot2\frac{2}{7}$. "Поднимите карточку с номером верного ответа и объясните выбор." | Решают, выбирают верный ответ $4$. Объясняют: $\frac{7}{4}\cdot\frac{16}{7}=4$. |
Эталон решения
$2\frac{2}{5}\cdot1\frac{1}{4}=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{12}{4}=3$. $4\frac{1}{2}:1\frac{1}{5}=\frac{9}{2}:\frac{6}{5}=\frac{9}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что главный источник ошибок — неправильное преобразование или забытая обратная дробь. Перед самостоятельной работой ещё раз сверьтесь с памяткой и выберите посильный уровень."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и организовать самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Базовый уровень выполняют все. Если уверены в алгоритме, выберите повышенный или продвинутый уровень. Записывайте преобразования полностью, а не только ответ." | Выбирают карточку уровня и записывают номер выбранного уровня. |
5 мин | Учитель наблюдает, адресно помогает вопросами: "На каком шаге вы сейчас? Какая дробь будет обратной? Можно ли сократить до умножения?" Задания: базовый — $1\frac{2}{3}\cdot2\frac{1}{4}$ и $3\frac{1}{2}:1\frac{3}{4}$; повышенный — $2\frac{5}{6}\cdot1\frac{7}{10}$ и $5\frac{1}{4}:2\frac{5}{8}$; продвинутый — найти значение $\left(3\frac{1}{2}:1\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{2}{3}$. | Индивидуально решают два задания выбранного уровня, показывают все шаги, используют памятку. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Сверьте каждую строку. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Проверяют решения, отмечают количество верных заданий, исправляют ошибки, ставят условный знак самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Теперь используем его в жизненной ситуации и попробуем создать собственную задачу."
Этап 7. Применение и творческое задание (5 мин)
Цель этапа: применить новые знания в практическом контексте и развить творческое мышление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "На один пирог требуется $1\frac{1}{2}$ стакана муки. Сколько муки понадобится для $2\frac{2}{3}$ пирога? Составьте выражение и найдите ответ." Затем предлагает творческий выбор: "Придумайте похожую задачу про рецепт, длину маршрута или расход материала, чтобы в решении использовалось умножение или деление смешанных чисел." | Решают: $1\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}=4$ стакана. В парах придумывают условие и записывают выражение. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару представить задачу: "Назовите величины, действие и ответ. Класс проверьте, соответствует ли выражение условию." | Представляют задачу, остальные определяют, правильно ли выбрано действие, и формулируют ответ с единицами измерения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня дроби помогли нам решать задачи про реальные величины. Осталось зафиксировать, что стало понятным, а что требует дополнительной тренировки."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Зелёный стикер — могу самостоятельно умножать и делить смешанные числа; жёлтый — иногда путаю шаги; красный — нужна помощь. На обратной стороне напишите один шаг алгоритма, который запомнили лучше всего." | Выбирают стикер, записывают шаг алгоритма и прикрепляют его к доске под соответствующим цветом. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Перед уходом ответьте: что делаем с делителем при делении дробей?" | Отвечают: "Заменяем деление умножением на обратную дробь". Записывают задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, преобразования и сокращения записаны корректно, алгоритм деления применён без ошибок, ответ выделен в виде смешанного числа.
- «4» — верно выполнены основные задания, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении, но алгоритм выбран правильно.
- «3» — выполнено не менее половины заданий базового уровня, допущены ошибки в одном-двух шагах, однако преобразование смешанных чисел в неправильные дроби в основном понимается.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг нужно выполнить при умножении или делении смешанных чисел? | Проверка понимания общей основы двух алгоритмов. |
На каком шаге решения вы сегодня ошибались чаще всего? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
Почему при делении вторую дробь заменяют обратной? | Проверка осознанности правила, а не механического запоминания. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование самооценки и учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились умножать и делить смешанные числа через преобразование в неправильные дроби. Запомните: при делении обратной становится только дробь-делитель, а не первая дробь. Всегда сокращайте результат и проверяйте, разумен ли его размер. На следующем уроке мы продолжим решать выражения со смешанными числами и включим в них несколько действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера: 2 на умножение и 2 на деление смешанных чисел, аналогичных разобранным на уроке, с полной записью преобразований и сокращений. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на преобразование в неправильные дроби и использование обратной дроби. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений со смешанными числами, включая скобки и два последовательных действия, соблюдая порядок действий. | Формирует умение применять алгоритм в усложнённой структуре; проверять порядок действий и промежуточные результаты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи: одну на умножение, другую на деление смешанных чисел; к каждой записать краткое объяснение выбора действия. | Развивает функциональную и математическую грамотность; оценивать соответствие условия выражению, единицы измерения и обоснованность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как преобразовать смешанное число в неправильную дробь? Как выполнить деление дробей? Какие два шага обязательно нужно сделать после вычисления? Приведите пример умножения смешанных чисел и назовите результат.»
