Обыкновенные дроби и проценты: закрепляем свойства и применяем в задачах
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся закрепят применение основного свойства дроби, выполнят сокращение обыкновенных дробей и решат не менее 4 из 5 практических заданий на связь дробей с процентами.
- Закрепить умение формулировать и применять основное свойство дроби: значение дроби не изменяется при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число.
- Научить распознавать сократимые дроби, находить общий делитель числителя и знаменателя и записывать результат в несократимом виде.
- Закрепить понимание процента как одной сотой части величины и умение переводить простые дроби в проценты и обратно.
- Развивать навыки самопроверки, сотрудничества в паре и осознанного выбора способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению математических знаний в ситуациях, связанных с покупками, скидками и результатами опросов.
- Осознают значение аккуратности и проверки вычислений при работе с числовыми данными.
- Развивают положительное отношение к совместной работе и конструктивному обсуждению ошибок.
- Формируют ответственное отношение к собственному результату и готовность исправлять затруднения.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при сокращении дроби и решении задачи на проценты.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и записи на доске.
- Сравнивают способы решения, находят и объясняют вычислительные ошибки.
- Формулируют выводы, аргументируют ответ и используют математическую речь.
- Осуществляют самопроверку по эталону и оценивают степень освоения материала.
Предметные
- Знать основное свойство дроби и определение процента.
- Уметь сокращать дроби, используя деление числителя и знаменателя на общий делитель.
- Уметь приводить дроби к равным дробям с заданным знаменателем или числителем.
- Уметь представлять простые дроби в виде процентов и проценты в виде дробей.
- Уметь решать практические задачи на нахождение части величины и процента от величины.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться уверенно сокращать дроби и применять проценты.
- Осознают связь математических вычислений с повседневными решениями.
- Проявляют готовность воспринимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют шаги решения.
- Контролируют правильность сокращения дроби и соответствие ответа условию.
- Сверяют результат с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют общий делитель числителя и знаменателя.
- Устанавливают равенство дробей на основе основного свойства дроби.
- Классифицируют дроби на сократимые и несократимые.
- Переводят информацию между формами: дробь, процент, текст задачи.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью математического выражения.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность сокращения дроби.
- Задают уточняющие вопросы и используют математические термины.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности.
- Распределяют роли в паре и договариваются о едином ответе.
- Аргументируют выбор действия при решении практической задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: основное свойство дроби, алгоритм сокращения, соответствия $1\%=\frac{1}{100}$, $50\%=\frac{1}{2}$, $25\%=\frac{1}{4}$, $75\%=\frac{3}{4}$.
- Распечатать карточки трёх уровней: обязательные задания — по одной на каждого ученика, дополнительные — по одной на пару.
- Подготовить карточки с дробями и процентами для парного задания: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{10}$.
- Подготовить мини-листы самопроверки с эталонами и критериями оценивания — по одному на каждого ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Вывести на экран или записать на доске практическую задачу о скидке и задачу на часть величины.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для смены видов деятельности.
- Организовать свободное пространство у парт для короткой физкультминутки без оборудования.
- Распечатать таблицу «Дробь — десятичная запись — процент» по одной на парту.
- Подготовить ручки, черновики и маркеры для работы у доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетради, ручки и карточки на парте. Сегодня мы будем не просто вспоминать правила, а проверим, как дроби и проценты помогают принимать решения в обычной жизни." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает запись: «Скидка 25%» и обращается к классу: "Представьте, что вы выбираете товар стоимостью 800 рублей. Что означает надпись «скидка 25%»? Можно ли заменить 25% обыкновенной дробью? Сегодня мы должны уверенно отвечать на такие вопросы." | Предполагают: "25% — это 25 сотых", "это четверть стоимости", называют ожидаемую скидку 200 рублей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что дроби и проценты связаны с реальными расчётами. Сначала вспомним правила, которые понадобятся для точного решения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти определения, основное свойство дроби и алгоритм сокращения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что показывает числитель, что показывает знаменатель и когда две дроби называют равными. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | Записывают по одному предложению, обсуждают в парах, формулируют: "Числитель показывает взятые части, знаменатель — на сколько равных частей разделили целое". |
3 мин | Учитель записывает на доске $\frac{3}{5}=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac{6}{10}$ и спрашивает: "Какое правило здесь использовано? Что произойдёт со значением дроби, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же ненулевое число?" Затем предлагает устно сократить $\frac{12}{18}$ и $\frac{15}{25}$. | Отвечают: "Основное свойство дроби"; называют общий делитель 6 и получают $\frac{2}{3}$, называют общий делитель 5 и получают $\frac{3}{5}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что дробь можно заменить равной дробью, если одинаково изменить числитель и знаменатель. Теперь выясним, какие действия чаще всего приводят к ошибкам."
Этап 3. Выявление затруднений и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить типичные ошибки и сформулировать план закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует три записи: $\frac{8}{12}=\frac{4}{6}$, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, $\frac{8}{12}=\frac{4}{12}$. "Какие записи верны? Объясните не только ответ, но и действие, которое выполнено неправильно." | Отмечают первые две записи как равные исходной дроби, объясняют: "В третьей записи изменился только числитель, поэтому свойство нарушено". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие шаги помогут нам не ошибаться? Сформулируйте цель урока и порядок работы." Учитель фиксирует на доске план: вспомнить правило — сократить дроби — перевести дроби в проценты — решить практические задачи. | Формулируют цель: "Научиться применять правила без ошибок и решать задачи на проценты"; принимают план работы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Причина ошибки ясна: нельзя изменять только одну часть дроби. Мы будем каждый результат проверять обратным действием и перейдём к практике."
Этап 4. Практическое закрепление: сокращение дробей (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм сокращения дробей в индивидуальной и парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает алгоритм «Шпаргалка-напоминание»: "Первый шаг — найти общий делитель. Второй — разделить на него числитель и знаменатель. Третий — проверить, можно ли сократить ещё. Запишите алгоритм кратко в тетрадь." | Записывают алгоритм и задают уточняющие вопросы. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки: сократить $\frac{18}{24}$, $\frac{21}{35}$, $\frac{36}{48}$. "Выполняйте самостоятельно три минуты. Затем сравните решения с партнёром и поставьте рядом знак согласия или вопрос." | Находят общие делители, получают соответственно $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{4}$; сравнивают записи в парах. |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске: "Покажите решение одной дроби полностью и объясните, почему выбранный делитель удобен. Остальные сверяют не только ответ, но и каждый шаг." | Один ученик оформляет сокращение $\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$, остальные проверяют записи. |
Эталон решения
$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$. $\frac{21}{35}=\frac{21:7}{35:7}=\frac{3}{5}$. $\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$. В каждом случае числитель и знаменатель делятся на одно и то же ненулевое число, а полученная дробь несократима.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм сокращения работает только при одинаковом делении числителя и знаменателя. Теперь свяжем полученные дроби с процентами и проверим, насколько быстро мы умеем переходить от одной записи к другой."
Этап 5. Физкультминутка «Дробь и процент» (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и повторить соответствия между простыми дробями и процентами через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объясняет правила: "Если я называю дробь, покажите руками число процентов: одна ладонь вверх — 25%, две — 50%, три — 75%, четыре — 100%. Для других дробей назовите процент вслух и сделайте шаг на месте. Начинаем: одна вторая, одна четверть, три четверти, одна сотая, три пятых." | Выполняют движения, отвечают: "$\frac{1}{2}=50\%$, $\frac{1}{4}=25\%$, $\frac{3}{4}=75\%$, $\frac{1}{100}=1\%$, $\frac{3}{5}=60\%$"; возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и одновременно повторили, что процент — это доля из ста. Теперь применим это знание к карточкам и жизненным ситуациям."
Этап 6. Закрепление понятия процента (8 мин)
Цель этапа: закрепить перевод простых дробей в проценты и применение процентов к величине.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт таблицы соответствий: "Заполните пропуски: $\frac{1}{2}=...\%$, $\frac{1}{5}=...\%$, $\frac{3}{5}=...\%$, $\frac{1}{10}=...\%$. Объясните партнёру хотя бы один переход." | Заполняют: $50\%$, $20\%$, $60\%$, $10\%$; объясняют, что дробь умножается на 100%. |
5 мин | Учитель предлагает задачу: "В классе 30 учеников. $\frac{3}{5}$ класса участвуют в математической игре. Сколько это учеников и какой процент класса участвует? Запишите решение выражением и ответом." После решения спрашивает: "Почему сначала можно найти дробь от числа, а затем процент?" | Составляют $30\cdot\frac{3}{5}=18$, переводят $\frac{3}{5}=60\%$, отвечают: "В игре участвуют 18 учеников, это 60% класса"; объясняют связь дроби и процента. |
Эталон решения
Количество участников: $30\cdot\frac{3}{5}=6\cdot3=18$. Процент: $\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=60\%$. Ответ: 18 учеников, или 60% класса.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились переводить дробь в процент и находить часть величины. Осталось проверить, умеете ли вы применять оба правила самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите обязательный базовый вариант; желающие могут выполнить повышенное задание. Работайте самостоятельно и записывайте промежуточные действия. Базовый вариант: сократите $\frac{28}{42}$ и $\frac{45}{60}$; выразите $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{10}$ в процентах; найдите 25% от 240." | Индивидуально получают $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $25\%$, $30\%$, 60; оформляют решение. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте каждую строку. Если есть ошибка, не стирайте её сразу: поставьте знак вопроса, найдите нарушенный шаг и исправьте другим цветом." | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают количество верных ответов и уровень затруднения. |
Эталон решения
$\frac{28}{42}=\frac{28:14}{42:14}=\frac{2}{3}$; $\frac{45}{60}=\frac{45:15}{60:15}=\frac{3}{4}$; $\frac{1}{4}=25\%$; $\frac{3}{10}=30\%$; $240\cdot25\%=240\cdot\frac{25}{100}=60$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какое действие уже стало уверенным, а какое требует внимания. Перед итогом решим одну задачу, где дробь и процент встречаются в реальной ситуации."
Этап 8. Включение знаний в систему и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: применить знания в контексте скидки и осмыслить индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Цена рюкзака 800 рублей. В магазине объявлена скидка 25%. Найдите размер скидки и новую цену. Запишите, какую дробь представляет 25%." | Записывают $25\%=\frac{1}{4}$, находят $800\cdot\frac{1}{4}=200$, затем $800-200=600$; отвечают: "Скидка 200 рублей, новая цена 600 рублей". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно сокращаете дроби и переводите простые дроби в проценты; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если требуется помощь. На стикере допишите одно действие, которое вы проверяете первым." | Поднимают карточку, записывают личное правило: "Сначала ищу общий делитель" или "Проверяю, одинаково ли изменены числитель и знаменатель". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от свойства дроби до расчёта скидки. Теперь зафиксируем результат, договоримся о домашней тренировке и назовём следующий шаг."
Этап 9. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает задание после звонка или вносит его в электронный дневник: "Выберите уровень по результату самопроверки. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: что означает основное свойство дроби; как понять, что дробь сокращена до конца; сколько процентов составляет $\frac{1}{4}$?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "Числитель и знаменатель умножают или делят на одно и то же число"; "общих делителей, кроме 1, нет"; "$25\%$". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания базовой карточки, дроби сокращены до несократимого вида, перевод в проценты и задача на скидку оформлены с пояснением.
- «4» — верно выполнены не менее 4 из 5 основных заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, ход решения в целом понятен.
- «3» — верно выполнены не менее 3 основных заданий, но требуется помощь при выборе общего делителя или переводе дроби в проценты; исправления сделаны после самопроверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или важного вы сегодня закрепили? | Выявление осознания основного свойства дроби и понятия процента. |
Какой первый шаг вы выполняете при сокращении дроби? | Проверка понимания алгоритма и выявление формального выполнения действий. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в вычислениях и применении процента. |
Что вы сможете объяснить однокласснику после урока? | Оценка уверенности, речевого оформления и готовности к взаимопомощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили два важных умения: сокращать дроби, не изменяя их значения, и понимать процент как сотую долю величины. Помните о типичной ошибке: нельзя делить только числитель или только знаменатель. Вы уже умеете применять знания к задачам о скидках и долях класса. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на проценты и научимся находить неизвестную величину по её проценту."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий: сократить 3 обыкновенные дроби, перевести 2 простые дроби в проценты, оформить все промежуточные действия. | Закрепляет алгоритм сокращения и связь дроби с процентом; при проверке обратить внимание на одинаковое изменение числителя и знаменателя. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи: найти часть величины по дроби, найти процент от величины и рассчитать стоимость товара со скидкой 10%, 25% или 50%. | Формирует применение математических знаний в жизненном контексте; проверить выбор операции и запись ответа с единицами. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о скидке или результатах опроса, используя одну сократимую дробь и один процент; кратко объяснить решение. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверить корректность условия, вычислений и соответствие ответа ситуации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Почему дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{10}{15}$ равны? Как сократить дробь $\frac{24}{36}$? Какую часть целого составляет 40%? Чему равны 25% от 120?»
