Отношение чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать отношение двух величин, читать его, находить значение отношения и применять это умение при решении практических задач.
- Познакомить учащихся с понятием отношения, его записью и компонентами; показать связь отношения с делением.
- Сформировать умение находить отношение чисел и величин, выраженных в одинаковых единицах измерения.
- Развивать познавательные и коммуникативные умения через работу в парах, обсуждение способов решения и анализ ошибок.
- Воспитывать аккуратность вычислений, интерес к математике и готовность обосновывать собственный способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к изучению математического понятия через задачи из повседневной жизни.
- Понимают ценность точных вычислений при сравнении количеств и планировании действий.
- Осознают ответственность за результат индивидуальной и парной работы.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения и корректному обсуждению ошибок.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и экранной схемы.
- Сравнивают способы решения, выделяют существенные данные и делают вывод о связи отношения с делением.
- Работают в паре, распределяют действия, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют вычислительные ошибки.
Предметные
- Знать определение отношения двух чисел и способы его записи.
- Уметь читать отношение $a:b$ и находить его значение как частное $a$ и $b$.
- Уметь составлять отношение по условию текстовой задачи.
- Уметь приводить величины к одинаковым единицам перед составлением отношения.
- Уметь решать задания базового, повышенного и дополнительного уровня сложности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока.
- Сохраняют учебную мотивацию при выполнении задания повышенной сложности.
- Оценивают значение математических отношений в жизненных ситуациях.
- Соблюдают доброжелательные правила парного взаимодействия.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель урока.
- Планируют последовательность действий при решении задачи.
- Проверяют правильность записи отношения и вычисления его значения.
- Сопоставляют результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют числовые данные и отношения между величинами в тексте.
- Устанавливают связь между отношением и делением.
- Моделируют условие с помощью схемы и числовой записи.
- Классифицируют задания по уровню сложности и выбирают подходящий способ решения.
- Преобразуют информацию из таблицы и изображения в математическую запись.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру смысл записи отношения.
- Слушают решение другого ученика и задают вопрос о непонятном шаге.
- Распределяют роли при выполнении парного задания.
- Формулируют общий вывод и представляют его классу.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографией фруктовой корзины, схемой отношения отрезков и интерактивными заданиями на выбор ответа.
- Вывести на доску памятку: «Отношение $a$ к $b$ — это частное $a:b$; $a$ — первый член, $b$ — второй член».
- Распечатать карточки базового, повышенного и дополнительного уровня — по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать карточки для парной работы с практическими ситуациями — по одной на парту, 15 экземпляров.
- Подготовить листы самооценки и небольшие стикеры для рефлексии — по одному на каждого ученика.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску и ноутбук с презентацией.
- Разложить на партах линейки и цветные карандаши для построения схем отношений.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа на экране после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к теме через жизненную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение сравнивать количества. Работать будем индивидуально, в парах и с интерактивной доской." | Проверяют готовность, записывают дату, занимают места в парах. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение двух корзин: в первой 6 яблок и 3 груши, во второй 4 яблока и 4 груши. "Как можно описать состав первой корзины, не перечисляя все предметы? Что можно сравнить?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Рассматривают изображение, предлагают: "Яблок в два раза больше, чем груш", "Яблок 6, груш 3", формулируют вопрос о способе математической записи сравнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что количества можно не только перечислять, но и сравнивать. Сегодня узнаем, как записывают такое сравнение специальным математическим выражением."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать деление и обнаружить необходимость нового способа записи сравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три примера: $12:3$, $20:5$, $18:6$. "Вычислите значения выражений. Что общего у этих действий? Как можно объяснить действие 12:3 словами?" | Решают примеры в тетради, называют значения 4, 4 и 3; отвечают: "Это деление 12 на 3", "Мы узнаём, во сколько раз 12 больше 3". |
3 мин | Учитель предлагает в парах записать сравнение 8 красных фишек и 4 синих двумя способами. "Сначала скажите словами, во сколько раз красных больше. Затем придумайте краткую математическую запись. Почему запись 8:4 отличается от 4:8?" | В парах обсуждают 1 минуту, записывают $8:4=2$ и $4:8=0,5$, объясняют, что порядок чисел меняет смысл сравнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выполнять деление, но нам нужна специальная запись сравнения двух чисел и точное чтение этой записи. Сформулируем, чему должны научиться сегодня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать тему, цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «В классе 12 девочек и 10 мальчиков». "Как кратко сравнить число девочек и мальчиков? Можно ли использовать знак деления? Как записать это сравнение словами и символами?" | Предлагают варианты: "12 разделить на 10", "12 к 10", замечают, что нужна единая математическая запись. |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель урока одним предложением, затем сравните её с соседом и сформулируйте общий вариант пары." Учитель принимает формулировку: научиться записывать, читать и находить значение отношения. | Индивидуально записывают цель, обсуждают её в парах, представляют классу общий вариант: "Научиться использовать отношение для сравнения чисел и величин". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от конкретной ситуации мы перейдём к математическому понятию, затем потренируемся и проверим себя. Открываем новое знание."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: сформировать понятие отношения и научить записывать и читать отношение двух чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране 6 зелёных и 2 жёлтых кружка. "Сравним количество зелёных кружков с количеством жёлтых. Запишем $6:2$. Это отношение числа 6 к числу 2. Отношение двух чисел — это частное от деления одного числа на другое. Первый член отношения — 6, второй — 2." | Считают кружки, записывают в тетради $6:2=3$, проговаривают: "Отношение 6 к 2 равно 3; первый член 6, второй член 2". |
3 мин | Учитель открывает на интерактивной доске задание с выбором ответа: «Как прочитать запись $15:5$?» Варианты: «15 плюс 5», «отношение 15 к 5», «15 умножить на 5». "Выберите ответ и объясните, по какому признаку вы его выбрали." | Выбирают «отношение 15 к 5», объясняют, что двоеточие обозначает отношение и действие деления. |
2 мин | Учитель демонстрирует памятку: "Запомните алгоритм: 1) определить, какие величины сравниваем; 2) записать их в указанном порядке; 3) при необходимости выразить величины в одинаковых единицах; 4) выполнить деление. Почему важен порядок членов отношения?" | Переписывают алгоритм, отвечают: "Потому что отношение 2 к 6 и отношение 6 к 2 имеют разные значения". |
Запись в тетрадях
Отношение двух чисел $a$ и $b$ — это частное от деления числа $a$ на число $b$, где $b\ne0$. Записывают: $a:b$ или $\frac{a}{b}$. В записи $a:b$ число $a$ называют первым членом отношения, число $b$ — вторым членом отношения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы дали определение отношения, научились читать запись и нашли её значение. Теперь проверим понимание на коротких заданиях, где важно проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Физкультминутка и первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: снять утомление и закрепить новое понятие через движение и устные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Если я называю отношение, равное 2, поднимите руки вверх; если отношение равно 3 — потянитесь в стороны. $8:4$, $12:4$, $10:5$, $15:5$. Выполняйте движение только после вычисления." | Выполняют вычисления устно и делают соответствующее движение: для 2 — поднимают руки, для 3 — потягиваются в стороны. |
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «В коробке 18 синих карандашей и 6 красных. Запишите отношение числа синих карандашей к числу красных и найдите его значение. Затем запишите обратное отношение». "Обсудите решение, один ученик записывает, второй проверяет порядок чисел." | В парах записывают $18:6=3$ и $6:18=\frac{1}{3}$, проговаривают: "Синих в 3 раза больше красных"; взаимно проверяют запись. |
Эталон решения
1. Отношение синих карандашей к красным: $18:6$. 2. Значение отношения: $18:6=3$. 3. Обратное отношение: $6:18=\frac{1}{3}$. Следовательно, синих карандашей в 3 раза больше, чем красных.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили смысл порядка членов отношения и увидели, что обратное отношение имеет другое значение. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет применять алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение составлять и вычислять отношения в заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Базовый уровень обязателен для всех. Если справились, переходите к повышенному. Дополнительное задание можно выбрать тем, кто хочет проверить себя. Записывайте не только ответ, но и отношение, по которому вы рассуждали." | Получают карточки, выбирают последовательность выполнения, читают критерии самопроверки. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: «Найдите отношение 24 к 6 и 7 к 14». Повышенный: «В классе 15 девочек и 12 мальчиков. Найдите отношение числа девочек к числу мальчиков». Дополнительный: «Длина прямоугольника 8 см, ширина 5 см. Найдите отношение длины к ширине и ширины к длине». Учитель оказывает точечную помощь. | Индивидуально решают задания, записывают $24:6=4$, $7:14=0,5$, составляют $15:12=1,25$ и $8:5=1,6$, $5:8=0,625$. |
3 мин | Учитель показывает эталон на экране: "Проверьте порядок чисел, единицы измерения и вычисление. Отметьте зелёным верное решение, жёлтым — решение с исправимой ошибкой. Одну ошибку объясните соседу." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, объясняют партнёру причину ошибки, ставят отметку о выполнении. |
Эталон решения
Базовый уровень: $24:6=4$; $7:14=0,5$. Повышенный уровень: отношение девочек к мальчикам $15:12=1,25$. Дополнительный уровень: отношение длины к ширине $8:5=1,6$; отношение ширины к длине $5:8=0,625$. В каждом случае сначала записывается величина, названная первой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что отношение можно применять и к отвлечённым числам, и к данным реальной ситуации. Осталось осмыслить, что именно мы открыли и какие шаги ещё требуют внимания."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры: "Закончите три фразы: «Отношение — это…», «Сегодня я научился…», «Мне нужно потренировать…». На обратной стороне поставьте цвет: зелёный — всё могу, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Заполняют стикеры, формулируют личный результат и прикрепляют ответы на доске в колонках «Могу», «Тренируюсь», «Нужна помощь». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своим результатам. Перед уходом ответьте устно на контрольный вопрос: чем отношение 6 к 2 отличается от отношения 2 к 6?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "6:2=3, а 2:6=1/3; порядок членов отношения меняет значение". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, отношение записано в правильном порядке, вычисления оформлены аккуратно и приведено объяснение хотя бы одной задачи.
- «4» — верно выполнены базовые задания и одно задание повышенного уровня, допущена не более одной вычислительной ошибки, исправленной при самопроверке.
- «3» — правильно выполнены не менее двух базовых заданий, но есть затруднения при составлении отношения по текстовой ситуации или при объяснении порядка членов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют отношением двух чисел? | Проверить осознание определения и связи отношения с делением. |
Что произойдёт со значением, если поменять местами члены отношения? | Выявить понимание роли порядка чисел. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым важным? | Определить осознанность способа действия. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно завтра? | Получить субъективную оценку уровня освоения темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы узнали, что отношение — это частное от деления одного числа на другое, и научились использовать его для сравнения. Особенно внимательно нужно следить за порядком членов отношения: запись 8:4 и запись 4:8 имеют разные значения. Вы потренировались работать самостоятельно и объяснять решение партнёру. На следующем уроке мы продолжим работу с отношениями и рассмотрим их свойства и практическое применение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на запись отношения двух чисел и нахождение его значения, включая два обратных отношения. | Закрепить определение, чтение записи и правильный порядок членов отношения; при проверке обратить внимание на вычисления. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на отношение величин: состав продуктов, количество учащихся, длина и ширина прямоугольника. В каждой задаче записать пояснение. | Научиться выделять данные из текста и применять отношение в жизненном контексте; проверить правильность единиц измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на отношение двух величин, решить её двумя способами записи и объяснить, почему обратное отношение имеет другое значение. | Развивать математическую речь, моделирование и умение создавать задачу по изученному понятию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что такое отношение двух чисел? Как найти его значение? Почему перед составлением отношения величины иногда нужно выразить в одинаковых единицах?»
