Осевая и центральная симметрия. Построение симметричных фигур
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать осевую и центральную симметрию, строить образ точки и фигуры относительно оси и центра симметрии, а также объяснять результат построения с использованием свойств симметрии.
- Сформировать представление об осевой симметрии как отражении относительно прямой и о центральной симметрии как повороте на $180^\circ$ вокруг точки.
- Научить строить симметричные точки и фигуры с помощью чертёжных инструментов и проверять правильность построения.
- Развивать пространственное и логическое мышление через анализ симметрии плоских и пространственных объектов.
- Воспитывать аккуратность, интерес к математике, готовность сотрудничать и аргументированно оценивать результат своей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математическим закономерностям, обнаруживая симметрию в природе, архитектуре и предметах быта.
- Осознают значение аккуратности, точности и последовательности при выполнении геометрического построения.
- Развивают способность к самооценке и осмыслению собственного вклада в парную и групповую работу.
- Проявляют уважение к мнению одноклассников и готовность корректно обсуждать разные способы построения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе проблемной ситуации и планируют последовательность построения симметричной фигуры.
- Извлекают информацию из рисунка, инструкции и таблицы свойств, сравнивают осевую и центральную симметрию.
- Контролируют расстояния и перпендикулярность при построении, находят и исправляют ошибки.
- Работают в паре, распределяют действия, задают уточняющие вопросы и аргументируют выводы.
- Используют геометрические инструменты и визуальные модели для представления математической информации.
Предметные
- Знать определения осевой и центральной симметрии, оси и центра симметрии.
- Понимать, что при осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ.
- Понимать, что при центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ.
- Уметь строить образ точки, отрезка и многоугольника относительно заданной оси или центра.
- Уметь приводить примеры симметричных объектов в плоскости и пространстве.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность чертежа и результат практической работы.
- Связывают изучаемое понятие с наблюдаемыми объектами окружающего мира.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения и математическому объяснению.
- Оценивают собственную готовность применять правило построения без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после анализа проблемного рисунка.
- Планируют построение по шагам: провести перпендикуляр, отложить равное расстояние, соединить полученные точки.
- Используют взаимопроверку и эталон для контроля результата.
- Обнаруживают несоответствие рисунка условию и корректируют построение.
- Оценивают успешность выполнения практической работы по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки осевой и центральной симметрии.
- Сравнивают два вида симметрии по положению оси или центра и способу построения.
- Моделируют преобразование фигуры с помощью чертежа, сгибания листа и поворота шаблона.
- Устанавливают связь между равенством расстояний, серединой отрезка и симметрией.
- Переносят алгоритм построения с точки на отрезок и многоугольник.
Коммуникативные УУД
- Согласуют действия в паре при выполнении практического задания.
- Формулируют вопросы по алгоритму построения и дают однокласснику понятную инструкцию.
- Доказывают правильность построения через равенство расстояний и перпендикулярность.
- Корректно обсуждают ошибку, отделяя оценку чертежа от оценки личности ученика.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения предметов с осевой, центральной и пространственной симметрией: бабочка, снежинка, орнамент, мяч, куб, человеческое тело.
- Вывесить на доску карточку-памятку: «Осевая симметрия: ось — серединный перпендикуляр. Центральная симметрия: центр — середина отрезка».
- Распечатать практические карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы в клетку, чистые листы бумаги, цветные карандаши, линейки, угольники, циркули и ножницы — по одному комплекту на парту.
- Подготовить парные карточки для взаимопроверки с изображениями оси, центра и нескольких точек.
- Вывести на экран таблицу сравнения осевой и центральной симметрии без заполненных примеров.
- Подготовить магнитные или бумажные фигуры для демонстрации поворота на $180^\circ$ вокруг центра.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному на каждого ученика.
- Организовать безопасное размещение инструментов на партах, проверить наличие острых предметов и напомнить правила обращения с циркулем и ножницами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: эмоционально включить учеников в работу и показать практическую значимость симметрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображения бабочки, снежинки и фасада здания: "Здравствуйте, ребята. Посмотрите на изображения и найдите общий признак. Не называйте первый пришедший в голову ответ — сначала внимательно сравните левую и правую части. Сегодня нам понадобится точность наблюдения и аккуратность чертежа." | Рассматривают изображения, называют общий признак: "Части похожи", "Фигура разделяется на одинаковые части", "Есть симметрия". |
2 мин | Учитель объявляет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите наблюдение с соседом. Как можно проверить, действительно ли две части фигуры симметричны?" После обсуждения учитель фиксирует ответы на доске: сгибание, измерение расстояний, проведение линии. | Сначала формулируют собственное объяснение, затем обсуждают его в парах и предлагают варианты: "Нужно проверить равенство расстояний до линии", "Можно согнуть рисунок по середине", "Нужно сравнить точки и их отражения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что симметрия встречается в окружающем мире и может быть проверена математически. Теперь вспомним геометрические знания, которые понадобятся для точного построения."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о перпендикуляре, середине отрезка, равных расстояниях и измерении углов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске отрезок $AB$: "Как называется точка, которая делит отрезок на две равные части? Как проверить, что точка действительно является серединой?" Затем показывает две пересекающиеся прямые: "Какие прямые называют перпендикулярными? Какой угол они образуют?" | Отвечают: "Середина отрезка определяется равенством $AM=MB$"; "Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом $90^\circ$". Записывают краткие ответы в черновике. |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре мини-карточку с тремя утверждениями и говорит: "Отметьте верные утверждения и исправьте ошибочное: 1) Середина отрезка делит его на два равных отрезка. 2) Любые пересекающиеся прямые перпендикулярны. 3) Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру." После проверки просит одну пару объяснить исправление. | В парах отмечают первое и третье утверждения, второе исправляют: "Пересекающиеся прямые перпендикулярны только тогда, когда образуют угол $90^\circ$". Объясняют выбор классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Для построения симметричной точки нам понадобятся середина отрезка, равные расстояния и перпендикуляр. Сейчас выясним, как эти знакомые понятия объединяются в новое правило."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует точку $A$ и прямую $l$, затем предлагает: "Нужно построить точку $A'$ так, чтобы прямая $l$ стала линией отражения. У вас есть линейка и угольник. Где должна находиться точка $A'$? Какие условия должны выполняться?" Учитель принимает гипотезы, но не сообщает готовый алгоритм. | Предполагают: "Точка должна быть по другую сторону прямой", "Расстояние до прямой должно сохраниться", "Отрезок $AA'$ должен быть перпендикулярен прямой", "Точка пересечения должна быть серединой отрезка". |
2 мин | Учитель показывает другую модель: точка $O$ и точка $B$, предлагает повернуть лист на пол-оборота: "Как построить точку $B'$ при центральной симметрии с центром $O$? Чем этот случай отличается от отражения в прямой? Сформулируйте цель урока." | Формулируют цель: "Научиться строить симметричные точки и фигуры относительно прямой и точки, различать эти виды симметрии и находить симметрию в пространстве". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили две задачи: научиться отражать фигуру относительно прямой и научиться выполнять поворот на $180^\circ$ вокруг точки. Начнём с осевой симметрии и выведем алгоритм сами."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести правила построения образа точки при осевой и центральной симметрии и сравнить два преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель проводит на доске прямую $l$ и отмечает точку $A$. Пошагово демонстрирует: "Сначала через точку $A$ проводим перпендикуляр к оси $l$. Пусть он пересекает ось в точке $H$. Затем на продолжении перпендикуляра откладываем отрезок $HA'$, равный $HA$. Получаем образ точки $A'$. Почему точка $H$ является серединой отрезка $AA'$?" | Следят за построением, называют шаги: "Провести перпендикуляр", "Найти пересечение с осью", "Отложить равное расстояние по другую сторону". Формулируют: "$AH=A'H$, а $AA'\perp l$, поэтому $H$ — середина отрезка $AA'$". |
3 мин | Учитель показывает точку $O$ и точку $B$: "При центральной симметрии точка $O$ должна быть серединой отрезка $BB'$. Поэтому проводим прямую $BO$ и продолжаем её за точку $O$. Откладываем $OB'=OB$. Это равносильно повороту на $180^\circ$." Учитель заполняет на экране две строки сравнительной таблицы. | Записывают правило центральной симметрии, отвечают: "Точки $B$, $O$, $B'$ лежат на одной прямой; $OB=OB'$". Называют отличие: "При осевой симметрии нужна ось и перпендикуляр, при центральной — центр и середина отрезка". |
2 мин | Учитель предлагает проверить свойства на отрезке и треугольнике: "Если построить образы двух концов отрезка, как получить образ всего отрезка? А если фигура состоит из трёх вершин?" | Формулируют вывод: "Достаточно построить образы всех вершин и соединить их в том же порядке". Называют, что длины отрезков и форма фигуры сохраняются. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Осевая симметрия относительно прямой $l$: ось $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Центральная симметрия относительно точки $O$: точки $A$, $O$, $A'$ лежат на одной прямой, причём $OA=OA'$, то есть $O$ — середина $AA'$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два алгоритма. Проверим их не только словами, но и построением: сначала вместе выполним один образец, затем вы самостоятельно построите симметричную фигуру."
Этап 5. Первичное закрепление. Построение симметричного треугольника (6 мин)
Цель этапа: применить алгоритмы построения к фигуре и научиться проговаривать действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре лист с треугольником $ABC$ и вертикальной осью $l$: "Постройте образ треугольника $ABC$ относительно оси $l$. Работайте по алгоритму: для каждой вершины проведите перпендикуляр к оси, отметьте равное расстояние, обозначьте $A'$, $B'$, $C'$, затем соедините вершины. Один ученик выполняет построение, второй проверяет шаги по памятке; через полторы минуты поменяйтесь ролями." | В парах по очереди строят образы трёх вершин, используют угольник и линейку, соединяют $A'B'C'$. Проверяющий отмечает в памятке наличие трёх перпендикуляров и равенство расстояний. |
3 мин | Учитель показывает эталонный рисунок и задаёт вопросы: "Почему нельзя просто нарисовать похожий треугольник на другой стороне оси? Как доказать, что построенная фигура является образом исходной?" | Сравнивают свои чертежи с эталоном, исправляют неточности, объясняют: "Каждая соответствующая точка находится на перпендикуляре к оси и на таком же расстоянии от неё; поэтому ось является серединным перпендикуляром". |
Эталон решения
Для каждой вершины выполняется одинаковая последовательность: 1) из точки $A$ провести перпендикуляр к оси $l$; 2) обозначить основание перпендикуляра $H_A$; 3) отложить на продолжении отрезок $H_AA'=H_AA$; 4) повторить построение для $B$ и $C$; 5) соединить $A'$, $B'$, $C'$. Полученная фигура $A'B'C'$ симметрична треугольнику $ABC$ относительно оси $l$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что образ фигуры строится через образы её вершин. Переходим к практической работе, где каждый выполнит построение самостоятельно и сможет выбрать уровень сложности."
Этап 6. Практическая работа «Осевая симметрия» (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно выполнить построение симметричных фигур, применить алгоритм и осуществить взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет критерии: "На базовом уровне постройте образ отрезка относительно оси; на среднем — образ треугольника; на повышенном — образ фигуры с четырьмя или пятью вершинами и укажите ось симметрии. Перед началом проверьте, что у вас есть линейка и угольник." | Выбирают карточку или получают уровень по рекомендации учителя, подписывают лист, готовят инструменты. |
6 мин | Учитель консультирует: "Не начинайте с соединения готовой фигуры. Сначала работайте с вершинами. Для каждой точки проговаривайте: перпендикуляр, основание, равное расстояние, образ. Если сомневаетесь, проверьте, является ли ось серединным перпендикуляром к соединяющему отрезку." | Самостоятельно строят симметричную фигуру, проводят вспомогательные перпендикуляры тонкими линиями, обозначают точки штриховыми или буквенными метками, соединяют образы. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по чек-листу: "Обменяйтесь работами. Поставьте две звезды за точность и полноту и одно пожелание по улучшению. Проверьте три признака: соответствующие отрезки равны, соединяющие точки перпендикулярны оси, ось делит их пополам." | Проверяют работу партнёра по трём признакам, записывают две сильные стороны и один конкретный совет, возвращают работу и исправляют найденную ошибку. |
Запись в тетрадях
Ученики вклеивают или перерисовывают итоговый чертёж, подписывают ось $l$ и пары симметричных точек, например $A$ и $A'$, $B$ и $B'$. Под чертежом записывают: «Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезкам, соединяющим соответствующие точки».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Практическая работа показала, что точность достигается не угадыванием формы, а соблюдением алгоритма. Осталось применить второй алгоритм — центральную симметрию — и увидеть, как симметрия проявляется в пространстве."
Этап 7. Центральная симметрия и симметрия в пространстве (5 мин)
Цель этапа: закрепить различие между видами симметрии и расширить представление о симметрии на пространственные объекты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске центр $O$ и четырёхугольник $ABCD$: "Построим центрально-симметричную фигуру. Для каждой вершины проведём прямую через центр $O$ и отложим за центром равное расстояние: $OA=OA'$, $OB=OB'$ и так далее. Что является главным признаком?" Затем показывает куб, мяч и снежинку: "Где вы видите симметрию в пространстве? Можно ли говорить только об одной оси?" | Отвечают: "Центр является серединой каждого отрезка между точкой и её образом". Находят примеры: "У мяча много осей и плоскостей симметрии", "У куба есть плоскости симметрии", "У человека приблизительно одна плоскость симметрии". |
2 мин | Учитель предлагает быстро классифицировать изображения на экране: отражение в зеркале, поворот стрелки на пол-оборота, половинки куба, орнамент. "Поднимите карточку О, если это осевая симметрия, Ц — если центральная, П — если пространственная модель. Объясните один выбор." | Поднимают карточки, классифицируют примеры и объясняют: "Зеркало — осевая симметрия", "Поворот на $180^\circ$ — центральная", "Куб — пространственная симметрия". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы различили отражение относительно прямой, поворот вокруг точки и симметрию пространственных тел. Теперь проверим, что каждый сможет сформулировать главное правило и назвать собственную точку роста."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билеты на выход: "Ответьте кратко на два вопроса: 1) Как построить образ точки относительно оси? 2) Как проверить центральную симметрию? Дополните фразу: «Сегодня я научился…». Затем отметьте в листе самооценки зелёный, жёлтый или красный уровень." | Письменно отвечают: "Провести перпендикуляр к оси и отложить равное расстояние по другую сторону"; "Проверить, что центр является серединой отрезка между точкой и образом". Заполняют самооценку. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. В каждом варианте важно не только получить рисунок, но и подписать элементы симметрии. На следующем уроке мы начнём с проверки одного выбранного построения." | Записывают выбранный уровень и уточняют, какие инструменты и обозначения нужно использовать дома. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли два способа построения симметричных фигур и применили их на практике. Сохраните чертёж: он понадобится для повторения алгоритма и перехода к более сложным геометрическим преобразованиям."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — построение выполнено полностью и аккуратно, все соответствующие точки обозначены, перпендикуляры проведены верно, расстояния сохранены, фигура соединена без ошибок; ученик может объяснить алгоритм.
- «4» — построение в целом верно, но допущена одна неточность в обозначениях, соединении точек или оформлении, не нарушающая основной способ построения; объяснение алгоритма неполное.
- «3» — выполнена часть построения, правильно построены образы хотя бы двух точек, но допущены ошибки в перпендикулярности, равенстве расстояний или соединении вершин; ученик исправляет ошибку после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является главным признаком осевой симметрии? | Проверка понимания роли оси как серединного перпендикуляра. |
Как построить образ точки относительно центра симметрии? | Выявление владения алгоритмом центрального построения. |
На каком шаге практической работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в использовании чертёжных инструментов и последовательности действий. |
Где в окружающем мире вы заметили осевую, центральную или пространственную симметрию? | Связь математического понятия с жизненным опытом и оценка переноса знания. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что симметрия — это не просто внешнее сходство частей рисунка, а точное математическое преобразование. При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром, а при центральной симметрии центр делит отрезок между точкой и её образом пополам. Самая частая ошибка — соединить точки приблизительно, не проверив расстояния и перпендикулярность. На следующем уроке мы продолжим строить и исследовать симметричные фигуры, в том числе на координатной плоскости.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 построения образа точки и отрезка относительно заданной оси симметрии; подписать ось, основания перпендикуляров и равные расстояния. | Закрепляет алгоритм осевой симметрии; при проверке обратить внимание на перпендикулярность и равенство расстояний. |
Средний (повышающий) | Построить образ треугольника и четырёхугольника относительно оси, а затем образ одной из фигур относительно центра; дать краткое письменное объяснение каждого алгоритма. | Формирует перенос правила с точки на фигуру и умение различать осевую и центральную симметрию. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать орнамент или небольшой рисунок, содержащий осевую и центральную симметрию, отметить цветом ось или центр и составить 4–5 предложений о симметрии выбранного пространственного объекта. | Развивает творческое мышление, пространственное представление и умение применять математическое понятие к реальному объекту. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что обязательно должно быть перпендикулярно оси при осевой симметрии? Почему центр симметрии является серединой отрезка? Чем отражение относительно прямой отличается от поворота на $180^\circ$? Как проверить правильность построения симметричной фигуры?»
