Деление обыкновенных дробей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся делить обыкновенные дроби и смешанные числа, применять правило нахождения частного, выполнять проверку умножением и решать не менее 3 из 4 предложенных заданий без существенных ошибок.
- Сформировать понимание деления дробей как действия, обратного умножению, и вывести алгоритм деления на дробь.
- Научить применять алгоритм при решении вычислительных примеров и текстовой задачи с жизненным контекстом.
- Развивать умение объяснять ход решения, находить и исправлять ошибку, работать в паре и осуществлять самопроверку.
- Воспитывать ответственное отношение к результату, математическую аккуратность и готовность оказывать помощь одноклассникам.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску способа решения новой математической задачи.
- Осознают значение проверки результата и аккуратной записи вычислений.
- Развивают уверенность в собственных учебных действиях при работе с дробями.
- Соблюдают правила сотрудничества, корректно обсуждают разные способы решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе возникшего затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из примеров, таблицы и интерактивной модели.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибку и аргументируют исправление.
- Работают в паре, распределяют действия и представляют общий результат.
- Используют цифровую карточку для быстрой самопроверки вычислений.
Предметные
- Знать правило деления обыкновенных дробей.
- Понимать связь деления с умножением и роль взаимно обратных чисел.
- Уметь делить дробь на дробь, натуральное число и смешанное число.
- Уметь сокращать дробь до и после умножения, выделять целую часть.
- Уметь проверять частное умножением и применять действие деления в текстовой задаче.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость умения выполнять вычисления с дробями в бытовых и учебных ситуациях.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске нового алгоритма.
- Оценивают собственную готовность выполнять действия с дробями.
- Соблюдают математическую культуру записи и взаимное уважение при обсуждении.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план открытия правила.
- Контролируют порядок выполнения алгоритма деления дробей.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям и намечают коррекцию.
Познавательные УУД
- Актуализируют понятия взаимно обратных чисел, сокращения дробей и умножения дробей.
- Моделируют деление через связь с обратным действием.
- Анализируют структуру примеров и выделяют общий способ решения.
- Применяют алгоритм в вычислительной и практической задаче.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о непонятном шаге алгоритма.
- Объясняют партнёру последовательность решения.
- Распределяют роли при выполнении парного задания.
- Аргументированно принимают или корректируют предложенный способ.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемной задачей, моделями дробей, алгоритмом и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать мини-карточки с примерами для работы в парах — по одной на парту, всего 15 экземпляров.
- Подготовить листы самооценки и билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на число, обратное делителю».
- Подготовить интерактивную модель полосок дробей или слайд с делением отрезка на равные части.
- Подготовить проектор, ноутбук и интерактивную доску для демонстрации модели и цифровой самопроверки.
- Освободить проход между рядами для короткой физкультминутки; подготовить карточки с командами движений.
- Подготовить цветные маркеры, магниты и таймер на 2–4 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только точность вычислений, но и умение объяснять свой способ." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют свободное место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Для рецепта нужно взять $\frac{3}{4}$ стакана сока и разлить поровну в стаканы по $\frac{1}{8}$ стакана. Сколько стаканов получится? Попробуйте решить известными действиями. Что вызывает затруднение?" | Читают условие, предлагают выполнить деление $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$, фиксируют затруднение: правило деления дробей ещё не изучено. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы встретились с жизненной задачей, где нужно разделить одну дробь на другую. Сейчас выясним, как выполнить такое действие и почему новый способ работает."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить опорные знания, необходимые для открытия правила деления дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Назовите число, обратное $\frac{2}{5}$; выполните умножение $\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}$; объясните, как сокращать дробь. Поднимите карточку зелёного цвета, если готовы назвать ответ." | Называют: "Обратное число — $\frac{5}{2}$"; вычисляют $\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}=\frac{2}{3}$; объясняют сокращение общих множителей. |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с выражениями $\frac{5}{6}\cdot\square=1$ и $\frac{7}{9}\cdot\square=1$. Реплика: "Подумайте в паре, какое число нужно вписать и почему. Затем сравните ответы с соседней парой." | В парах находят числа $\frac{6}{5}$ и $\frac{9}{7}$, формулируют вывод: "Чтобы получить единицу, число умножают на обратное ему число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили умножение дробей и взаимно обратные числа. Теперь используем эти знания, чтобы построить новый алгоритм, а не просто запомнить его."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: организовать самостоятельную формулировку правила и плана открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает на экран выражение $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$ и спрашивает: "Как можно проверить результат деления? Какое действие является обратным делению? Если частное умножить на делитель, что должно получиться?" | Предполагают: "Нужно найти такое число, которое при умножении на $\frac{1}{8}$ даст $\frac{3}{4}$"; отвечают: "Проверять нужно умножением". |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите цель урока одним предложением, затем обсудите её в паре, после этого две пары объединятся и выберут точную формулировку." | Формулируют цель: "Научиться делить дроби, умножая делимое на число, обратное делителю, и проверять результат"; записывают план: вспомнить, вывести правило, потренироваться, проверить. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно открыть и обосновать правило деления дробей. Перейдём к модели и проверим нашу гипотезу вычислением."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести правило деления дробей и зафиксировать алгоритм на основе связи деления с умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на интерактивной доске отрезок, изображающий 1 стакан, и выделяет $\frac{3}{4}$. Затем делит каждый четвертной отрезок на 2 части: "Сколько частей по $\frac{1}{8}$ содержится в $\frac{3}{4}$? Посчитайте по модели и запишите выражение." | Считают 6 частей, записывают $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6$, объясняют, что $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$. |
3 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: "Сравним найденный ответ с умножением на обратную дробь. Вычислите $\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1}$. Почему получился тот же результат? Что изменилось в делителе?" | Вычисляют $\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1}=6$, отвечают: "Делитель $\frac{1}{8}$ заменили на обратное число $8$". |
3 мин | Учитель формулирует и показывает памятку: "Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Сначала заменяем деление умножением, затем переворачиваем вторую дробь, сокращаем и выполняем умножение. Запишите алгоритм." | Записывают правило и алгоритм: 1) заменить деление умножением; 2) найти дробь, обратную делителю; 3) сократить; 4) перемножить; 5) проверить при необходимости. |
Запись в тетрадях
Правило: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, где $b,c,d\ne0$. Пример: $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1}=6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили правило, а проверили его на модели и связали с обратным действием. Теперь проговорим алгоритм вслух и применим его к новым примерам."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить последовательность алгоритма через движение и связать математику с физической культурой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. На слово «делимое» вытяните руки вперёд, на слово «обратное» поверните ладони, на слово «умножить» выполните хлопок, на слово «сократить» сделайте наклон. Двигаемся спокойно и синхронно." | Повторяют движения по командам, проговаривают названия шагов алгоритма. |
2 мин | Учитель связывает движение с темой: "В спортивной тренировке важна последовательность, и в математике она тоже помогает не ошибиться. Выполните мысленно алгоритм для $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$ и покажите большой палец, когда будете готовы назвать результат." | Вычисляют $\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$, показывают сигнал готовности, называют результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз воспроизвели порядок действий. Теперь закрепим правило в парах с обязательным объяснением каждого шага."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм деления дробей с проговариванием действий и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парные карточки: $\frac{5}{6}:\frac{10}{9}$, $\frac{7}{8}:\frac{14}{16}$, $2\frac{1}{3}:\frac{7}{9}$. Инструкция: "Первый ученик решает первый пример и проговаривает шаги, второй записывает и контролирует порядок. Затем поменяйтесь ролями. Не называйте только ответ — объясняйте замену деления умножением." | Решают в парах: $\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{4}$; $\frac{7}{8}\cdot\frac{16}{14}=1$; $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$, поэтому $\frac{7}{3}:\frac{7}{9}=3$. Проговаривают алгоритм. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на доске: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Найдите один верный шаг и одну возможную ошибку. Используйте приём «Две звезды и пожелание»." | Проверяют решения, отмечают два удачных действия и записывают одно пожелание, например: "Сначала переверни делитель; не забудь сократить дробь". |
Эталон решения
$\frac{5}{6}:\frac{10}{9}=\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$. Для смешанного числа: $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$; $\frac{7}{3}:\frac{7}{9}=\frac{7}{3}\cdot\frac{9}{7}=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы научились контролировать не только ответ, но и порядок действий. Сейчас каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно применяет алгоритм."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. Обязательное задание для всех — пример $\frac{9}{10}:\frac{3}{5}$. Дополнительно решите два примера своего уровня. Записывайте сокращения и промежуточные действия." | Индивидуально решают задания. Базовый: $\frac{9}{10}:\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}:2$. Повышающий: $1\frac{1}{2}:\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}:\frac{10}{9}$. Дополнительный: текстовая задача на деление дробей. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон и говорит: "Проверьте каждую строку, а не только конечный ответ. Если нашли ошибку, обведите её и рядом запишите исправленный шаг. Покажите светофор: зелёный — всё верно, жёлтый — нужна консультация, красный — требуется разбор." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, показывают цветовой сигнал и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
$\frac{9}{10}:\frac{3}{5}=\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{3}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$. $\frac{4}{7}:2=\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{7}$. $1\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм уже работает. Осталось включить его в практическую задачу и объяснить, где деление дробей встречается за пределами урока."
Этап 8. Включение знания в систему и реальный контекст (4 мин)
Цель этапа: применить деление дробей в задаче о расходе материала и связать математику с естественно-научным и бытовым контекстом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает условие: "Для полива рассады есть $2\frac{1}{4}$ л воды. На один горшок требуется $\frac{3}{8}$ л. На сколько полных горшков хватит воды? Составьте выражение, выполните деление и объясните смысл целой части ответа." | Записывают $2\frac{1}{4}:\frac{3}{8}=\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{3}=6$. Формулируют ответ: "Воды хватит на 6 полных горшков"; связывают вычисление с практическим расходом воды. |
Эталон решения
$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$. Тогда $\frac{9}{4}:\frac{3}{8}=\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{3}=6$. Следовательно, воды хватит на 6 полных горшков.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили правило в задаче о расходе воды и увидели, что дробное деление помогает планировать реальные действия. Завершим урок самооценкой и проверим, достигли ли поставленной цели."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и зафиксировать домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Закончите две фразы: «Чтобы разделить дробь на дробь, я…» и «Перед сдачей работы я проверю…». Затем оцените себя по шкале от 1 до 3." | Пишут: "умножу на дробь, обратную делителю" и "проверю сокращение и умножением"; указывают собственный уровень уверенности. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышающий или дополнительный. Перед уходом назовите соседу правило одним предложением." | Записывают домашнее задание, проговаривают правило в паре и сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 задания самостоятельной работы, правильно записан алгоритм, выполнены сокращения и приведена проверка хотя бы одного примера.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная ошибка, но алгоритм и запись действий в целом соблюдены.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, правило применено с отдельными ошибками, требующими коррекции.
- Оценка может быть повышена при точном объяснении решения практической задачи и содержательной взаимопроверке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать правило деления дробей одним предложением? | Проверка осознания ключевого математического содержания. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня могли ошибиться? | Выявление точек затруднения и необходимости коррекции. |
Как вы проверите найденное частное? | Проверка понимания связи деления с умножением. |
Где в жизни может понадобиться деление дробей? | Выявление функционального смысла изученного действия. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли правило деления обыкновенных дробей и убедились, что деление можно заменить умножением на число, обратное делителю. Особенно внимательно следите за тем, какую именно дробь нужно переворачивать: делитель, а не делимое. Проверяйте результат умножением и не пропускайте сокращение. На следующем уроке мы продолжим решать выражения и задачи, где деление дробей будет сочетаться с другими действиями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 примера на деление дроби на дробь, натуральное число и смешанное число; в каждом примере записать замену деления умножением и сократить результат. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на переворачивание делителя и аккуратность сокращения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 выражения, содержащие деление дробей и умножение, соблюдая порядок действий, а также одну текстовую задачу на расход материала или объём. | Развивает применение алгоритма в составном выражении и реальном контексте; проверить обоснование ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на деление дробей, решить её двумя способами: вычислением и проверкой умножением, затем объяснить смысл полученного ответа. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверить корректность условия, решения и проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «На какую дробь заменяем деление? Как найти число, обратное дроби? Как проверить частное? Почему в задаче о воде ответом стало число полных горшков?»
